Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть (/ — выпуклое замкнутое множеспмо из рефлексивного банохова пространства В, функция /(и) равномерно выпукла и полунвпрерывна снизу на !/. Тогда 1) ллнолсество Лебега М(о) вгыпукло замкнуто и ограничено ври всех о е= (/; 2) /„) — са, (/„~ (0, причелг (/, выпукло, замкнуто и ограпичепо; 3! если, кроме поло, с(ункл!ия /(и) строго равномерно вьтукли но (/, то У„состооит из единственной точки и, и всякая минимизируюи(ая послесоватвльность (и,) сходится к точке и по ноолм В, причелг 6(!иь — и„()«/(ил) — У(и„), /г=!, 2,... где А ()), В((), 7(Г) — заданные кусочно непрерывные матрицы-функции порядка и х г), п хе, им 1 соответственно; моменты времени 1,, Т и точки х„у ен Е" заданы; У вЂ” некоторое множество из Ц[св, Т) (см.
задачу (2.7)— (2.10)). В 3 2 было установлено, что функция (1) при условиях (2), (3) принадлежит классу С)л на 1.',[1,, Т'1 (см. теорему 2.6) и, следовательно, непрерывна в метрике Ь.,'[(ь, Т~, кроме того, она выпукла на Ц[Гь, Т~. Согласно теореме 5 тогда 2 (и) слабо полунепрерывна снизу на 1.,'[Г„Т). На самом деле, оказывается, эта функция слабо непрерывна на А~[го Т) Теорема 10, Лусть мат рицы А ((), В ((), 1 (() кусочно непрерывны на отрезке (ь(((Т. Тогда функция (1) при условиях (2), (3) слабо непрерывна на Е, '[1„Т).
Если, кроме того, (/ — выпуклое, замкнутое и ограниченное множество из Е,'[1ь, Т), то множество У, точек минимума задачи (1) — (4) непусто, выпукло, замкнуто, ограничено, и любая минимизирующая последовательность слабо в ,Ц(ь, Т'! сходится к У . Доказательство. Возьмем произвольную последовательность (и,) енЕ',[(ь, Т), слабо сходящуюся к некоторой точке и= и (() ен Ц[(„Т~. Покажем, что тогда (,) (иь)) -)-,) (и).
Для этого сначала установим, что !пп х((, иь)=х(1, и) при всех г, гь(((Т. (5) Обозначим гь(1)=х(1, иь) — х((, и), (ь(((Т. Из равенства (2.11), определяющего решение задачи Коши (2), (3), следует г, (() = ~ А (т) гь (т) дт+ )г В (т) (и„(с) — и (т)) с(т, )е )о (о~(~ Т Тогда ! 1«))))!~А -1)«)))г -)$1л) )) )) — ) ))г $, с, Т, где А .,= зцр )А(т,",. Отсюда с помощью леммы 2.2 и «с<2 ад получим ! Р1 !и ~ (Ь; (т), иь (т) — и (т)) !(т ) + !о 12! ц2 ~ (Ь!К), иь($) — и($))с($~~ е" '"" ""т (6) (о г де Ь!(1)=(Ь!,(1), ..., Ь|,Я) — ю-я строка матрицы В(1), 1, ( 1 ( Т. Положим Ь!(т).
1ь~т~1, с!(т) = О, 1 <т( Т. В силу слабой сходимости (иь(1)) к и(1) при й-з-оо имеем т ~ (Ь! (т), и„(т) — и (т) ) с(т = ~ (с; (т), иь (т) — и (т)) с(т -ь- 0 !о и при всех фиксированных 1е='11„Т) Отсюда и из (6) с помощью теоремы Лебега (см. 111), стр. 302) получаем равенство (5). В частности, при 1=Т из (5) имеем (х(Т, иь))-~ х(Т, и).
А тогда / (иь)=~х(Т, и„) — у!е-ь.,'х(Т, и) — у '= =.7(и). Слабая непрерывность У(и) на 7.,"11„Т1 доказана. Остальные утверждения теоремы 10 следуют нз теорем 2, 6. Из доказанной теоремы 10 вытекает, что задача (1) — (4) имеет решение на множествах из примеров 4, 5, когда П=(1ь, Т1. Заметим, что из слабой непрерывности функции ) (и) следует слабая непрерывность функции ( — 7 (и)).
Поэтому, применяя теорему 2 к функции ( — У (и)), убеждаемся в том, что функция (1) при условиях (2), (3) достигает своей верхней грани на любом выпуклом замкнутом огра- ниченном множестве из 1.,'[1„Т). Рассмотрим задачу минимизации функции т ,7(и)=~х(Т, и) — у!ь+сь~ (и(1)~'й, се=сонэ()0, (7) при условиях (2) — (4). Так как функция (7) представ- ляет собой сумму выпуклой и сильно выпуклой функции, то она сильно выпукла.
Из теоремы 8 тогда вьпекает Теорема 11. Пусть матрицы А (1), В(1),1(1) кусочно непрерывны на отрезке 11ь, Т~, а Е/ — выпуклое замкнутое з!ножество из 7.,"(1„Т~. Тогда Функция (7) при уело!инх 69 (2) — (4) достигает своей нижней грани на () в единственной точке и = и, (!) ~ () и любом минимизирующая последовательность сходится к и по норме Ь,'((е, Т'1 б. В различных руководствах по функциональному анализу читатель обнаружит и другие, отличные от приведенных выше, варианты теоремы Вейерштрасса, основанньк на других определениях понятий компактности и полунепрерывностн функций.
Для того чтобы облегчить чнтатеъо ориентацию в этих вопросах, совершим небольшой экскурс в топологическне пространства Сначала напомним некоторые определения (11, 110). Определен не 9. Пусть Х вЂ” некоторое множество. Говорят, что на Х задана толологил, если в Х выделена система т его подмножеств, удовлетворяющая следуюшим трем условиям (аксномам): 1) 6, Х си т; 2) объединение любого числа множеств из т является множеством из т; 3) пересечение конечного числа множеств из т является множеством из т.
Все множества 6 ш т называются откры. тымн, а пх дополнения Г=Х'~С вЂ” замкнутыми. Множество Х с заданной на нем топологией т называют тало. логическим пространством н обозначают через (Х, т). Пусть (Х, т) — топологическое пространство. Окрестностью точки и ш Х называется всякое множество С ~: т, содержащее точку и. Окрестностью множестаа У с Х называется всякое множество С ст, содержащее У. Точка и ш Х называется точкой прикосновения множества У ~ Х, если каждая окрестность точки и содержит хотя бы одну точку из У. Совокупность всех точек прикосновения множе.
ства У называется эамьгканисм множества У и обозначается через У» или просто У. Пусть У ~ йг с Х, Совокупность всех точек прикосновения множества У, взятых из множества (э', называется залгыкаиием У во множестве йг и обозначается через Упг. Можно показать, что У = У» тогда и только тогда, когда У вЂ” замкнутое множество. Определение 10. Пусть (Х, т) — топологическое простран.
ство. Говорят, что лоследочательлогть (иь) ~ Х сходится к точке и ш Х в топологии т или, иороче, (иь) т-сходится к точке и, если для любой окрестности 6 точки и найдется номер М=М(С) такой, что иь ш С при всех й)М. Последовательность (иь) т-сходится к множеству У, если для любой окрестности 6 множества У найдется номер М = М (6) такой, что иь ш С для всех й =. М. Определение П. Точка и называется предельной точкой последовательности (иь) ш Х в топологии т, нли, короче, т-предельной точкой (иь), если для любой окрестности 6 точки и и любого номера т найдется номер йт~лг такой, что иь ив С или, иначе говоря, в любой окрестности 6 гочки и найдется бесконечно много членов последовательности (иь) со сколь угодно большими номерами. Бэнахово пространство В превращается в топологнческое пространство, если в нем открытые множества внес~и как объединение любо~о числа открытых шаров 6(и, е)=(э сэ В: в — и! (в), где и — произвольная точка из В, в — произвольное положительное число.
Тэк введенная топология называется тыьлоп тололоаиго бэпэхова пространства В Сходнмость последовательности (иэ) к 1оте и в сильной топологии В эквивзлеп|иа сходимоств этой последовзгельности гг той же точке по норме (в метрике) В. В банаховых пространствах могут быть введены и другие топологии Для нас наибольший интерес представляет так называемая слабая юаполагия. Открытыми множествами в слабой топологии банахова пространства В называются множества, представимые в виде объединения любого числа множеств вида 6(и, е, г, ..., с,)=(о ~ы В: ! (со а) — (си и) ! ( а, 1=1, щ), (8) где и†произвольная точка из В, т — произвольное натуральное число, т = 1, сг, сз, ..., с — произвольные элементы из сопряженного пространства В', а †произвольн положительное число.
Заметим, что иэ сходимости последовательности (иь) в слабой топологии В вытекает слабая сходимость (ил) в смысле определения !.1. Лля того чтобы легче было уяснить различие между вводимыми ниже понятиями компактного множества в тополагических простран. ствах, обращаем внимание читателя на то, что в метрических пространствах (в частности, в В") часто пользуются другим определе. кием предельной точки последовательности, отличным от определения 11. А именна, точку о называют предельной точкой последовательности (ис) в метрике р, или короче, р-предельной точкой (из), если существует подпоследовательность (иа ), р-сходящаяся к а.
Оказывается, в метрических пространствах оба определения предельной точки последовательности эквивалентны. А именно, справедливо следующее утверждение (9, 11): в любом метрическом пространстве М точка с является предельной точкой последовательности (иь) в смысле определения !! тогда н только тогда, когда существует подпаследовательность (ис ), р-сходящаяся и точке а. Однако в топологических пространствах в общем случае такой эквивалентности мажет не быть: здесь возможны ситуации, когда предельная в смысле опреде. ления !1 точка последовательности (иь) ~ Х не является т-пределом нииакай подпоследовательности (ил ).
Покаисем это на примере. П р и м е р 9. В пространстве 1з в качестве топологии возьмем слабую топологию. Возьмем последовательность иь = )' Д гю где са = = (О, ..., О, 1, О, .. ) с единицей на л-м лгесте. Покажем, что точка а=б ~ 1, является предельной точкой в слабой топологии 1х в смысле определения 11. Будем рассуждать от противного: пусть существуют окрестность 6с точки с =О и номер гус » 1 такие, что иь гд 6„ для всех й » й)с.
Поскольку любое открытое множество, в частности, 6„, представляет собой объединение множеств аида (8), то найдутся число ас > О, натуральное число ю» 1, элементы см сз, ..., с,„я1л такие, что иь Ф 6(О, ас, сг, ..., см) при всех й»Уз. Это зйачит, что для любого й»йз найдется номер г=гь, 1~(~т, такой, что ) (сп и ) — (сп О) ~=) (сг, из) )= ~ си! =) сь(Уй ем 1=! или ~ сд ~ » а,1 Р 1з. Тогда (с !з-)-...+!!с )з= ~ ~ ~с!~~= ~ ~" ~ с,.'!з» ~ е,'Д=+сх>. г=! 1=-г 1=!г=! ~=и, Получаем противоречие с тем, что с! я1з и поэтому 'с! "(ао. 1= 1, и Следовательно, о =О в слабая ~редсльная точка последовательйости (иа) в смысле определения 11, Покажем, что никакая подпоследовательность (и»я) не может слабо скодиться к нулю Допустим противное: пусть существует подпоследоаательность (п»»1, сходящаяся при и оз к о=О слабо в !з, причем й! < йа « ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
