А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÔóíêöèÿ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíàâ òðåõìåðíîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåøåíèå çàäà÷è ∆Q G(Q, M ) = −δ(Q, M ), Q, M ∈ D, ∂G(P , M ) = − 1 , P ∈ S , M ∈ D.∂nPS(3.1.9)S0Ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Íåéìàíà îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî, íå çàâèñÿùåãî îò êîîðäèíàò òî÷êè Q, íî, âîîáùå ãîâîðÿ,çàâèñÿùåãî îò êîîðäèíàò òî÷êè M . Ýòî ñëàãàåìîå ìîæíî âûáðàòüòàê, ÷òîáû ôóíêöèÿ Ãðèíà áûëà ñèììåòðè÷íîé.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íîïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿIG(P , M )dSP = 0,(3.1.10)Sîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùåãî ôóíêöèþ Ãðèíà G(Q, M ) [1].Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è (3.1.1-3.1.2) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåIZSDu(M ) = G(P , M )f (P )dSP +G(Q, M )F (Q)dVQ + A0 ,(3.1.11)ãäå A0 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. 2. Âíåøíèå òðåõìåðíûå çàäà÷è ÍåéìàíàÊàê è â ñëó÷àå âíåøíèõ çàäà÷ Äèðèõëå, ïðè ïîñòàíîâêå âíåøíèõçàäà÷ Íåéìàíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà òðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè (ñì.
îïðåäåëåíèå 2.2.1).Ïóñòü De äîïîëíåíèå îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D ñ ãðàíèöåé S äîâñåãî ïðîñòðàíñòâà R3 . Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è èìååò âèä:∆u = −F (M ), M ∈ De ,∂u = f (P ), P ∈ S ,∂nS(3.2.1)(3.2.2)ãäå n åäèíè÷íàÿ pâíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè De íîðìàëü êïîâåðõíîñòè S , r = x2 + y 2 + z 2 .Îïðåäåëåíèå 3.2.1 Áóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (3.2.1-3.2.2) ðåãóëÿðíóþ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèþ u(M ), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè De , íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè De , óäîâëåòâîðÿþùóþ â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óðàâíåíèþ (3.2.1) â îáëàñòè De è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.2.2).Åñëè ïîâåðõíîñòü S ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Ëÿïóíîâà, òî çàäà÷à (3.2.1-3.2.2) èìååò åäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ ëþáîé2.
Âíåøíèå òðåõìåðíûå çàäà÷è Íåéìàíà85íåïðåðûâíîé íà ïîâåðõíîñòè S ôóíêöèè f (P ) è ëþáîé ôèíèòíîéíåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè F (M ) [1]. Òàêèì îáðàçîì,â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ âíóòðåííåé òðåõìåðíîé çàäà÷è Íåéìàíà, äëÿâíåøíåé òðåõìåðíîé çàäà÷è äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè íåòðåáóåòñÿ.Äëÿ ðåãóëÿðíûõ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèé âî âíåøíèõ îáëàñòÿõñïðàâåäëèâû ôîðìóëû Ãðèíà. Ïîýòîìó ðåøåíèå çàäà÷è (3.2.1) ìîæíîïîñòðîèòü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.1.4):u(M ) =Z−ãäåIG(P , M ),∂u(P )∂G(P M )− u(P )dSP −∂nP∂nPSG(Q, M )∆u(Q)dVQ ,DeG(Q, M ) =14πr+ v,QMà v ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ íà áåñêîíå÷íîñòè ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.
Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò âíóòðåííèõ çàäà÷ Íåéìàíà, ïðè ïîñòðîåíèè ðåøåíèÿ âíåøíèõ çàäà÷ â òðåõìåðíîì ñëó÷àå ìîæíî òðåáîâàòü,∂G(P , M )÷òîáû ïðîèçâîäíàÿîáðàùàëàñü â íîëü íà ãðàíèöå S , òàê êàê∂nPíèêàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è íå òðåáóåòñÿ.Îïðåäåëåíèå 3.2.2 Ôóíêöèåé Ãðèíà âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà(3.2.1-3.2.2) äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â òðåõìåðíîì ñëó÷àå áóäåìíàçûâàòü ôóíêöèþG(Q, M ) =14πr+ v(Q, M ),Q ∈ De ,M ∈ De ,QMóäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:1) v(Q, M ) ðåãóëÿðíàÿ íà áåñêîíå÷íîñòè ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿêîîðäèíàò òî÷êè Q ∈ De , íåïðåðûâíàÿ íà De äëÿ êàæäîé òî÷êèM ∈ De ;= 0 äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ De .2) ∂G(P , M ) ∂nPP ∈SÔóíêöèÿ Ãðèíà G(Q, M ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è∆ G(Q, M ) = −δ(Q, M ), Q, M ∈ De , Q ∂G(P , M ) = 0, P ∈ S , M ∈ De ,∂nPSG(Q, M ) ⇒ 0 íà áåñêîíå÷íîñòè.(3.2.3)Ôóíêöèÿ G(Q, M ) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè òî÷åêQ è M .
Ðåøåíèå çàäà÷è (3.2.1) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå:IZu(M ) = G(P , M )f (P )dSP + G(Q, M )F (Q)dVQ .(3.2.4)SDe86Ãë. 3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Íåéìàíà 3. Âíóòðåííèå äâóìåðíûå çàäà÷è ÍåéìàíàÏóñòü D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåéL â äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R2 . Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Íåéìàíà:∆u = −F (M ),∂u = f (P ),∂nM ∈ D,(3.3.1)P ∈ L.(3.3.2)LÊàê è â ñëó÷àå òðåõìåðíîé çàäà÷è, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî êðàåâàÿ çàäà÷à(3.3.1) ðàçðåøèìà òîëüêî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿZ−IF (M )dS = f (P )dl.D(3.3.3)LÁóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (3.3.1)-(3.3.2) ôóíêöèþ u(M ), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè D, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòèD, óäîâëåòâîðÿþùóþ â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óðàâíåíèþ (3.3.1) âîáëàñòè D è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.3.2).Åñëè ãðàíèöà L îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ êðèâîé Ëÿïóíîâà, ôóíêöèÿf (P ) íåïðåðûâíîé, à ôóíêöèÿ F (M ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé,òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (3.3.3) ðåøåíèå çàäà÷è (3.3.1)-(3.3.2) ñóùåñòâóåò, íî îíî íå åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé [1].Êàê è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.3.1)-(3.3.2)ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå:Îïðåäåëåíèå 3.3.1u(M ) =Z+IG(P , M )f (P ) − u(P ),∂G(P M )dlP +∂nP(3.3.4)LG(Q, M )F (Q)dSQ .D×åðåç G(Q, M ) îáîçíà÷åíî ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â äâóìåðíîì ñëó÷àå:G(Q, M ) =112π ln r+ v,MQãäå v ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè S ôóíêöèÿ. ïðàâîé ÷àñòè (3.3.4) ñîäåðæèòñÿ ñëàãàåìîåIL,∂G(P M )u(P )dlP =∂nPIu(P )L1 ∂2π ∂nlnP1rP M∂v+∂nPdlP ,(3.3.5)3.
Âíóòðåííèå äâóìåðíûå çàäà÷è Íåéìàíà87çíà÷åíèå êîòîðîãî íåèçâåñòíî, ïîñêîëüêó íà ãðàíèöå L çàäàíî ëèøü∂u, à çíà÷åíèå u(P ) íå çàäàíî.∂nÊàê è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, ïîäáåðåì ôóíêöèþ v òàêèì îáðàçîì,÷òîáû âûðàæåíèå (3.3.5) áûëî ðàâíî êîíñòàíòå. Âîçüìåì â êà÷åñòâåôóíêöèè v(Q, M ) ðåøåíèå çàäà÷è ∆Q v = 0, Q ∈ D, ∂v = − 1 ∂ ln∂nP2π ∂nLP1+ C , P ∈ L.rP M(3.3.6)Êîíñòàíòà C â êðàåâîì óñëîâèè (3.3.6) âûáèðàåòñÿ òàêèì îáðàçîì,÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè (3.3.3), êîòîðîå â äàííîìñëó÷àå ïðèîáðåòàåò âèä:I−L1 ∂2π ∂nlnP1rP M+ C dlP = 0,îòêóäà ïîëó÷àåìC · L0 =12πI1∂lndlP ,∂nPrP M(3.3.7)Lãäå L0 äëèíà êðèâîé L.Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (3.3.7) ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ òðåòüþôîðìóëó Ãðèíà (A.3.3), çàïèñàííóþ äëÿ ôóíêöèè u ≡ 1:1=−12πI1∂lndlP .∂nPrP MLÎêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìC=−1.L0Îïðåäåëåíèå 3.3.2 Ôóíêöèåé Ãðèíà âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíàäëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â äâóìåðíîì ñëó÷àå áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ1 ln 1 + v(Q, M ), Q ∈ D, M ∈ D,G(Q, M ) =2πrQMóäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:1) v(Q, M ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè Q ∈ D,íåïðåðûâíàÿ íà D äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ D;1 äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ D.2) ∂ G(P , M )=−∂nPP ∈LL088Ãë.
3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÔóíêöèÿ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíàâ äâóìåðíîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåøåíèå çàäà÷è ∆Q G(Q, M ) = −δ(Q, M ), Q, M ∈ D, ∂G(P , M ) = − 1 , P ∈ L, M ∈ D.∂nPL(3.3.8)L0Ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Íåéìàíà îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî, íå çàâèñÿùåãî îò êîîðäèíàò òî÷êè Q, íî, âîîáùå ãîâîðÿ,çàâèñÿùåãî îò êîîðäèíàò òî÷êè M .
Ýòî ñëàãàåìîå ìîæíî âûáðàòüòàê, ÷òîáû ôóíêöèÿ Ãðèíà áûëà ñèììåòðè÷íîé. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íîâûïîëíåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿIG(P , M )dlP = 0,Lîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùåãî ôóíêöèþ Ãðèíà G(Q, M ) [1].Ðåøåíèå çàäà÷è (3.3.1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåIZu(M ) = G(P , M )f (P )dlP + G(Q, M )F (Q)dSQ + A0 ,L(3.3.9)Dãäå A0 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. 4. Âíåøíèå äâóìåðíûå çàäà÷è ÍåéìàíàÏóñòü De äîïîëíåíèå íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D ñãëàäêîé ãðàíèöåé L äî âñåé ïëîñêîñòè R2 . Âíåøíÿÿ çàäà÷à Íåéìàíàäëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â äâóìåðíîì ñëó÷àå èìååò âèä:∆u = −F (M ), M ∈ De ,∂u = f (P ), P ∈ L,∂nL|u| < ∞,(3.4.1)(3.4.2)(3.4.3)ãäå n âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè De íîðìàëü ê ãðàíèöå L.Îïðåäåëåíèå 3.4.1 Áóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (3.4.1)-(3.4.3) ðåãóëÿðíóþ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèþ u(M ), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè De , íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè De , óäîâëåòâîðÿþùóþ â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óðàâíåíèþ (3.4.1) â îáëàñòè De è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.4.2).Åñëè êðèâàÿ L ÿâëÿåòñÿ êðèâîé Ëÿïóíîâà, ôóíêöèÿ F (M ) ÿâëÿåòñÿôèíèòíîé è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé, à ôóíêöèÿ f (P ) íåïðå-894.
Âíåøíèå äâóìåðíûå çàäà÷è Íåéìàíàðûâíîé, òî çàäà÷à (3.4.1)-(3.4.3) èìååò êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå òîëüêîïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòèIZf (P )dlP = −L(3.4.4)F (M )dSM .DeÓñëîâèå (3.4.4) ïîëó÷àåòñÿ èç âòîðîé ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè De (ñì. (A.4.5)):Z(v∆u − u∆v) dS =DeIv∂v∂u−udl,∂n∂nLçàïèñàííîé äëÿ ðåøåíèÿ u çàäà÷è (3.4.1) è ðåãóëÿðíîé íà áåñêîíå÷íîñòè â äâóìåðíîì ñëó÷àå ôóíêöèè v = 1.Çàìå÷àíèå 3.4.1 Ïðîâåñòè ïîäîáíûå ðàññóæäåíèÿ â ñëó÷àå âíåøíèõòðåõìåðíûõ çàäà÷ Íåéìàíà íåëüçÿ, òàê êàê ôîðìóëû Ãðèíà âîâíåøíèõ îáëàñòÿõ ñïðàâåäëèâû òîëüêî äëÿ ðåãóëÿðíûõ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèé, ê êîòîðûì ôóíêöèÿ v ≡ 1 â òðåõìåðíîì ñëó÷àå íåîòíîñèòñÿ.Êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå âíåøíåé äâóìåðíîé çàäà÷è Íåéìàíà íååäèíñòâåííî, à îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé.Ïóñòü óñëîâèå (3.4.4) âûïîëíåíî.
Ïîñòðîèì ðåøåíèå çàäà÷è (3.4.1)(3.4.3) â èíòåãðàëüíîì âèäå. Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò O íàõîäèëîñü âíóòðè îáëàñòè D. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþG(Q, M ) =112π ln rQM−1 12π ln r+ v2 ,(3.4.5)QOãäå v2 ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè De ðåãóëÿðíàÿ íà áåñêîíå÷íîñòèôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ G(Q, M ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåãóëÿðíîå íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â äâóìåðíîìñëó÷àå, òî åñòü(∆Q G(Q, M ) = −δ(Q, M ), Q, M ∈ De ,(3.4.6)|G(Q, M )| < ∞ ïðè rQM → ∞, M ∈ De .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íîñèòåëü ôóíêöèè F (M ) â çàäà÷å (3.4.1) ïðèíàäëåæèò îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D0 ⊂ De ⊂ R2 .
Òîãäà âíå îáëàñòèD0 ðåøåíèå u(M ) çàäà÷è (3.4.1) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé, èïîýòîìó â ëþáîé òî÷êå M ∈ De äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (2.5.6)5 ãëàâû 2:u(M ) =Z−DeIn∂u(P )∂G(P , M ) − u(P )G(P , M ) dlP −∂nP∂nPL∆u(Q)G(Q, M )dSQ .o90Ãë. 3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÏîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèÿ è êðàåâîãîóñëîâèÿ çàäà÷è (3.4.1)-(3.4.3), ïîëó÷àåìu(M ) =If (P )G(P , M ) − u(P ),∂G(P M )dlP +∂nPLZ(3.4.7)G(Q, M )F (Q)dSQ .+DeÑëàãàåìîåIu(P ),∂G(P M )dlP∂nP(3.4.8)Lâ âûðàæåíèè (3.4.7) íåèçâåñòíî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
