А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ëåâàøîâà, È.Å. Ìîãèëåâñêèé, Þ.Â. Ìóõàðòîâà, Í.Å. Øàïêèíà98Ãë. 3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÑëåäîâàòåëüíî, â âûáðàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ôóíêöèÿ Ãðèíà âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ øàðà èìååò âèä:11G(M , M0 ) =4π1rM M 012aa2++ ln 2r0 rM M 1aa − rr0 cos θ + r0 rM M1!+ A,ãäå A ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.Åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò îðèåíòèðîâàíà ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, òîòî÷êè M è M0 èìåþò êîîðäèíàòûM (r, θ, ψ) è M0 (r0 , θ0 , ψ0 ),à ôóíêöèÿ Ãðèíà èìååò âèä1 1G(M , M0 ) =4π r12a2+ lnM M0a+1a+r0 rM M 1!a2 − rr0 cos γ + r0 rM M1+ A(M0 ),(3.5.8)ãäå M1 (a2 /r0 , θ0 , ψ0 ) òî÷êà, ñîïðÿæåííàÿ îòíîñèòåëüíî ñôåðû ðàäèóñà a òî÷êå M0 , γ óãîë ìåæäó ëó÷àìè OM è OM0 ,cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ψ − ψ0 ),à A(M0 ) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ òî÷êè M0 , íå çàâèñÿùàÿ îò òî÷êèM.Ïðèìåð 3.5.13. Ñ ïîìîùüþ íàéäåííîé â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå ôóíêöèè Ãðèíà ïîñòðîéòå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è Íåéìàíà∆u = 0, r ∈ (0, a), θ ∈ (0, π), ψ ∈ [0, 2π],∂u = f (θ, ψ), ∂r r=a|u|r=0 < +∞â øàðå ðàäèóñà a, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå2Zπ Zπf (θ, ψ) sin θdθdψ = 0.0 0Ð ÅØÅÍÈÅ .
Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà (3.5.8) ðåøåíèå çàäà÷è âïðîèçâîëüíîé òî÷êå M0 (r0 , θ0 , ψ0 ), ïðèíàäëåæàùåé ðàññìîòðèâàåìîìóøàðó, ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå:u(r0 , θ0 , ψ0 ) =2Zπ Zπ0 0G(a, θ, ψ ; r0 , θ0 , ψ0 )f (θ, ψ)a2 sin θdθdϕ + C ,995. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ Íåéìàíàãäå C ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.
Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîé òî÷êè P íàïîâåðõíîñòè øàðàarr0 P M 0rP M1 =ãäårP M0 =qa2 + r02 − 2ar0 cos γ ,cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ψ − ψ0 ),M0 è M1 òî÷êè, ñîïðÿæåííûå îòíîñèòåëüíî ñôåðû ðàäèóñà a (ñì.ïðèìåð 2.3.7.), òî1G(P , M0 )|r=a =4π1 2=4π r21=4π r2rP M0a1− lnP M02a2a!a2 − ar0 cos γ + r0 rP M1a1+ lnP M01+ ln2a+ A(M0 ) =a − r0 cos γ + rP M0a − r0 cos γ + rP M0+ A(M0 ) =e 0 ).+ A(MÒàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:u(r0 , θ0 , ϕ0 ) =2a4π2Zπ Zπq0 02a2+r02−2− ar0 cos γq1 − ln a − r0 cos γ + a2 + r2 − 2ar0 cos γf (θ, ψ) sin θdθdψ + C.0aÏîëó÷åííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Íåéìàíà.Ïðèìåð 3.5.14. Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ êðóãà.Ð ÅØÅÍÈÅ . Èñêîìàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è ∆M G(M , M0 ) = −δ(M , M0 ),1 ∂G =−∂rr=aè èìååò âèä:ãäå4*r ∈ (0, a), ψ ∈ [0, 2π],(3.5.9)2πaG(M , M0 ) =112π ln r+ v(M , M0 ),M M0∆ v = 0, r ∈ (0, a), ψ ∈ [0, 2π], ∂vM11∂1=−−ln2πa 2π ∂r rM M0 r=a , ∂r r=a|v|r=0 < ∞.(3.5.10)100Ãë.
3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÂûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû òî÷êà M0 ëåæàëàíà ïîëÿðíîé îñè. ÒîãäàrM M0 =−qr2 + r02 − 2rr0 cos ψ ,1 ∂12π ∂r ln qr2 + r02 − 2rr0 cos ψ==1 ∂ ln qr2 + r2 − 2rr0 cos ψ02π ∂r=1r − r0 cos ψ2π · r2 + r02 − 2rr0 cos ψ .Òàêèì îáðàçîì, ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ v äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ:121∂v a − r0 cos ψ=·,−∂r r=aπ a2 + r02 − ar0 cos ψπa22r0 < a.Íà îñíîâàíèè ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïîëó÷àåì [2]:v = A0 +∞Xn=1rn(An cos nψ + Bn sin nψ) .nan−1Íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû An è Bn íàéäåì èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿçàäà÷è (3.5.10):∞X(An cos nψ + Bn sin nψ) =n=112πa1 − (r0 /a) cos ψ−11 + (r0 /a)2 − 2(r0 /a) cos ψ.(3.5.11)Âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ïîñèñòåìå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:∞Xtn einψ =n=011 − te1 − te.1 + t2 − 2t cos ψ−iψiψ=(3.5.12)Ðàññìîòðèì äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà, ïîëîæèâ t = r0 /a:∞ nXr0n=0acos nψ =1 − (r0 /a) cos ψ.1 + (r0 /a)2 − 2(r0 /a) cos ψ(3.5.13)Èñïîëüçóÿ (3.5.13), ìû ìîæåì çàïèñàòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (3.5.11) ââèäå:∞Xn=1(An cos nψ + Bn sin nψ) =1∞ nXr02πa n=1acos nψ.1015.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ÍåéìàíàÑðàâíèâàÿ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà, íàõîäèìAn =Ñëåäîâàòåëüíî12πav = A0 +r0an,Bn = 0.∞(r0 r)1X2π n=1 na2n(3.5.14)cos nψ.nÏîëó÷åííûé ðÿä ìîæíî ïðîñóììèðîâàòü. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì t =ðàññìîòðèì ìíèìóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (3.5.12):∞Xtn sin nψ =n=1t sin ψ1 + t − 2t cos ψ2r0 ra2è,îòêóäà â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ψ ïîëó÷àåì−∞ nXt cos nψnn=1Z=t sin ψ1 + t − 2t cos ψ2dψ =1 ln21 + t2 − 2t cos ψ + C.Ïîëîæèâ t = 0, íàõîäèì ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ C = 0, è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:∞ nXt cos nψnn=11= − ln 1 + t2 − 2t cos ψ = ln p21+1t22− t cos ψ.(3.5.15)r rÒàêèì îáðàçîì, èñêîìóþ ôóíêöèþ v â (3.5.14), âçÿâ â (3.5.15) t = 02 ,aìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:v = A0 +112π ln r1 + r0 r 2 − 2 r0 r cos ψa21 a2π ln r0 s a42= A0 +a21ra2cos ψ+r −r0r022=2.Îáîçíà÷èì r1 = a2 /r0 ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî òî÷êèM1 (r1 , 0), ñîïðÿæåííîé òî÷êå M0 (r0 , 0) îòíîñèòåëüíî êðóãà.
Òîãäàv = A0 +11a2π ln a + 2π ln r0 · r.M M11Òàê êàê2π ln a êîíñòàíòà, òî åå ìîæíî îáúåäèíèòü ñ A0 , è çàïèñàòüôóíêöèþ Ãðèíà â âèäå:1G(M , M0 ) =2πln1r M M01a+ lnr0 rM M 1+ A0 .102Ãë. 3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÏðèìåð 3.5.15. Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Íåéìàíà âíå êðóãàðàäèóñà a.Ð ÅØÅÍÈÅ . Ââåäåì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû è äëÿ óäîáñòâà íàïðàâèìïîëÿðíóþ îñü òàê, ÷òîáû åé ïðèíàäëåæàëà òî÷êà èñòî÷íèêà M0 . ÒîãäàM0 è òî÷êà íàáëþäåíèÿ M èìåþò êîîðäèíàòû M0 (r0 , 0) è M (r, ψ), èôóíêöèÿ Ãðèíà èìååò âèä:G(r, ψ ; r0 ) =112π ln qr2 + r02 − 2r0 r cos ψ1 12π ln r + v(r, ψ),−ãäå∆v = 0, r > a, ψ ∈ [0, 2π],1 ∂ ln q∂v =−∂r1r2 + r02 − 2r0 r cos ψ 2π ∂rr=a1 d ln 1 + 1 ,+2π dr r r=a 2πa|v| < ∞.+r=a(3.5.16)Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ. Òàê êàêr0 > a, à âûðàæåíèå1 ∂12π ∂r ln qr2 + r02 − 2r0 r cos ψâ ãðàíè÷íîì óñëîâèè íàñ èíòåðåñóåò ïðè r = a, òî, íå îãðàíè÷èâàÿîáùíîñòè, ìîæíî ñíà÷àëà ðàññìîòðåòü ýòî âûðàæåíèå ïðè a 6 r < r0 ,à ïîòîì ïîëîæèòü r ðàâíûì a.
Ïðè r < r0ln q12r2 + r02 − r0 r cos ψ= ln= ln1r0+1r0−12 ln1+rr0∞ nXrcos nψr0n=1n2−2rcos ψr0=.Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ v äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ12∞X∂v an−1=−cos nψ.∂r r=aπr0nn=1Ñëåäîâàòåëüíî, îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è (3.5.16) ìîæíî èñêàòü â âèäåv = A0 +∞XAnn=1rncos nψ.1035. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ÍåéìàíàÍàéäåì êîýôôèöèåíòû An èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ:a2n, n=πnr0n2An =1, 2, ...Êîýôôèöèåíò A0 îñòàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì.
Èòàê, ôóíêöèÿ v èìååòâèä:v = A0 +∞1X2π n=1= A0 +a2rr0n12∞ nXcos nψr1cos nψ= A0 +=nπrn112π ln qr2 + r12 − 2rr1 cos ψ−n=11 12π ln r ,r1 =a2.r0Îáîçíà÷èì M1 (r1 , 0) òî÷êó, ñîïðÿæåííóþ òî÷êå M0 îòíîñèòåëüíîîêðóæíîñòè ðàäèóñà a ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Òîãäàv = A0 +112π ln r−M M1112π ln r.MOÑëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñàâíå êðóãà ðàäèóñà a èìååò âèäG(M , M0 ) = A0 +112π ln rM M0+112π ln rM M1Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.−1 ln 1πrM O.Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ïðîñòðàíñòâå, ñîçäàâàåìîãî òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì ìîùíîñòè q , ïîìåùåííûì â òî÷êó M0 âíå òåïëîèçîëèðîâàííîãî øàðà ðàäèóñà R.Çàäà÷à 3.5.17.
Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà âøàðîâîì ñëîå a < r < b, åñëè íà ãðàíèöå r = a çàäàíî óñëîâèåÄèðèõëå, à íà ãðàíèöå r = b çàäàíî óñëîâèå Íåéìàíà.Çàäà÷à 3.5.18. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà âêîëüöå a < r < b, åñëè íà ãðàíèöå r = a çàäàíî óñëîâèå Íåéìàíà, àíà ãðàíèöå r = b çàäàíî óñëîâèå Äèðèõëå.Çàäà÷à 3.5.19. Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà âíå øàðà ðàäèóñà a.Çàäà÷à 3.5.20. Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà âíå øàðà çàïèøèòå ðåøåíèå çàäà÷è Íåéìàíà:∆u = 0, r > a, θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π], ∂u = f (θ, ϕ),∂r r=au ⇒ 0, r → ∞Çàäà÷à 3.5.16.â êâàäðàòóðàõ.104Ãë.
3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÑ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ êðóãà çàïèøèòå ðåøåíèå çàäà÷è Íåéìàíà:Çàäà÷à 3.5.21.∆u = 0, r ∈ (0, a), ϕ ∈ [0, 2π], ∂u = f (ϕ),∂r r=a|u||r=0 < ∞â êâàäðàòóðàõ.Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà âíå êðóãà çàïèøèòå ðåøåíèå çàäà÷è Íåéìàíà:Çàäà÷à 3.5.22.∆u = 0, r > a, ϕ ∈ [0, 2π], ∂u = f (ϕ),∂r r=a|u| < ∞â êâàäðàòóðàõ.Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû, ñîçäàâàåìîåáåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ, ïîòîê òåïëà ÷åðåç êîòîðóþ ðàâåíÇàäà÷à 3.5.23.V =2sin ψ − cos ψ( + cos ψ + sin ψ)2.Ñîâåò. Âîñïîëüçóéòåñü ôóíêöèåé Ãðèíà äëÿ êðóãà.
Ïðîèíòåãðèðóéòå ïî ÷àñòÿì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå, à çàòåì èñïîëüçóéòå çàìåíóïåðåìåííûõ z = eiψ . Ïðè ýòîì èíòåãðàë ïî îòðåçêó [0, 2π] ïåðåéäåòâ èíòåãðàë ïî åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè |z| = 1. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà âîñïîëüçóéòåñü òåîðèåé âû÷åòîâ.5.3. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì.Ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíà G(Q, M ) çàäà÷è Íåéìàíà äëÿîïåðàòîðà Ëàïëàñà â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D òðåõìåðíîãî èëè äâóìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ñ çàìêíóòîé ãðàíèöåé S â ðÿä ïî ñîáñòâåííûìôóíêöèÿì ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ(∆vk = −λk vk , M ∈ D,∂vk = 0.∂n(3.5.17)SÇàäà÷à (3.5.17), êàê èçâåñòíî [14, 15], ðàâíîñèëüíà èíòåãðàëüíîìóóðàâíåíèþZvk (M ) = λkDG(Q, M )vk (Q)dVQ +1Zvk (P )dSP .S0S(3.5.18)1055. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ÍåéìàíàÑèñòåìà {vn }∞ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà÷è (3.5.17) ÿâëÿåòñÿ0ïîëíîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé â ïðîñòðàíñòâå L2 (D). Äàëåå áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé íîðìèðîâàíà íà åäèíèöó.
Çàìåòèì, ÷òî çàäà÷à (3.5.17) èìååò íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåλ0 = 0, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò íîðìèðîâàííàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ1v0 = p , ãäå V0 îáúåì îáëàñòè D.V0Ñîãëàñíî òåîðåìå (2.3.1), ïîñêîëüêó kG(Q, M )k < ∞ (ñì. ïàðàãðàôû 3.2 è 6.2 ãëàâû 2), äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D) ñïðàâåäëèâîðàâåíñòâîZG(Q, M )f (Q)dVQ =Z X∞gnk vn (M )vk (Q)f (Q)dVQ ,(3.5.19)D n,k=0DãäåZZG(Q0 , M 0 )vn (M 0 )vk (Q0 )dVQ0 dVM 0 .gnk =DDÐàâåíñòâî (3.5.19) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ðàâåíñòâà äâóõ ýëåìåíòîâïðîñòðàíñòâà L2 (D).Óïðîñòèì âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ gnk , ïîëüçóÿñü îðòîãîíàëüíîñòüþ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ðàâåíñòâîì (3.5.18). Åñëè k 6= 0,òîZI1 vk (M 0 ) − 1 vk (P )dSP .G(Q0 , M 0 )vk (Q0 )dVQ0 =λkS0 λkSDÑëåäîâàòåëüíî, ïðè k 6= 0gnk =Z1vk (M 0 )vn (M 0 )dVM 0 −λkZ1S 0 λkDIvn (M 0 )dVM 0 vk (P )dSP .DS ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ïîëó÷àåìgnk =g0k1 δnk ,n 6= 0;λkp IV0=−vk (P )dSP .S 0 λkSÅñëè æå k = 0, òîZ1G(Q0 , M 0 )v0 (Q0 )dVQ0 = pV0DÑëåäîâàòåëüíî,1gn0 = pV0ZZDDZG(Q0 , M 0 )dVQ0 .DG(Q0 , M 0 )vn (M 0 )dVQ0 dVM 0 .106Ãë.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
