А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ïîñêîëüêó ðåøåíèå âíåøíåé äâóìåðíîé çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþäî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé, ïîäáåðåì ôóíêöèþ v2 â âûðàæåíèè (3.4.5)äëÿ ôóíêöèè G(Q, M ) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ýòî íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîåáûëî ðàâíî êîíñòàíòå. Åñëè ïîëîæèòü,∂G(P M ) = C = const,∂nPL(3.4.9)òî èíòåãðàë (3.4.8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíñòàíòó. Ïîñòîÿííóþ C îïðåäåëèì èç óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è∆Q G(Q, M ) = −δ(Q, M ), Q, M ∈ De ,|G(Q, M )| < ∞ ïðè rQM → ∞, M ∈ De . ∂G(P , M ) = C ,∂nP(3.4.10)Lêîòîðîå ïðèíèìàåò âèä:ICdlP = −1.(3.4.11)LÈç ðàâåíñòâà (3.4.11) ïîëó÷àåìC=−1,L0ãäå L0 äëèíà êîíòóðà L.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M ∈ De èìååì:IZLDeu(M ) = G(P , M )f (P )dlP +ãäå A0 ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.G(Q, M )F (Q)dVQ + A0 ,(3.4.12)915. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ÍåéìàíàÎïðåäåëåíèå 3.4.2 Ôóíêöèåé Ãðèíà âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà(3.4.1)-(3.4.3) äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â äâóìåðíîì ñëó÷àå áóäåìíàçûâàòü ôóíêöèþG(Q, M ) =112π ln r+ v(Q, M ), Q ∈ De , M ∈ De ,QMóäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:1) v(Q, M ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè Q ∈ De ,íåïðåðûâíàÿ íà De äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ De è èìåþùàÿ ëîãàðèôìè÷åñêóþ îñîáåííîñòüíà áåñêîíå÷íîñòè;∂G(P , M ) 12)=−äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ De , ãäå L0 äëèíà∂nPL0P ∈Lêðèâîé L;3) G(Q, M ) ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè.Ôóíêöèÿ G(Q, M ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è∆Q G(Q, M ) = −δ(Q, M ), Q, M ∈ De , ∂G(P , M ) 1 = − , P ∈ L, M ∈ De ,∂nLP0L|G(Q, M )| < ∞ ïðè rQM → ∞, M ∈ De .(3.4.13)Ôóíêöèÿ Ãðèíà G(Q, M ) îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî, íåçàâèñÿùåãî îò òî÷êè Q.
Êàê è â ñëó÷àå âíóòðåííèõ äâóìåðíûõ çàäà÷,ôóíêöèÿ Ãðèíà áóäåò ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè òî÷åêM è Q, åñëè äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿIG(P , M )dlP = 0,Lîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùåãî ôóíêöèþ Ãðèíà G(Q, M ). 5. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ Íåéìàíà5.1.
Ìåòîä çåðêàëüíûõ îòîáðàæåíèé.Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Íåéìàíà â âåðõíåìïîëóïðîñòðàíñòâå.Ð ÅØÅÍÈÅ . Ôóíêöèÿ Ãðèíà G(M , M0 ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷èÏðèìåð 3.5.1.∆M G(M , M0 ) = −δ(M , M0 ), x, y ∈ (−∞, +∞), z ∈ (0, +∞),∂G(P , M0 ) = 0, x, y ∈ (−∞, +∞),∂nPz=0G(M , M0 ) ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè,(3.5.1)92Ãë.
3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Íåéìàíàãäå òî÷êà íàáëþäåíèÿ M èìååò êîîðäèíàòû (x, y , z), à òî÷êà èñòî÷íèêàM0 êîîðäèíàòû (x0 , y0 , z0 ).Ïóñòü òî÷êà M1 ñèììåòðè÷íà òî÷êå M0 îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòèz = 0. Ôóíêöèÿ1G(M , M0 ) =4π1rM M 0+1=rM M 111=4π q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ++ q1(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + z0 )2(3.5.2),ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ñóììó ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ îïåðàòîðà1 , óäîâëåòâîðÿåò óðàâËàïëàñà è ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè v =4πrM M1íåíèþ (3.5.1) è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.5.1) è ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé íàáåñêîíå÷íîñòè. Ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèÿ G(M , M0 ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ãðèíà çàäà÷è Íåéìàíà â âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå.Çàìå÷àíèå 3.5.1 Ïîÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîñòðîåííîé ôóíêöèèÃðèíà íà ïðèìåðå çàäà÷è î ñòàöèîíàðíîì òî÷å÷íîì èñòî÷íèêåòåïëà.
Ïóñòü ïëîñêîñòü z = 0 ÿâëÿåòñÿ òåïëîèçîëèðîâàííîé, òîåñòü ïîòîê òåïëà ÷åðåç íåå îòñóòñòâóåò. Ïîìåñòèì òî÷å÷íûéèñòî÷íèê òåïëà â òî÷êó M0 âåðõíåãî ïîëóïðîñòðàíñòâà. Ôîðìàëüíî äîáèòüñÿ ðàâåíñòâà íóëþ ïîòîêà òåïëà ÷åðåç ãðàíèöó ìîæíî,ïîìåñòèâ â ñèììåòðè÷íóþ òî÷êó M1 ôèêòèâíûé èñòî÷íèê òåïëàòîé æå ìîùíîñòè.Ïðèìåð 3.5.2. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû îò ñòàöèîíàðíîãî èñòî÷íèêà ìîùíîñòè q , ðàñïîëîæåííîãî â òî÷êåM0 (x0 , y0 , z0 ) âíóòðè ñëîÿ 0 < z < l, ñ÷èòàÿ, ÷òî ïëîñêîñòü z = 0ïîääåðæèâàåòñÿ ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå, à ïëîñêîñòü z = l íåïðîïóñêàåò òåïëî.Ð ÅØÅÍÈÅ .
Ïóñòü M (x, y , z) òî÷êà íàáëþäåíèÿ (ðèñ. 3.5.1). Èñêîìîåðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû u(x, y , z) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è∆u = −q · δ(M , M0 ), x, y ∈ (−∞, +∞), z ∈ (0, l),u|z=0 = 0, ∂u = 0,∂z(3.5.3)z=lqè èìååò âèä u =+ v(M , M0 ), ãäå v(M , M0 ) ãàðìîíè÷åñêàÿr M M0ôóíêöèÿ M , çàâèñÿùàÿ îò M0 êàê îò ïàðàìåòðà.Íàéäåì ôóíêöèþ v , ïîñëåäîâàòåëüíî îòîáðàæàÿ òî÷å÷íûé èñòî÷íèê òåïëà â ïëîñêîñòÿõ z = 0 è z = l, òàê ÷òîáû íà êàæäîì øàãå òî÷íî935. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ÍåéìàíàÐèñ.
3.5.1.âûïîëíÿëîñü êðàåâîå óñëîâèå ïðè z = 0 èëè z = l.Øàã 1. Äîáèòüñÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ Äèðèõëå ïðè z = 0 ìîæíî, äîáàâëÿÿ ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè z = 0 ôèêòèâíûé èñòî÷íèê, ìîùíîñòü êîòîðîãî ïî ìîäóëþ ðàâíà, íî ïî çíàêó ïðîòèâîïîëîæíàèñõîäíîìó. Áóäåì äàëåå íàçûâàòü åãî ñòîêîì òåïëà. Ïîñêîëüêó ñòîêîêàçûâàåòñÿ âíå ñëîÿ z ∈ [0, l], òî ôóíêöèÿu0 = qãäår0 =r00 =1r0−1r00,q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ,q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + z0 )2 ,óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.5.3) â îáëàñòè x, y ∈ (−∞, +∞), z ∈ (0, l)∂uè ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ u0 = 0 ïðè z = 0.
Îäíàêî óñëîâèå 0 = 0 ïðè∂zz = l íå âûïîëíÿåòñÿ.Øàã 2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîáèòüñÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ Íåéìàíàïðè z = l, äîñòàòî÷íî îòîáðàçèòü èñòî÷íèêè (èñõîäíûé â òî÷êåM0 (x0 , y0 , z0 ) è ôèêòèâíûé â òî÷êå M00 (x0 , y0 , −z0 )) ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè z = l, íå ìåíÿÿ èõ çíàêè.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìñèñòåìó èç äâóõ èñòî÷íèêîâ è äâóõ ñòîêîâ. Ôóíêöèÿu1 = q1r0−1r00−q1r1−1r10,94Ãë. 3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Íåéìàíàãäår1 =r10 =q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − (2l + z0 ))2 ,q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − (2l − z0 ))2 ,∂uóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.5.3), ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ 1 = 0 ïðè z =∂z= l, íî íå îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè z = 0.Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿÿ îòîáðàæåíèÿ, òàê ÷òî ïðè îòðàæåíèèîòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè z = 0 çíàêè èñòî÷íèêîâ è ñòîêîâ ìåíÿþòñÿíà ïðîòèâîïîëîæíûå, à ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè z = lîñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, ïîëó÷èì ðåøåíèå â âèäå ðÿäàu=q+∞X(−1)nn=−∞ãäå1rn−1rn0,(3.5.4)q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − (2ln + z0 ))2 ,qrn0 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − (2ln − z0 ))2 .rn =Àáñîëþòíàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäà (3.5.4) äîêàçûâàåòñÿ òàêæå, êàê è â ïðèìåðå 2.3.5..
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðÿä (3.5.4)ìîæíî äâàæäû äèôôåðåíöèðîâàòü. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè z = 0 èz = l òàêæå îêàçûâàþòñÿ âûïîëíåííûìè, òàê êàê íà êàæäîì øàãåîäíî èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé âûïîëíÿåòñÿ òî÷íî, à îøèáêà â äðóãîì1ãðàíè÷íîì óñëîâèè óáûâàåò êàê 2 .nÇàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â íèæíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå, ñîçäàâàåìîå òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì, ïîìåùåííûìâ òî÷êó (1, 2, −3), åñëè ïëîñêîñòü z = 0 òåïëîèçîëèðîâàíà.Çàäà÷à 3.5.4.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå z > 0, åñëè ïîòîê òåïëà ÷åðåç ïëîñêîñòüz = 01çàäàåòñÿ ôóíêöèåé f (x, y), òàêîé ÷òî f (x, y) = O p 2 2 ïðèÇàäà÷à 3.5.3.px2 + y 2 → ∞.x +yÇàïèøèòå ôîðìóëó äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðûâ âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå z > 0, åñëè â íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîéîáëàñòè D âåðõíåãî ïîëóïðîñòðàíñòâà ðàñïîëîëîæåíû èñòî÷íèêèòåïëà ñ ïëîòíîñòüþ Q(M ), à ïëîñêîñòü z = 0 òåïëîèçîëèðîâàíà.Çàäà÷à 3.5.5.Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû, ñîçäàâàåìîåîòðåçêîì äëèíû l áåñêîíå÷íî òîíêîé ðàâíîìåðíî íàãðåòîé íèòè ñëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ èñòî÷íèêîâ òåïëà q , ïîìåùåííûì íàä òåïÇàäà÷à 3.5.6.5.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ Íåéìàíà95ëîèçîëèðîâàííîé ïëîñêîñòüþ. Îòðåçîê ñîñòàâëÿåò ñ ïëîñêîñòüþóãîë α. Ðàññòîÿíèå îò ïëîñêîñòè äî áëèæàéøåé ê íåé òî÷êè îòðåçêà ðàâíî h.Çàäà÷à 3.5.7. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû, ñîçäàâàåìîåîòðåçêîì äëèíû l áåñêîíå÷íî òîíêîé ðàâíîìåðíî íàãðåòîé íèòèñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ èñòî÷íèêîâ òåïëà q , ïîìåùåííûì íàäòåïëîèçîëèðîâàííîé ïëîñêîñòüþ. Îòðåçîê ðàñïîëîæåí ïàðàëëåëüíîïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèè h îò íåå.Çàäà÷à 3.5.8.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû, ñîçäàâàåìîåîòðåçêîì äëèíû l áåñêîíå÷íî òîíêîé ðàâíîìåðíî íàãðåòîé íèòè ñëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ èñòî÷íèêîâ òåïëà q , ïîìåùåííûì íàä òåïëîèçîëèðîâàííîé ïëîñêîñòüþ. Îòðåçîê ðàñïîëîæåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè. Ðàññòîÿíèå îò ïëîñêîñòè äî áëèæàéøåé ê íåé òî÷êèîòðåçêà ðàâíî h.Çàäà÷à 3.5.9. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû îò ñòàöèîíàðíîãî èñòî÷íèêà ìîùíîñòè q , ðàñïîëîæåííîãî â òî÷êå M0 (x0 , y0 , z0 )âíóòðè ñëîÿ 0 < z < l, ñ÷èòàÿ, ÷òî ïëîñêîñòè z = 0 è z = l íåïðîïóñêàþò òåïëî.Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû, ñîçäàâàåìîåòî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì, ïîìåùåííûì âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû π â òî÷êå M0 , åñëè îäíà ãðàíü óãëà ψ = 0 ïîääåðæèâàåòñÿ ïðè2íóëåâîé òåìïåðàòóðå, à âòîðàÿ åãî ãðàíü ψ = π òåïëîèçîëèðîâàíà.2Óãëîâàÿ êîîðäèíàòà òî÷êè M0 ðàâíà π , ðàäèàëüíàÿ êîîðäèíàòà8ðàâíà r0 .Çàäà÷à 3.5.11.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â îáëàñòèy > 0, z > 0, x ∈ (−∞, +∞), ñîçäàâàåìîå èñòî÷íèêàìè, ðàñïîëîæåííûìè ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ q âäîëü îòðåçêà äëèíû l. Êîíöûîòðåçêà èìåþò êîîðäèíàòû (x0 , y0 , z0 ), (x0 , y0 + l, z0 ), x0 , y0 , z0 > 0.Ãðàíèöà z = 0 ïîääåðæèâàåòñÿ ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå, à ãðàíèöày = 0 òåïëîèçîëèðîâàíà.Çàäà÷à 3.5.10.5.2. Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ øàðà ðàäèóñà a.Ð ÅØÅÍÈÅ . Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ãðèíà G(M , M0 ),ïðåæäå âñåãî âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé áóäåò íàèáîëååóäîáíî ðåøàòü çàäà÷ó.
Íàïðàâèì îñü Oz , îò êîòîðîé îòñ÷èòûâàåòñÿóãîë θ ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, òàê, ÷òîáû îíà ïðîõîäèëà ÷åðåçòî÷êó èñòî÷íèêà M0 . Òîãäà òî÷êè M è M0 áóäóò èìåòü êîîðäèíàòûÏðèìåð 3.5.12.M (r, θ, ψ) è M0 (r0 , 0, 0),à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìèrM M0 =qr2 + r02 − 2rr0 cos θ .96Ãë. 3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÔóíêöèÿ Ãðèíà ïðåäñòàâèìà â âèäå:G(M , M0 ) =114π qr2 + r02 − 2rr0 cos θ+ v,ãäå v åñòü ðåøåíèå ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷è:∆v = 0, r ∈ (0, a), θ ∈ (0, π), ψ ∈ [0, 2π], 11∂1∂v q=−,−2∂r r=a4π ∂r4πa2 + r 2 − 2rr cos θ r00r=a|v|r=0 < ∞.(3.5.5)Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (3.5.5) íå çàâèñèò îò óãëà ψ è ìîæåòáûòü çàïèñàíî â âèäå [2]:v = A0 +∞XAnn=1rnPn (cos θ).nan−1(3.5.6)Ðàçëîæèì âûðàæåíèå11 ∂4π ∂r qr2 + r02 − 2rr0 cos θ(3.5.7)â ãðàíè÷íîì óñëîâèè çàäà÷è â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà.Ïîñêîëüêó r0 < a, à âûðàæåíèå (3.5.7) íàì íóæíî ïðè r = a, òî, íåîãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, åãî ìîæíî ñíà÷àëà ïîëó÷èòü äëÿ r0 < r 6 a.Ðàññìîòðèì1rM M 0==qr21+r022− rr0 cos θ∞ n1Xr0Pn (cos θ).rn=0=1qr1 + (r01/r)22=− (r0 /r) cos θrÇäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëîé äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ïîrëèíîìîâ Ëåæàíäðà è òåì, ÷òî 0 < 1.
Èòàê, âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòèrãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ ìîæíî çàïèñàòüâ âèäå1 − 1 ∂q1=−24πa 4π ∂r r2 + r02 − 2rr0 cos θ r=a∞∞XXr0n (n + 1)r0n (n + 1)111=−+P(cosθ)=Pn (cos θ).n2n+2n+24πa4π n=0a4π n=1a975. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ÍåéìàíàÏîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (3.5.6) â ãðàíè÷íîå óñëîâèå, ïîëó÷èì∞X∞r0 (n + 1)1X4π n=1 a 2 Pn (cos θ),nAn Pn (cos θ) =n=1n+îòêóäà íàõîäèìAn =14πa2(n + 1)r0an,n = 1, 2, ...Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ v èìååò âèä:1∞Xn+πa n1 r0 r n Pn (cos θ) =4a2∞∞1 r0 r n Pn (cos θ),1 X r0 r n Pn (cos θ) + 1 X= A0 +4πa n=1 a24πa n=1 n a2v = A0 +n=1ãäå A0 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå r1 = a2 /r0 èïðîñóììèðóåì ïåðâûé èç ðÿäîâ:∞ Xr0 r nn=1a2Pn (cos θ) =∞ nXrn=11=s1 2r−cos θ +r1=r11rr1Pn (cos θ) =2 − 1 =1a2a2q−1=− 1,r0r0 rM M 1r12 + r2 − rr1 cos θ2ãäå M1 (r1 , 0, 0) òî÷êà, ñîïðÿæåííàÿ òî÷êå M0 îòíîñèòåëüíî ñôåðû,òî åñòü òî÷êà, ëåæàùàÿ íà ëó÷å OM0 , òàêàÿ ÷òî r1 · r0 = a2 .Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (Á.0.9) ïðèëîæåíèÿ, ïðîñóììèðóåì âòîðîé ðÿäâ âûðàæåíèè äëÿ ôóíêöèè v :∞Xn=11 r0 r n Pn (cos θ) =na2r0 r1= − ln2 1 − a2 cos θ +1 n1 − r0 r cos θ + r0 r= − ln2a2a2(sM M1r2r1 − 2 cos θ + 2r1r1o= ln)2a2=a2 − rr0 cos θ + r0 rM M1.4 À.Í. Áîãîëþáîâ, Í.Ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
