А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåïëà â âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå, çàïîëíåííîì îäíîðîäíûì âåùåñòâîì, ñîçäàâàåìîå òî÷å÷íûì èñòî÷èêîì ìîùíîñòè q , ïîìåùåííûì â òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ),z0 > 0, åñëè íà ãðàíèöå z = 0 ïðîèñõîäèò òåïëîîáìåí ïî çàêîíóÍüþòîíà ñî ñðåäîé, èìåþùåé íóëåâóþ òåìïåðàòóðó.Ð ÅØÅÍÈÅ . Èñêîìàÿ òåìïåðàòóðà u(M , M0 ), ãäå M (x, y , z), ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì çàäà÷èÏðèìåð 4.3.1.∆ u(M , M0 ) = −q · δ(M , M0 ), (x, y) ∈ R2 , z > 0, M∂u−hu= 0, (x, y) ∈ R2 ,∂zz=0pu ⇒ 0, ïðè r = x2 + y 2 + z 2 → +∞,1153. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷λãäå h = > 0, λ êîýôôèöèåíò òåïëîîáìåíà íà ãðàíèöå, k êîýôkôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè âåùåñòâà â îáëàñòè z > 0.Èñêîìàÿ ôóíêöèÿ u(M , M0 ) èìååò âèäu(M , M0 ) = qq(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2+ v,ãäå v ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ M , óäîâëåòâîðÿþùàÿ êðàåâîìó óñëîâèþqz0∂v= −− hv ∂zz=0(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + z02qh+q(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + z023/2 +,è ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè.
Áóäåì èñêàòü ôóíêöèþ v â âèäåv=qq(x − x0)2+ w(x − x0 , y − y0 , z + z0 ),+ (y − y0 )2 + (z + z0 )2ãäå w ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíîìåðíî ñòðåìÿùàÿñÿ ê íóëþ íàáåñêîíå÷íîñòè. Òîãäà∂w− hw=q∂zz=02qh(x − x0)2+ (y − y0 )2 + z02.Ôèêñèðóåì ïåðåìåííûå x è y è ðàññìîòðèì ôóíêöèþg(z0 ) = w(x − x0 , y − y0 , z0 ),êîòîðàÿ áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ðåøåíèå óðàâíåíèÿg 0 (z0 ) − hg(z0 ) = q2qhρ2+z02, ãäå ρ2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 .Îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä:g(z0 ) = C0 ehz0+ 2qhzZ0z0∗eh(z0 −α)pdα.ρ2 + α 2Èòàê, ôóíêöèÿw(x − x0 , y − y0 , z + z0 ) = C0 eh(z+z0 ) +z+zZ 0eh(z+z0 −α)q+2qhdαz0∗(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + α2(4.3.1)116Ãë. 4.
Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè òðåòüåãî ðîäàóäîâëåòâîðÿåò êðàåâîìó óñëîâèþ (4.3.1) ïðè z = 0. Òàê êàê ôóíêöèÿw äîëæíà ðàâíîìåðíî ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ ïðè z → +∞, òî ïîëîæèìC0 = 0, z0∗ = +∞. Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ+∞Zw(x − x0 , y − y0 , z + z0 ) = −2qhz+z0= −2qh+∞Zeh(z+z0 −α)qdα =(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + α2eh(z0 −η)qz0dη(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + η)2ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â îáëàñòè z > 0.
Òàê êàê èíòåãðàëû, ïîëó÷àåìûå äâóêðàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ âw ïî ïåðåìåííûì x, y è z , ñõîäÿòñÿ, òî ôóíêöèÿ w ÿâëÿåòñÿ äâàæäûíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé, ïðè÷åì∆M w = −2qh+∞Zeh(z0 −η) ∆M qz01(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + η)2òàê êàê ïðè âñåõ η > z0 ôóíêöèÿ1rM M 0=q(x − x0)21+ (y − y0 )2 + (z + η)2dη = 0,,ãäå M 0 (x0 , y0 , −η), ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé M (x, y , z).Èòàê, ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ w, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ãðàíè÷íîìóóñëîâèþ (4.3.1) ïðè z = 0 è ðàâíîìåðíî ñòðåìÿùàÿñÿ ê íóëþ íàáåñêîíå÷íîñòè, ïîñòðîåíà. Ïîñêîëüêó â ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòèðåøåíèÿ òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è ïðè h > 0 äðóãèõ òàêèõ ôóíêöèé íåò,òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìu(M , M0 ) = q+qqq(x − x0− 2qh+∞Zz0+(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2)2−+ (y − y0 )2 + (z + z0 )2eh(z0 −η)qdη(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z + η)2(4.3.2)Åñëè ïîëîæèòü q = 1 , òî âûðàæåíèå (4.3.2) áó4πäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ôóíêöèþ Ãðèíà òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è ââåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå.Çàìå÷àíèå 4.3.13.
Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.117Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåïëà â øàðå ðàäèóñà R,ñîçäàâàåìîãî òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì ìîùíîñòè q , ïîìåùåííûì âòî÷êó M0 âíóòðè øàðà, åñëè íà åãî ïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé îáìåí òåïëîì ïî çàêîíó Íüþòîíà ñî ñðåäîé, èìåþùåéíóëåâóþ òåìïåðàòóðó.Çàäà÷à 4.3.3. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà â øàðîâîì ñëîå a < r < b, åñëè íà ãðàíèöå r = a çàäàíî óñëîâèå Äèðèõëå,à íà ãðàíèöå r = b çàäàíî óñëîâèå òðåòüåãî ðîäà ∂G + hG = 0,∂rr=bh > 0.Çàäà÷à 4.3.4. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà â êðóãå ðàäèóñà a, åñëè íà ãðàíèöå r = a çàäàíî óñëîâèå òðåòüåãî ðîäà∂G= 0, h > 0.+ hG∂rr=aÇàäà÷à 4.3.5. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà ââåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè,åñëè íà ãðàíèöå y = 0 çàäàíî óñëîâèå òðå∂Gòüåãî ðîäà− hG= 0, h > 0.Çàäà÷à 4.3.2.∂yy=0Ïðèëîæåíèå AÔÎÐÌÓËÛ ÃÐÈÍÀ ÄËß ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ËÀÏËÀÑÀ 1.
Òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Âíóòðåííèå îáëàñòè.Ïóñòü D ⊂ R3 êîíå÷íàÿ îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ S . Êàê èçâåñòíî [19], äëÿ ëþáîãî âåêòîðà~ , êîìïîíåíòû êîòîðîãî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû âíóòðè îáëàñòèAD, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî:ZZ~ · ~ndS =A~div AdVDSÇäåñü ~n åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè Díîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S .Èç ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïåðâàÿ ôîðìóëàÃðèíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D. Âîçüìåì âêà÷åñòâå âåêòîðà A~ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:~ = v∇u,Aãäå v è u ñêàëÿðíûå ôóíêöèè êîîðäèíàò, òàêèå ÷òîv ∈ C(D) ∩ C (1) (D),u ∈ C (1) (D) ∩ C (2) (D).Ïðè ýòîì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî~ = div (v∇u) = ∇v · ∇u + v∆u,div Aãäå ∆ = div ∇ îïåðàòîð Ëàïëàñà, è~n · ∇u =∂u,∂nïîëó÷àåì ïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà:ZZv∆udV =DS∂uv dS −∂nZ∇v · ∇udV(A.1.1)DÂòîðàÿ ôîðìóëà Ãðèíà àâòîìàòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîé, åñëèâçÿòüu, v ∈ C (1) (D) ∩ C (2) (D)1191.
Òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Âíóòðåííèå îáëàñòè.è ðàññìîòðåòü ðàçíîñòü èíòåãðàëîâ ïî îáëàñòè D îò âûðàæåíèé v∆u èu∆v :Z(v∆u − u∆v) dV =DZv∂u∂v−udS∂n∂n(A.1.2)SÅñëè îáëàñòü D îãðàíè÷åíàíåñêîëüêèìè çàìêíóòûìè ïîâåðõíîñòÿìè, òî èíòåãðàë â ëåâîé÷àñòè ðàâåíñòâ (A.1.1) è (A.1.2)ïðåâðàùàåòñÿ â ñóììó èíòåãðàëîâïî ñîîòâåòñòâóþùèì ïîâåðõíîñòÿì.Ïðè ýòîì âñå íîðìàëè îáÿçàíû áûòüâíåøíèìè ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D(ñì. ðèñ. A.1.1).Òðåòüÿ ôîðìóëà Ãðèíà ìîæåò áûòüïîëó÷åíà èç âòîðîé, åñëè â êà÷åñòâåôóíêöèè v âçÿòü ôóíäàìåíòàëüíîåðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â òðåõìåðíîì ñëó÷àå:v(M , M0 ) =Ðèñ.
A.1.1.14πr,M M0ãäå rM M0 ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè M è M0 . Òàê êàê äëÿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êè M0 ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîéôóíêöèåé êîîðäèíàò òî÷êè M ïðè M 6= M0 , òî â ñëó÷àå, êîãäà M ∈ D,à M0 ∈/ D, èç âòîðîé ôîðìóëû Ãðèíà (A.1.2) ñðàçó æå ïîëó÷àåì:0=ZS1rP M01∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0ZdSP −D∆udVM .rM M 0(A.1.3) ðàâåíñòâå (A.1.3) òî÷êà P ïðîáåãàåò ãðàíèöó S îáëàñòè D, ~nPïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âíåøíþþ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå P ,èíäåêñ P ó ýëåìåíòà ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè dSP îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè P , à èíäåêñ M ýëåìåíòàîáúåìà dVM , ñîîòâåòñòâåííî, îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè M .
Êîîðäèíàòû òî÷êè M0 èãðàþò ðîëü ïàðàìåòðîâ.Åñëè òî÷êà M0 ïðèíàäëåæèò îáëàñòè D, åå ìîæíî îêðóæèòü ñôåðîé Σ(M0 , ε) ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì â M0 . Ðàäèóñ ε ìîæíî âûáðàòüíàñòîëüêî ìàëûì, ÷òî øàð K(M0 , ε) ñ öåíòðîì â M0 è ðàäèóñîì ε áóäåòöåëèêîì ëåæàòü â îáëàñòè D. Ðàññìîòðèì âòîðóþ ôîðìóëó Ãðèíà â1 ÿâëÿåòñÿîáëàñòè D \ K(M0 , ε). Òàê êàê â ýòîé îáëàñòè ôóíêöèÿrM M 0120Ïðèë.
A. Ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñàãàðìîíè÷åñêîé, ïîëó÷àåì:ZS11∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0rP M0Z1+Σ(M0 ,ε)dSP +1∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0rP M0ZdSP =D\K(M0 ,ε)∆u(M )dVM .r M M0(A.1.4)Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå èíòåãðàë ïî ñôåðå Σ(M0 , ε):Z1I(ε) =1rP M0Σ(M0 ,ε)∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0dSP .Çäåñü åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ~nP ÿâëÿåòñÿ âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D \ K(M0 , ε), òî åñòü îíà íàïðàâëåíà âíóòðü K(M0 , ε). Ïåðåéäåìê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì ñ öåíòðîì â òî÷êå M0 .
Òîãäà ~nP = −~er , è2ZπI(ε) =dψ0Zπ −1 ∂u + u ∂ 1 r ∂r∂r rε2 sin θdθ =r=ε02Zπ=−dψ0Zπ ε∂u + u|r=ε sin θdθ.∂r r=ε0Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ñðåäíåì ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà I(ε) è óñòðåìëÿÿ ε ê íóëþ â ðàâåíñòâå (A.1.4), ïîëó÷àåì:4πu(M0 ) =Z11rP M0S∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0òàê êàêZdSP −D∆u(M )dVM ,r M M0(A.1.5)I(0) = −4πu(M0 ).Åñëè òî÷êà M0 ïðèíàäëåæèò ïîâåðõíîñòè S îáëàñòè D, ìîæíîïîâòîðèòü âñå ïðîâåäåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé,÷òî òåïåðü âíóòðè D îêàçûâàåòñÿ òîëüêî ÷àñòü øàðà K(M0 , ε).
Ïîâåðõíîñòü ýòîé åãî âíóòðåííåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D ÷àñòè ïðè ìàëûõε áëèçêà ê ïîëóñôåðå. Ïîýòîìó â ôîìóëå (A.1.5) íóæíî çàìåíèòüìíîæèòåëü 4π íà 2π . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì òðåòüþ ôîðìóëóÃðèíà:ZΩ(M0 )u(M0 ) =S1rP M01∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0ZdSP −D∆u(M )dVM ,rM M 0(A.1.6)1212. Òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòèãäå(Ω(M0 ) =4π , åñëè M0 ∈ D2π , åñëè M0 ∈ S0, åñëè M0 ∈/ D 2.
Òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòèÏóñòü De äîïîëíåíèå êîíå÷íîé îáëàñòè D ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîéçàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ S äî âñåãî ïðîñòðàíñòâà R3 . Äëÿ ðåãóëÿðíûõíà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèé âî âíåøíåé îáëàñòè De òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü òðè ôîðìóëû Ãðèíà.Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäèëîñü âíóòðè îáëàñòè D. Îêðóæèì îáëàñòü D ñôåðîé Σ(O, R)ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò O è äîñòàòî÷íî áîëüøèì ðàäèóñîì R. Âêîíå÷íîé îáëàñòè K(O, R) \ D, ãäå K(O, R) øàð ñ öåíòðîì â íà÷àëåêîîðäèíàò è ðàäèóñîì R, ñïðàâåäëèâû òðè ôîðìóëû Ãðèíà:1) Äëÿ ëþáûõ v ∈ C(De ) ∩ C (1) (De ) è u ∈ C (1) (De ) ∩ C (2) (De )ZZ∂uv∆udV = vdS +ZSΣ(O ,R)v∂nPK(O ,R)\DZ∂udS −∂n∇v · ∇udV ,K(O ,R)\D(A.2.1)ãäå ~n åäèíè÷íàÿ âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè Σ(O, R).
Ïåðåõîäÿê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, ïîëó÷àåìZZπ 2Zπ∂uv dS = R2∂nI1 (R) =v∂u sin θdθdψ.∂r r=R0 0Σ(O ,R)2) Äëÿ ëþáûõ v , u ∈ C (De ) ∩ C (De )(1)( 2)Z(v∆u − u∆v) dV =K(O ,R)\D Z+Zv∂u∂v−u∂nP∂nPdS+S(A.2.2)∂u∂vv−udS ,∂n∂nΣ(O ,R)ãäåI2 (R) =Z∂u∂vv−udS = R2∂n∂n2Zπdψ0Σ(O ,R)Zπ v∂u∂v −usin θdθ.∂r∂r r=R03) Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè u ∈ C (1) (De ) ∩ C (2) (De )ZΩ(M0 )u(M0 ) =S1rP M01∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0dSP +122Ïðèë. A. Ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà ËàïëàñàZΣ(O ,R)ãäå1+rP M01∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0ZdSP −K(O ,R)\D∆u(M )dVM ,r M M0(A.2.3) 4π , åñëè M0 ∈ K(O, R) \ D,2π , åñëè M0 ∈ S èëè M0 ∈ Σ(O, R),Ω(M0 ) =0, åñëè M0 ∈/ K(O, R) \ D.Ðàññìîòðèì èíòåãðàë ïî ñôåðå Σ(O, R):Z1I3 (R) =1rP M0Σ(O ,R)∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0dSP . ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõqrP M0 P ∈Σ(O,R) = R2 + r02 − 2Rr0 cos γ ,11∂∂nP rP M0 P ∈Σ(O ,R)∂q=∂rr2 + r02 − rr0 cos γR − r0 cos γ= −22R + r02 − Rr0 cos γ2=r=R3/2 ,ãäå (r0 , θ0 , ψ0 ) êîîðäèíàòû òî÷êè M0 , (R, θ, ψ) êîîðäèíàòû òî÷êèP ∈ Σ(O, R), ècos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ψ − ψ0 ) (ñì.
3 ãëàâû 2).Òàêèì îáðàçîì,2Zπ ZπI3 (R) =0 0+1+1− r 20RRr1+r 0R−2 r 20R−2·r 0Rcos γ∂u +∂r r=Rcos γr 0Rcos γ3/2 · u|r=R sin θdθdψ. ðàâåíñòâàõ (A.2.1)-(A.2.3) íîðìàëü ~nP ê ïîâåðõíîñòè S ÿâëÿåòñÿâíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè De , òî åñòü îíà íàïðàâëåíà âíóòðüD.1233.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
