Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа

А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 12

Файл №1125165 А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа) 12 страницаА.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165) страница 122019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Ââåäåì öèëèíäðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, ñîâìåñòèâ îñüOz ñ ðåáðîì óãëà. Òàê êàê ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà q íèòè ïîñòîÿííà, òî â çàäà÷å íåò çàâèñèìîñòè îò ïåðåìåííîé z , è îíà ñâîäèòñÿê äâóìåðíîé. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþðåáðó óãëà. Ïóñòü M0 òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ íèòè ñ ýòîé ïëîñêîñòüþ, è(r0 , ψ0 ) ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè M0 â ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè. Îáëàñòü D = {(r, ψ) : r > 0, 0 < ψ < α} â âûáðàííîé ïëîñêîñòèñîîòâåòñòâóåò âíóòðåííåé ÷àñòè äâóãðàííîãî óãëà.

Èòàê, çàäà÷à ïðèíèìàåò âèä:∆u = −4πqδ(M , M0 ), M , M0 ∈ D,u|ψ=0 = u|ψ=α = 0.Ââåäåì êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü z , ãäå |z| = r, arg z = ψ è áóäåì èñêàòüðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 2.6.2. Äëÿ ýòîãî íóæíî îòîá-76Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåðàçèòü îáëàñòü D íà âíóòðåííîñòü êðóãà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà. Ñíà÷àëàïðåîáðàçóåì ñåêòîðâ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèèππζ = z α , ζ0 = z0α , ãäå z0 ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå M0 . Âåðõíÿÿ ïîëóïëîñêîñòüìîæåò áûòü îòîáðàæåíà íà êðóã ñ ïîìîùüþ äðîáíî-ëèíåéíîé ôóíêöèèw = f (ζ) =ζ − ζ0,ζ − ζ0πãäå ζ 0 êîìïëåêíî ñîïðÿæåííîå ê ζ0 , ïðè÷åì òî÷êà ζ0 = z0α ïåðåõîäèòâ öåíòð êðóãà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 2.6.2 ôóíêöèÿ Ãðèíà èìååòâèä:u(z , z0 ) =èëè22πu(r, ψ) =Çàìå÷àíèå 2.6.2çíà÷íîé:r0α + rq2 ln r 2πα0 π/απ/α − z0 z,ln π/α π/α− z0 zq+r2πα2πα2− 2 (rr0 )ππ(ψ − ψ0 )α.πcos (ψ + ψ0 )α− (rr0 ) α cosπαπÂîîáùå ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ ζ = z α ÿâëÿåòñÿ ìíîãîπππζ = z α = e α Ln z = e α (ln |z|+i arg z+i2πk) , k ∈ Z.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ñ åå ïîìîùüþ êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå, ìû âûáèðàåì âåòâü, ñîîòâåòñòâóþùóþ k = 0.πÒî÷êà z = 0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé âåòâëåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ζ = z α ,ïîýòîìó ïðè z = 0 êîíôîðìíîñòü îòîáðàæåíèÿ íàðóøàåòñÿ.

Òåìíå ìåíåå, çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà ïîëÿ â ýòîé òî÷êå èçâåñòíî èçãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ, îíî ðàâíî íóëþ, ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ ãðàíèóãëà çàçåìëåíû.Ïðèìåð 2.6.24. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷èäëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ïîëîñå x ∈ (−∞; +∞), y ∈ (0; π).Ð ÅØÅÍÈÅ . Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íóæíî ïîñòðîèòü êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå äàííîé ïîëîñû êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z íà âíóòðåííîñòüåäèíè÷íîãî êðóãà |ζ| < 1, ïðè êîòîðîì çàäàííàÿ òî÷êà z0 ïåðåõîäèëàáû â öåíòð êðóãà ζ = 0. Ýòî îòîáðàæåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþôóíêöèè Æóêîâñêîãî, èìåþùåé âèä:f (z , z0 ) =ez − ez0.ez − ez0Òàê êàêno122 2|ez − ez0 | = (ex cos y − ex0 cos y0 ) + (ex sin y − ex0 sin y0 )=1x+x0 √=e 22 {ch (x − x0 ) − cos (y − y0 )} 2 ,776.

Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷òî ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì èñêîìóþ ôóíêöèþ ÃðèíàG(M , M0 ) =11 ch(x − x0 ) − cos(y + y0 )12π ln |f (z, z0 )| = 4π ln ch(x − x0 ) − cos(y − y0 ) .Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéíèòè ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà q , ïîìåùåííîé âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû 2π ïàðàëëåëüíî ðåáðó ýòîãî óãëà. Ãðàíè3óãëà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè.Çàäà÷à 2.6.26.

Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéïëàñòèíû øèðèíû L ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà σ , ïîìåùåííîé âíå äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû π . Ãðàíè óãëà èäåàëüíî2ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè ψ = 0 è ψ = π . Êðàÿ ïëàñòèíû2ëåæàò íà ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ ãðàíè óãëà, ïðîõîäÿùèõ, ñîîòâåòñòâåííî, ÷åðåç òî÷êè (r1 , ψ0 , z1 ) è (r1 + L, ψ0 , z1 ), π < ψ0 < 2π .Çàäà÷à 2.6.25.26.5. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿâ ðÿä Ôóðüå.Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïðèìåíèì è âäâóìåðíîì ñëó÷àå. Îí ïîçâîëÿåò ñâåñòè èñõîäíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ñ ïîìîùüþ ýòîãî ìåòîäà.Ïðèìåð 2.6.27. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ êîëüöåâîãî ñåêòîðàa 6 r 6 b, 0 6 ψ 6 α.Ð ÅØÅÍÈÅ .

Ôóíêöèÿ Ãðèíà G (r, r0 , ψ , ψ0 ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è∆G = −4π δ(r − r0 )δ(ψ − ψ0 ),(2.6.17)r0a < r, r0 < b; 0 < ψ , ψ0 < α,G|ψ=0 = G|ψ=α = 0,G|r=a = G|r=b = 0.(2.6.18)(2.6.19)(2.6.20)Áóäåì èñêàòü ôóíêöèþ G (r, r0 , ψ , ψ0 ) â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüåπnïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé vn (ψ) = sin ψ , n = 1, 2, ... îòðåçêàα[0, α] :G (r, r0 , ψ , ψ0 ) =∞XAn (r, r0 , ψ0 ) sinn=1πnψ.αÊîýôôèöèåíòû An Ôóðüå ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè2An (r, r0 , ψ0 ) =Zαα0G (r, r0 , ψ , ψ0 ) sinπnψdψ , n =α1, 2, ... .78Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÏîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî óìíî2 πnæèì óðàâíåíèå (2.6.18) íà sin ψ è ïðîèíòåãðèðóåì ëåâóþ è ïðàâóþαα÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ïî îòðåçêó [0, α]:1∂2r ∂ r ∂r∂r α12+Zα2r α0ZαπnG (r, r0 , ψ , ψ0 ) sinψdψ  +α0Zα8∂2Gπδ(r − r0 )πnsinψdψ = −2ααr0∂ψδ(ψ − ψ0 ) sinπnψdψ.α0Äâà ðàçà èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì âòîðîå ñëàãàåìîå â ëåâîé ÷àñòè ñó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2.6.19), ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèéAn (r, r0 , ψ0 ):ddrrdAndr−1 πn 2 An = − 8πr δ(r − r0 ) sin πn ψ0 ,rαr0 ααn = 1, 2, ...(2.6.21)Êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóþò èç (2.6.20):An |r=a = An |r=b = 0.(2.6.22)Áóäåì ñòðîèòü ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (2.6.21)-(2.6.22) íà îòðåçêå[a, b] ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà.

Êàê èçâåñòíî [17], ôóíêöèþ Ãðèíàñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðàL[y] =ddrp(r)dydrñëåäóåò èñêàòü â âèäå:g(r, s) =1p(s)W (s)y1 (r)y2 (s), a 6 r 6 s,y2 (r)y1 (s), s 6 r 6 b,ãäå y1 (r), y2 (r) ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ L[y] = 0, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿìy1 (a) = 0, y2 (b) = 0,(2.6.23)à W (s) îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî ôóíêöèé y1 (r) è y2 (r), âçÿòûé âòî÷êå s.Ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿddrrdydr−1 πn 2 y = 0,rαóäîâëåòâîðÿþùèå êðàåâûì óñëîâèÿì (2.6.23), èìåþò âèäy1 (r) = rπnα1− 2πnarα!, y2 (r) = rπn− α1− 2πnrbα!.796. Ìåòîäû ðåøåíèÿ äâóìåðíûõ çàäà÷Òîãäà2πnp(s)W (s) = sW [y1 (s), y2 (s)] = −α1+ 2πnabα!.Äëÿ ôóíêöèè g(r, s) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå"g(r, s) =×2πn−α πnr α s πns α r1+1−1− 2πn!#−1 2πn! 2πn!abarasα×1−α1−α 2πn! 2πn!sbrb, a 6 r 6 s,α, s 6 r 6 b.αÔóíêöèÿ An (r, r0 , ψ0 ), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (2.6.21)(2.6.22), ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ÷åðåç ôóíêöèþ g(r, s) ñëåäóþùèìîáðàçîì [17]:Zb8π s δ(s − r0 ) sin πn ψ0 ds,An (r, r0 , ψ0 ) = g(r, s) −αr0α(2.6.24)aÏîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ g(r, s) â (2.6.24), ïîëó÷àåìAn (r, r0 , ψ0 ) =!! πn a 2πn r 2πnαrαα01− r1− br0πn!sinψ , a 6 r 6 r0 ,4· a 2πnα 0αn 1+b=! 2πn r πn r 2πnαaα α01 − r01− brπn!4·sinψ , r0 6 r 6 b.2πnα 0a αn 1+b80Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÎêîí÷àòåëüíî ðåøåíèå çàäà÷è (2.6.18)-(2.6.20) ïîëó÷àåì â âèäå ðÿäàÔóðüåG(r, r0 , ψ , ψ0 ) =!! πn a 2πn r 2πnαrαα01− r1− b∞Xr0!×4· a 2πnαn=1n 1+bπnπn× sinψ sinψ , r 6 r0 ,α 0α! 2πn r πn r 2πnαaα α01− b1 − r0∞rX!4·× a 2πnαn=1n 1+bπnπnψ0 sinψ , r0 6 r.× sinααÎòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûå ðÿäû ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî ïðè r 6= r0 èóñëîâíî ïðè r = r0 .Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ áåñêîíå÷íîé çàðÿæåííîéíèòè, ïîìåùåííîé âíóòðü áåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòè,ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå êîòîðîé èìååò ôîðìó ñåêòîðà ðàäèóñà a èóãëîì π .

Ïîëîñòü îãðàíè÷åíà èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé4ïîâåðõíîñòüþ.Çàäà÷à 2.6.28.Ãëàâà 3ÔÓÍÊÖÈÈ ÃÐÈÍÀ ÇÀÄÀ× ÍÅÉÌÀÍÀÊðàåâûå çàäà÷è äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Íåéìàíà âîçíèêàþò, íàïðèìåð, ïðè ðàñ÷åòå ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿòåìïåðàòóðû â íåêîòîðîé îáëàñòè. Åñëè èçâåñòåí òåïëîâîé ïîòîê ÷åðåçãðàíèöó ýòîé îáëàñòè, òî ìû ïðèõîäèì ê çàäà÷å ñ íåîäíîðîäíûì óñëîâèåì Íåéìàíà. Åñëè ïîòîê òåïëà ÷åðåç ãðàíèöó îòñóòñòâóåò, òî åñòüãðàíèöà òåïëîèçîëèðîâàíà, òî ãðàíè÷íîå óñëîâèå Íåéìàíà îêàçûâàåòñÿîäíîðîäíûì.Ÿ 1. Âíóòðåííèå òðåõìåðíûå çàäà÷èÏóñòü D îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ S â ïðîñòðàíñòâå R3 .

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿÏóàññîíà:∆u = −F (M ),∂u = f (P ),∂nSM ∈ D,(3.1.1)P ∈ S,(3.1.2)ãäå n åäèíè÷íàÿ âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D íîðìàëü êïîâåðõíîñòè S . îòëè÷èå îò çàäà÷è Äèðèõëå âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à (3.1.1-3.1.2)ðàçðåøèìà òîëüêî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿZ−IF (M )dV = f (P )dS.D(3.1.3)SÄåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ðåøåíèå çàäà÷è u(M ) ñóùåñòâóåò. Ïðèìåíèìïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà,ZIv∆u dV =D∂uvdS −∂nSZ∇v · ∇u dV ,Dê ðåøåíèþ u çàäà÷è (3.1.1-3.1.2) è ôóíêöèè v = 1.

 ðåçóëüòàòåïîëó÷èìZI∂u∆udV =dS ,(3.1.4)∂nDSîòêóäà ñëåäóåò (3.1.3). Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (3.1.3) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è.82Ãë. 3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÏîÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè (3.1.3) â ðàìêàõýëåêòðîñòàòèêè. Åñëè ôóíêöèÿ u ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, òî âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè (3.1.4) åñòü ïîëíûéïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòóþïîâåðõíîñòü S , à âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè (3.1.4) åñòü ïîëíûé çàðÿä,íàõîäÿùèéñÿ âíóòðè îáëàñòè D. Òàêèì îáðàçîì, ðàâåíñòâî (3.1.3)îçíà÷àåò âûïîëíåíèå òåîðåìû ÎñòðîãðàäñêîãîÃàóññà.Ïóñòü óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è (3.1.1-3.1.2) âûïîëíåíî.Îïðåäåëåíèå 3.1.1 Áóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (3.1.1-3.1.2) ôóíêöèþ u(M ), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè D, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè D,óäîâëåòâîðÿþùóþ â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óðàâíåíèþ (3.1.1) â îáëàñòè D è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.1.2).Åñëè ãðàíèöà S îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Ëÿïóíîâà, ôóíêöèÿ F (M ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé, à ôóíêöèÿ f (P )íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3.1.3), òî çàäà÷à (3.1.1-3.1.2)èìååò êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äîàääèòèâíîé ïîñòîÿííîé [1].Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.1.13.1.2), âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2.1.4):u(M ) =Z−IG(P , M ),∂u(P )∂G(P M )− u(P )dSP −∂nP∂nP(3.1.5)SG(Q, M )∆u(Q)dVQ .D×åðåç G(Q, M ) îáîçíà÷åíî ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõñëàãàåìûõ:1 + v,G(Q, M ) =4πrQMãäå v ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè D ôóíêöèÿ.

Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå∂u (3.1.5) çíà÷åíèÿ = f (P ) è ∆u(Q) = −F (Q), ïîëó÷àåì:∂nu(M ) =Z+ISG(P , M )f (P ) − u(P ),∂G(P M )dSP +∂nP(3.1.6)SG(Q, M )F (Q)dVQ .D ïðàâîé ÷àñòè (3.1.6) ñîäåðæèòñÿ ñëàãàåìîåIS,∂G(P M )u(P )dSP =∂nPIu(P )S1∂∂v+∂nP πrP M∂nP4dSP ,(3.1.7)1. Âíóòðåííèå òðåõìåðíûå çàäà÷è83çíà÷åíèå êîòîðîãî íåèçâåñòíî, ïîñêîëüêó â çàäà÷å íà ãðàíèöå S çàäàíî∂uëèøü (P ), P ∈ S , à çíà÷åíèå ñàìîé ôóíêöèè u(P ) íå îïðåäåëåíî.∂nÐåøåíèå âíóòðåííåé òðåõìåðíîé çàäà÷è Íåéìàíà îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé, ïîýòîìó ïîäáåðåì ôóíêöèþ v òàêèìîáðàçîì, ÷òîáû âûðàæåíèå (3.1.7) áûëî ðàâíî êîíñòàíòå.

Âîçüìåì âêà÷åñòâå ôóíêöèè v ðåøåíèå çàäà÷è(∆v = 0, Q ∈ D,1 ∂∂v =−∂nP4π ∂nSP1+ C , P ∈ S.rP M(3.1.8)Êîíñòàíòà C â êðàåâîì óñëîâèè çàäà÷è (3.1.8) âûáèðàåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè (3.1.3), êîòîðîå âäàííîì ñëó÷àå ïðèîáðåòàåò âèä:I1 ∂ 1−4π ∂n rPS+ C dSP = 0,PMîòêóäà ïîëó÷àåìIC · S0 =1 ∂ 14π ∂n rPSdSP ,PMãäå S0 ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè S . Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãîðàâåíñòâà ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ òðåòüþ ôîðìóëó Ãðèíà (A.1.6),çàïèñàííóþ äëÿ ôóíêöèè u ≡ 1:1=−14πI1∂dSP .∂nP rP MSÎêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìC=−1.S0Îïðåäåëåíèå 3.1.2 Ôóíêöèåé Ãðèíà âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíàäëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â òðåõìåðíîì ñëó÷àå áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ1 + v(Q, M ), Q ∈ D, M ∈ D,G(Q, M ) =4πrQMóäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:1) v(Q, M ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè Q ∈ D,íåïðåðûâíàÿ íà D äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ D;1 äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ D.2) ∂ G(P , M )=−∂nPP ∈SS084Ãë.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,31 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее