А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Êîíöû îòðåçêà èìåþò êîîðäèíàòû (x0 , y0 , z0 ), (x0 , y0 + L, z0 ), x0 , y0 , z0 > 0. Ãðàíèöû z = 0 èy = 0 èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå è çàçåìëåííûå.Çàäà÷à 2.3.17. Íàéäèòå ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ, èíäóöèðîâàííûõ íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè ïðîâîäÿùåé ñôåðû òî÷å÷íûìçàðÿäîì, ïîìåùåííûì â íåêîòîðóþ òî÷êó M0 âíå ýòîé ñôåðû.Çàäà÷à 2.3.18. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà âíå íåïðîâîäÿùåé ñôåðû ðàäèóñà a, åñëè íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû ïîääåðæèâàåòñÿïîòåíöèàë, ðàâíûé f (θ, ψ).Çàäà÷à 2.3.19.
Îïðåäåëèòå ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà íà îñè ñèììåòðèè âíóòðè ñôåðû, åñëè íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû ðàñïðåäåëåíèåïîòåíöèàëà çàäàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïðè 0 6 θ < π (âåðõíÿÿ2ïîëóñôåðà) u = u1 , ïðè π < θ 6 π (íèæíÿÿ ïîëóñôåðà) u = u2 , ãäå u12è u2 êîíñòàíòû. Âíóòðè ñôåðû íåò îáúåìíûõ çàðÿäîâ.Çàäà÷à 2.3.20. Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿçàäà÷è Äèðèõëå â ÷åòâåðòè øàðà.Çàäà÷à 2.3.21. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî â íåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå òî÷å÷íûì çàðÿäîì, ïîìåùåííûì â òî÷êóÇàäà÷à 2.3.12.42Ãë.
2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåM0 (x0 , y0 , z0 ), z0 > 0. Ïðîñòðàíñòâî çàïîëíåíî íåîäíîðîäíûì äèýëåêòðèêîì ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ:nε , z > 0,ε = ε1 , z < 0.23.2. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ.Ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîÿñíèòü, âêàêîì ñìûñëå ñëåäóåò ïîíèìàòü ñõîäèìîñòü ýòîãî ðÿäà, íåîáõîäèìîíàïîìíèòü ïîíÿòèå ïðîñòðàíñòâà L2 .Ôóíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî L2 .Ïóñòü D îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ñçàìêíóòîé ãðàíèöåé S . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ â D êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé f (M ). Êàê èçâåñòíî, îíè îáðàçóþò ëèíåéíîåïðîñòðàíñòâî C(D) íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ââåäåì â ïðîñòðàíñòâå C(D) ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå(f , g) =Zg(M )f (M )dV.DÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîðîæäàåò íîðìókf k =p(f , f ) , f ∈ C(D).Äîïîëíÿÿ ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî C(D) ïðåäåëàìè âñåõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïî ââåäåííîé íîðìå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ïîëó÷èì ïîëíîåíîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì L2 (D).Äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ íàì ïîíàäîáÿòñÿ ïîíÿòèÿ ïîëíîòû èçàìêíóòîñòè ñèñòåì ôóíêöèé â L2 (D).Îïðåäåëåíèå 2.3.1 Ñèñòåìà ôóíêöèé {ϕn }∞1 íàçûâàåòñÿ ïîëíîé âL2 (D), åñëè íå ñóùåñòâóåò ôóíêöèè f ∈ L2 (D), kf k =6 0, òàêîé ÷òî(f , ϕn ) = 0 ïðè âñåõ n.Îïðåäåëåíèå 2.3.2 Ñèñòåìà ôóíêöèé {ϕn }∞íàçûâàåòñÿ çàìêíó1òîé â L2 (D), åñëè äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D) è ëþáîãî ÷èñëà ε > 0ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N = N (ε) è êîýôôèöèåíòûα1 , α2 , ..., αN , ÷òîNXαn ϕn 6 ε.f −n=1 ïðîñòðàíñòâå L2 (D) ïîíÿòèÿ ïîëíîòû è çàìêíóòîñòè ýêâèâàëåíòíû [19].
Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D) ðÿä Ôóðüåf=∞Xn=1(f , ϕn )ϕn ,433. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëåïîïîëíîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå⊂ L2 (D), kϕn k = 1, ñõîäèòñÿ â íîðìå L2 (D).ôóíêöèé{ϕn }∞⊂1Çàäà÷à ØòóðìàËèóâèëëÿ.Íàïîìíèì, ÷òî çàäà÷åé ØòóðìàËèóâèëëÿ äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñàíàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàäà÷à:∆v + λv = 0, M ∈ D,v|S = 0, P ∈ S.(2.3.23)Çàäà÷à ØòóðìàËèóâèëëÿ (2.3.23) ðàâíîñèëüíà èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ [14, 15]Z(2.3.24)v(M ) = λ G(Q, M )v(Q)dVQ .DÏåðå÷èñëèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé çàäà÷è (2.3.23), êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàì äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ.1.
Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéλn , êàæäîìó èç êîòîðûõ îòâå÷àåò êîíå÷íîå ÷èñëî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.2. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðè óâåëè÷åíèè íîìåðà n íåîãðàíè÷åííîâîçðàñòàþò. Âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è Äèðèõëå ïîëîæèòåëüíû.3. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû ìåæäó ñîáîé:Zvn (M )vm (M )dV = 0,ïðè n 6= m.D4. Ñèñòåìà {vn }∞1 ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà÷è (2.3.23) ïîëíà è çàìêíóòà â L2 (D).Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõôóíêöèé.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó∆u = −F (M ), M ∈ D,u|S = 0, P ∈ S.Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà åå ðåøåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäåZu(M ) =G(Q, M )F (Q)dVQ .DÔóíêöèÿ Ãðèíà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâókG(Q, M )k =2ZZDDG2 (Q, M )dVQ dVM < ∞.44Ãë.
2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëå ñàìîì äåëå, òàê êàêG(Q, M ) =14πr+ v(Q, M ),QMãäå v ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â D, òî íàéäåòñÿ òàêàÿêîíñòàíòà C > 0, ÷òî |v| 6 C . ÑëåäîâàòåëüíîkG(Q, M )k 62ZZ116π rDDdVQ dVM2 2QMC+π2ZZ1rQMdVQ dVM + C 2 V02 ,DDãäå V0 îáúåì îáëàñòè D.  [7] ïîêàçàíî, ÷òî èíòåãðàëûZ1I1 (M ) =2rQMDdVQ , I2 (M ) =Z1rQMdVQDÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè. Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàëûZI1 (M )dVM ,DZI2 (M )dVMDîãðàíè÷åíû.Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî L2 (D × D), ñîñòîÿùåå èç âñåõ ôóíêöèéA(Q, M ), òàêèõ ÷òîkA(Q, M )k =2ZZ|A(Q, M )|2 dVQ dVM < ∞.DD êà÷åñòâå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â L2 (D × D) âîçüìåì(A, B) =ZZB(Q, M )A(Q, M )dVM dVQ .DDÐàññìîòðèì îïåðàòîðû âèäàZ(Af )(M ) =A(Q, M )f (Q)dVQ ,(2.3.25)Dãäå A(Q, M ) ∈ L2 (D × D), f ∈ L2 (D).Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [20]:Òåîðåìà 2.3.1 Äëÿ ëþáîãî ÿäðà A(Q, M ) ∈ L2 (D × D) îïåðàòîð A,îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì (2.3.25), ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì â L2 (D), è äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(Af )(M ) = (A0 f )(M ),453.
Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëåãäå A0 èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîìA0 (Q, M ) =∞X(Aϕk , ϕn )ϕn (M )ϕk (Q),(2.3.26)n,k=1(Aϕk , ϕn ) =Z ZDãäå{ϕn }∞1L2 (D).A(Q, M )ϕk (Q)dVQϕn (M )dVM ,D ëþáàÿ ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé âÏîñêîëüêó ñèñòåìà {vn }∞1 ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ (2.3.23) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé â L2 (D),òî, íîðìèðîâàâ åå íà åäèíèöó, ýòó ñèñòåìó ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå{ϕn }∞1 . Ðàññìîòðèì âûðàæåíèåZ(Gf )(M ) =G(Q, M )f (Q)dVQDäëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D).  ñèëó òåîðåìû 2.3.1 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(Gf )(M ) = (G0 f )(M ),ãäå G0 èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîìG0 (Q, M) =Z∞ ZX G(Q0 , M 0 )vk (Q0 )dVQ0 vn (M 0 )dVM 0 vn (M )vk (Q)=n,k=1DDÈñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (2.3.24), ïîëó÷àåìZG(Q0 , M 0 )vk (Q0 )dVQ0 =1 vk (M 0 ).λkD ñèëó îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåìû ôóíêöèé {vn }∞ñïðàâåäëèâî1ðàâåíñòâîZ1 vk (M 0 )vn (M 0 )dVMλk0=1 δnk .λkDÑëåäîâàòåëüíî,G0 (Q, M ) =∞Xvn (M )vn (Q)n=1λn.46Ãë. 2.
Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÄàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ïî íîðìå L2 (D × D). Èòàê, ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿëþáîé ôóíêöèè f ∈ L2 (D) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîZG(Q, M )f (Q)dVQ =ZX∞vn (M )vn (Q)λnD n=1Df (Q)dVQ .Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîG(Q, M ) =∞Xvn (M )vn (Q)λnn=1,(2.3.27)íî ðàâåíñòâî (2.3.27) ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ðàâåíñòâî ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà L2 (D × D).  ïðîñòðàíñòâå L2 (D × D) äâà ýëåìåíòà ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè íîðìà èõ ðàçíîñòè ðàâíà 0.Ïðèìåð 2.3.22. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà âåëè÷èíû q , ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ) âíóòðè ïðÿìîóãîëüíîãîïàðàëëåëåïèïåäà ñ ðåáðàìè a, b, c.Ð ÅØÅÍÈÅ . Òàê êàê ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííîé ôóíêöèåé è ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ 4πq ñîâïàäàåò ñôóíêöèåé Ãðèíà, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (2.3.27).
Äëÿýòîãî íàéäåì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷èØòóðìàËèóâèëëÿ â ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå ñ óñëîâèÿìè Äèðèõëå: ∆v + λv = 0, x ∈ (0, a), y ∈ (0, b), z ∈ (0, c), v|x=0 = v|x=a = v|y=0 = v|y=b = v|z=0 = v|z=c = 0.Êàê èçâåñòíî [1], ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòîéçàäà÷è èìåþò âèä:rvnmk =λnmk =8abcπnasin2+πnπmπkx siny sinzabcπmb2+πkc2,, ãäå n, m, k ∈ N.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.3.27), ïîëó÷àåì ïîòåíöèàë ïîëÿ çàðÿäà, ïîìåùåííîãî â ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä:ϕ(x, y , z , x0 , y0 , z0 ) =8× πn πn abc πm πm πk πk ∞x sinx0 siny siny0 sinz sinz0X sinaabbcc×. πn 2 πm 2 πk 2k,m,n=1++abc473. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÇàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå â ïðÿìîì êðóãîâîì öèëèíäðå âûñîòû h, ðàäèóñà a.Çàäà÷à 2.3.24.
Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå â ñåêòîðå ïðÿìîãî êðóãîâîãî öèëèíäðà âûñîòû h,ðàäèóñà a, ñ óãëîì ðàñòâîðà α.3.3. Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Êàê áûëî ñêàçàíîâûøå, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ôóíêöèþ ÃðèíàÇàäà÷à 2.3.23.G(Q, M ) =14πr+ v(Q, M )QMâíóòðåííåé èëè âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà âòðåõìåðíîì ñëó÷àå, äîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó(∆Q v = 0,v|S = −14πrQ ∈ D,,P ∈S(2.3.28)PMâ îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D ñ ãðàíèöåé S , ëèáî çàäà÷ó ∆Q v = 0, Q ∈ De ,1 , P ∈ S,v|S = −4πrPMv ⇒ 0 íà áåñêîíå÷íîñòè(2.3.29)â îáëàñòè De , âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D. Îäíèì èç ñïîñîáîâðåøåíèÿ çàäà÷ (2.3.28) è (2.3.29) ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. äàííîì ïîñîáèè îãðàíè÷èìñÿ âàæíûì äëÿ ïðèëîæåíèé ñëó÷àåìñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò.
Ïóñòü òî÷êà íàáëþäåíèÿ Q èìååò êîîðäèíàòû(r, θ, ψ), à òî÷êà èñòî÷íèêà M èìååò êîîðäèíàòû (r0 , θ0 , ψ0 ). Îáùååðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, ïîëó÷åííîåìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäåðÿäà [1]:v(r, θ, ψ) =+∞ XnXn=0 m=0∞ XnXrn (Cn,m cos mψ + Dn,m sin mψ) Pn(m) (cos θ)+n=0 m=01rn+1(En,m cos mψ + Fn,m sin mψ) Pn(m) (cos θ),(2.3.30)ãäå Pn(m) (cos θ) ïðèñîåäèíåííûå ôóíêöèè Ëåæàíäðà. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íåîáõîäèìî íàéòè íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû Cn,m , Dn,m ,En,m , Fn,m , èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
