Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа

А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 8

Файл №1125165 А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа) 8 страницаА.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165) страница 82019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ, ñòîÿùóþ â ïðàâîé ÷àñòè ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ, â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì ðàçëîæåíèå ôóíäàìåíòàëüíîãî48Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåðåøåíèÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ðÿä ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Ïðèìåíÿÿôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà Pn [1]11 + t2 − 2tαpïîëó÷àåì:14πr=QM==∞Xtn Pn (α),|t| < 1,n=0114π qr2 + r02 − 2rr0 cos γ =∞ n1 Xr04πr n=0 r Pn (cos γ), åñëè r > r0 ,∞ nr1 X4πr0 n=0 r0 Pn (cos γ), åñëè r < r0 ,(2.3.31)ãäå cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ψ − ψ0 ).

Åñëè îðèåíòèðîâàòü ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû òî÷êà èñòî÷íèêà M íàõîäèëàñüíà îñè Oz , òî sin θ0 = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, cos γ = cos θ. Îïèñàííûé ìåòîä îñîáåííî óäîáíî ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ â øàðå è åãî ÷àñòÿõ.Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ äîñòàòî÷íî ïîäñòàâèòüâûðàæåíèå (2.3.30) â ãðàíè÷íîå óñëîâèå çàäà÷è (2.3.28) èëè (2.3.29)(è â óñëîâèå íà áåñêîíå÷íîñòè â ñëó÷àå âíåøíåé çàäà÷è) è ñðàâíèòüêîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñôåðè÷åñêèì ôóíêöèÿì âïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà.Ïðèìåð 2.3.25. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî òî÷å÷íûìçàðÿäîì âåëè÷èíû q âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ, îãðàíè÷åííîãî äâóìÿêîíöåíòðè÷åñêèìè ïðîâîäÿùèìè çàçåìëåííûìè ñôåðàìè ñ ðàäèóñàìè a è b.Ð ÅØÅÍÈÅ . Ïóñòü çàðÿä q ïîìåùåí â òî÷êó M0 âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ.Èñêîìûé ïîòåíöèàë èìååò âèä:ϕ(M , M0 ) =q+ v(M , M0 ),rM M 0ãäå v(M , M0 ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè M .

Ââåäåìñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòðêîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð. Íàïðàâèì îñü Oz âäîëü ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåéöåíòð ñôåð è òî÷êó M0 . Ôóíêöèÿ v(M , M0 ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è: , b), θ ∈ (0, π), ∆v = 0, r ∈ (aqq = −q, v|r=a = − r22P M0 r=aa + r0 − 2ar0 cos θq q= −q, v|r=b = − r22P M0r=b2b + r0 − br0 cos θ493.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëåãäå M0 = M0 (r0 , 0, 0) è M = M (r, θ, ψ).  ïîñòàíîâêå çàäà÷è íåò çàâèñèìîñòè îò ïåðåìåííîé ψ , ïîýòîìó ôóíêöèÿ v(M , M0 ) çàâèñèò òîëüêîîò r è θ. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñàâ øàðîâîì ñëîå [2] ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:v=∞X∞Ann=0Xr2n+1 − a2n+1b2n+1 − r2n+1P(cosθ)+Pn (cos θ),Bnnrn+1rn+1n=0ãäå êîýôôèöèåíòû An è Bn íàõîäÿòñÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ïðåîáðàçóåì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ê áîëåå óäîáíîìó äëÿ äàëüíåéøåãî ðåøåíèÿâèäó:q−q=−2a2 + r02 − ar0 cos θ=−∞ q X a nPn (cos θ),r0r0òàê êàê r0 > a, è−q+r02=−=1 + (a/r0 )2 − 2(a/r0 ) cos θn=0qb21qqr0qb=− q2− br0 cos θ1 + (r01/b)2=2− (r0 /b) cos θ∞ q X r0 nPn (cos θ),bbn=0òàê êàê r0 < b.

Ïîäñòàâèì îáùåå ðåøåíèå â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èíàéäåì íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû:∞XBnn=0∞Xn=0∞ b2n+1 − a2n+1q X a nP(cosθ)=−Pn (cos θ),nr0r0an+1n=0An∞ q X r0 nb2n+1 − a2n+1P(cosθ)=−Pn (cos θ).nbbbn+1n=0Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå è ëåâûå ÷àñòè â ýòèõ ðàâåíñòâàõ, ïîëó÷àåìAn = −qbr0bbn+1nbBn = −Ñëåäîâàòåëüíî:v=−2n+1qr02n+1−aar0= −qb2n+1an+1nb2n+1− a2n+1r0n− a2n+1.∞ q X r0 n r2n+1 − a2n+1Pn (cos θ)−rrb2n+1 − a2n+1n=0∞qX−an=0a2r0 rn+1b2n+1 − r2n+1b2n+1 − a2n+1Pn (cos θ).,50Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÄëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ôóíêöèþ Ãðèíà, çàâèñÿùóþ îò ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê M (r, θ, ψ) è M0 (r0 , θ0 , ψ0 ) âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ, ñëåäóåò ïîëîæèòü q = 1 è çàìåíèòü cos θ íà êîñèíóñ4πóãëà ìåæäó âåêòîðàìè OM è OM0 :Çàìå÷àíèå 2.3.8cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ψ − ψ0 ).Èòàê, ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ èìååòâèä:G(M , M0 ) =14πrM M0−1−1∞ n 2n+1Xr− a2n+1r04πr n=0∞ 2 n+1 2n+1Xab− r2n+14πa n=0r0 rb2n+1 − a2n+1rb2n+1 − a2n+1Pn (cos γ)−(2.3.32)Pn (cos γ).Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â îáëàñòè a2 6 x2 + y 2 + z 2 6 b2 , z > 0, a < b.Ñîâåò: Âîñïîëüçóéòåñü ôîðìóëîé (2.3.32) è ìåòîäîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé.Çàäà÷à 2.3.26.Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå (2.3.18) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíàîïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå â øàðå ðàäèóñà a ìåòîäîìðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Çàäà÷à 2.3.27.Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå (2.3.19) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíàîïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå âíå øàðå ðàäèóñà a ìåòîäîìðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Çàäà÷à 2.3.28.3.4.

Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Ìåòîä Ôóðüå ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ óäîáåí â òîì ñëó÷àå, êîãäà çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ â áåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòèΩ = {(x, y) ∈ D, z ∈ (−∞, +∞)}. Ðåøåíèå çàäà÷è ìîæíî èñêàòüâ âèäå u = u(M , z), ãäå M òî÷êà â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè Döèëèíäðà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåøåíèå u(M , z) óðàâíåíèÿ äîïóñêàåòïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z , òî åñòü ñóùåñòâóåò åãîÔóðüå-îáðàç+∞Z1ub(M , µ) = √u(M , z)e−iµz dz.2π −∞Òîãäà, ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê óðàâíåíèþ è ãðàíè÷íûìóñëîâèÿì íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà, äëÿ Ôóðüå-îáðàçà ub(M , µ)ïîëó÷èì êðàåâóþ çàäà÷ó â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè öèëèíäðà.513.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÏðèìåð 2.3.29. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà âåëè÷èíû q , ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ) âíóòðè îáëàñòè, çàïîëíåííîé âîçäóõîì, îãðàíè÷åííîé çàçåìëåííîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ñå÷åíèÿ D.Ð ÅØÅÍÈÅ .

Ïóñòü Ω = {(x, y) ∈ D, z ∈ (−∞, +∞)}, ∂Ω áîêîâàÿïîâåðõíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî öèëèíäðà.  îòñóòñòâèè ïðîâîäÿùåéçàçåìëåííîé ïîâåðõíîñòè ∂Ω ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q , ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 , èìååò âèä:u0 = qòî åñòüq(x − x0u0 → 0 è)2+ (y − y0 )2 + (z − z0 )2∂u0→∂z,0 ïðè z → ±∞.(2.3.33)Ïðè íàëè÷èè ïðîâîäÿùåé ïîâåðõíîñòè ∂Ω íóæíî ó÷åñòü òàêæåïîëå íàâåäåííûõ çàðÿäîâ. Ïðè óäàëåíèè îò òî÷êè M0 ýòî ïîëå áóäåòóáûâàòü, ïîýòîìó åñòåñòâåííî ïîòðåáîâàòü äëÿ íåãî âûïîëíåíèÿ óñëîâèé, àíàëîãè÷íûõ (2.3.33). Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêóçàäà÷è ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:(x, y) ∈ D, ∆u = −4πqδ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 ), −∞ < z < +∞,u|∂Ω = 0, u → 0, uz → 0 ïðè z → ±∞.(2.3.34)Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå u(x, y , z), êîòîðîå äîïóñêàåò âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z . Ïðîâåäåìïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z :+∞Z1u(x, y , z)e−iµz dz.2π −∞ub(x, y , µ) = √Ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ:+∞Z+∞Z11√∆u e−iµz dz = √(∆ u + uzz ) e−iµz dz =2π −∞2π −∞ 2+∞Z+∞Z11ue−iµz dz + √u e−iµz dz ,2π −∞2π −∞ zz= ∆2 √|{z=bu(x,y ,µ)}(2.3.35)52Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåãäå ∆2 îïåðàòîð Ëàïëàñà â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè. Âû÷èñëèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë â (2.3.35) äâà ðàçà ïî ÷àñòÿì, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ íàáåñêîíå÷íîñòè äëÿ ôóíêöèè u(x, y , z):+∞Z11√u e−iµz dz = √2π −∞ zz| 2πz=+∞uz e−iµz z=−∞{z{z=02}=012z=+∞iµ=√ue−iµz z=−∞ −µ2 √ππ| 2iµ+√π}|+∞Zuz e−iµz dz =−∞+∞Zue−iµz dz .−∞{z=bu(x,y ,µ)}Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê óðàâíåíèþ èãðàíè÷íîìó óñëîâèþ, äëÿ Ôóðüå-îáðàçà ïîëó÷àåì çàäà÷ó√ ∆2 ub − µ2 ub = −2 2π qe−iµz0 δ(x − x0 )δ(y − y0 ), (x, y) ∈ D, ub|L = 0,(2.3.36)ãäå L ãðàíèöà îáëàñòè D. Ðåøåíèå çàäà÷è (2.3.36) óäîáíî èñêàòü ââèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå íîðìèðîâàííûõ íà åäèíèöóñîáñòâåííûõ ôóíêöèé vn (x, y) çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ∆vn + λ2n vn = 0, (x, y) ∈ D,vn |L = 0â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè D:ub(x, y , µ) =∞XCn (µ)vn (x, y),ZCn (µ) =n=1ubvn dS.(2.3.37)DÓìíîæàÿ óðàâíåíèå (2.3.36) íà vn (x, y), èíòåãðèðóÿ ïî îáëàñòè D èïðèìåíÿÿ âòîðóþ ôîðìóëó Ãðèíà, ïîëó÷àåì:Z∆2 ub vn dsRD|{z}= ub∆2 vn ds =DR= −λ2n ubvn ds = −λ2n Cn (µ)−µ2Z√ubvn ds = −2 2π qe−iµz0 vn (x0 , y0 ),D| {z }=Cn (µ)Dòî åñòü êîýôôèöèåíòû Cn (µ) óäîâëåòâîðÿþò àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ√−λ2n Cn (µ) − µ2 Cn (µ) = −2 2π qe−iµz0 vn (x0 , y0 ).3.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÑëåäîâàòåëüíî√2 2π qeCn (µ) =Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå èìååò âèä−iµz0λ2n,vn (x0 y0 )+µ253.∞Z1u(x, y , z) = √ub(x, y , µ)eiµz dµ =2π −∞∞Z X∞v (x, y)v (x0 , y0 ) iµze= 2qe dµ =−iµz0= 2qnnλ2n + µ2−∞ n=1∞Xvn (x0 , y0 )vn (x, y)n=1∞Z−∞eiµ(z−z0 )λ2n + µ2dµ.Èíòåãðàë â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ, ïðèìåíÿÿ ëåììó Æîðäàíà è çàìûêàÿ êîíòóð â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ïðè z − z0 > 0 è â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè ïðè z − z0 < 0.

Âðåçóëüòàòå ïîëó÷èìu(x, y , z) = 2πq∞Xvn (x0 , y0 )vn (x, y)n=1λne−λn |z−z0 | ,ãäå vn (x, y) ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè D.Ïðèìåð 2.3.30. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà âåëè÷èíû q , ïîìåùåííîãî âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû α, α ∈ (0; 2π).Ãðàíè óãëà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè.πÐ ÅØÅÍÈÅ .

Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ α = äàííàÿ çàäà÷à ðåøåíà ðàíåånìåòîäîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé, îäíàêî, ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 2.3.4, â îáùåì ñëó÷àå ýòîò ìåòîä íåïðèìåíèì. Ïîñòðîèì ðåøåíèåñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷èèìååò âèä:r, r0 < +∞,4πq δ(r − r0 )δ(ψ − ψ0 )δ(z − z0 ), 00 << ψ , ψ0 < α ,∆3 u = −r0−∞ < z , z0 < +∞,u|ψ=0 = u|ψ=α = 0,(2.3.38)∂u11∂∂2u∂2ur+ 2 2 + 2.ãäå ∆3 u =r ∂r∂rr ∂ψ∂zÏðîâåäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z :+∞Z1ub= √u(r, ψ , z)e−iµz dz.2π −∞54Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëå ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå-îáðàçîâ óðàâíåíèå (2.3.38) ïðèìåò âèä:√1∂r ∂r∂bur+∂r1 ∂ 2 ub − µ2 ub = − 2 2π δ(r − r0 )δ(ψ − ψ0 )e−iµz .0r2 ∂ψ 2r0(2.3.39)Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3.39) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè èç(2.3.38)â âèäåno ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ôóíêöèé {Φn } =πn= sinψ , n = 1, 2, ...:αub(r, ψ , µ) =ãäå2Rn (r) =Zαα∞Xπnψ,αRn (r) sinn=1πnψdψ.αub(r, ψ , µ) sin(2.3.40)0Óìíîæèì óðàâíåíèå (2.3.39) íà siníîé ψ îò 0 äî α:1∂1+Zαr ∂r ∂r∂rr2Zαπnψαπnub(r, ψ , µ) sinψdψ  − µ2α0πnsinψdψ = −α∂ψ 2Zαub(r, ψ , µ) sinπnψdψ+α0√, ,∂2ub(r ψ µ)0è ïðîèíòåãðèðóåì ïî ïåðåìåí-2 2π e−iµz δ(r − r0 ) sin πn ψ0 .0r0αÎòñþäà âûòåêàåò óðàâíåíèå äëÿ ðàäèàëüíîé ÷àñòè:1d1πn 2dRn− 2Rn (r) − µ2 Rn (r) =r drdrαr√π −iµz0πn=−esinψ δ(r − r0 ).αr0α 0r4 2(2.3.41)Óìíîæàÿ óðàâíåíèå (2.3.41) íà r2 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñìûñëå îáîáùåííûõ ôóíêöèé r2 δ(r − r0 ) = r02 δ(r − r0 ), ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ê âèäór2Rn00 (r)+rRn0 (r)−√4 2π r0 e−iµz=−0απnα22 2+µ rRn (r) =πnsinψ δ(r − r0 ).α 0(2.3.42)Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâåëàñü ê ïîñòðîåíèþ ôóíêöèè Ãðèíà óðàâíåíèÿÁåññåëÿ ÷èñòî ìíèìîãî àðãóìåíòà.

 êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèéïîòðåáóåì, ÷òîáû|Rn (0)| < ∞, |Rn (r)| < ∞ ïðè r → ∞.(2.3.43)553. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÑîãëàñíî èçëîæåííîìó â [17] ìåòîäó ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà äëÿîáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, áóäåì èñêàòü ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (2.3.42) ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè (2.3.43) â âèäå:Rn (r) =(µr), r < r0 , C1 I πnα(2.3.44) C2 K πn (µr), r > r0 .αÔóíêöèè I πn (µr) è K πn (µr) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåøåíèÿ îäíîðîäααíîãî óðàâíåíèÿ (2.3.42), îãðàíè÷åííûå ïðè r = 0 è ïðè r → ∞ ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäóÿ [17], ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùèõ óñëîâèéñîïðÿæåíèÿ ïðè r = r0 :(Rn (r0 + 0) − Rn (r0 − 0) = 0, √4 2π sin πn ψ0 e−iµz0 .Rn0 (r0 + 0) − Rn0 (r0 − 0) = −αr0(2.3.45)αÏîäñòàâëÿÿ (2.3.44) â (2.3.45), ïîëó÷èì ñèñòåìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ C1 è C2 :(µr0 ) − C1 I πn (µr0 ) = 0, C2 K πnαα√ µC2 K 0πn (µr0 ) − µC1 I 0πn (µr0 ) = − 4αα2ππnsinψ e−iµz0 .αr0α 0Îòñþäà íàõîäèìI πn (µr0 )αC=C,12K πn (µr0 )αhi00πn (µr0 )K πn (µr0 ) − I πn (µr0 )K πn (µr0 ) =CµI1α √ααα4πn2π−iµz0=−sinψ0 eK πn (µr0 ).αr0α(2.3.46)αÓ÷èòûâàÿ, ÷òî îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî ôóíêöèé Èíôåëüäà è Ìàêäîíàëüäà [1] ðàâåíihW I πn (µr0 ), K πn (µr0 ) =αhαiπn= I (µr0 )K 0πn (µr0 ) − I 0πn (µr0 )K πn (µr0 ) = −ααααèç (2.3.46) ïîëó÷àåì√42π sin πn ψ0 e−iµz0 K πn (µr0 ), C1 =α√ C2 =4 2πααsinαπnψ e−iµz0 I πn (µr0 ).αα 01µr0,56Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÑëåäîâàòåëüíî, I πn (µr)K πn (µr0 ), r < r0 ,√4 2πRn (r) =ααπnsinψ e−iµz0πnα 0 I (µr0 )K πn (µr), r > r0 .αα(2.3.47)αÏîäñòàâëÿÿ (2.3.47) â (2.3.40), íàõîäèìub(r, ψ , µ) =√4 2π e−iµz=0α ∞Xπnπnψ sinψ , r < r0 ,I πn (µr)K πn (µr0 ) sinααα 0αn=1∞XπnπnI πn (µr0 )K πn (µr) sinψ sinψ , r > r0 .ααα 0αn=1(2.3.48)Îñóùåñòâèâ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ïîëó÷èì ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è:+∞Z1ub(r, ψ , µ)eiµz dµ.2π −∞u(r, ψ , z) = √(2.3.49)Ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (2.3.49) ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ôóíêöèé Èíôåëüäàè Ìàêäîíàëüäà [1].Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. òî÷êå M0 (x0 , y0 , z0 ), âçÿòîé âíå áåñêîíå÷íîãî ïðîâîäÿùåãî çàçåìëåííîãî öèëèíäðà êðóãîâîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïîìåùåí çàðÿä q .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,31 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее