А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ, ñòîÿùóþ â ïðàâîé ÷àñòè ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ, â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì ðàçëîæåíèå ôóíäàìåíòàëüíîãî48Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåðåøåíèÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ðÿä ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Ïðèìåíÿÿôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà Pn [1]11 + t2 − 2tαpïîëó÷àåì:14πr=QM==∞Xtn Pn (α),|t| < 1,n=0114π qr2 + r02 − 2rr0 cos γ =∞ n1 Xr04πr n=0 r Pn (cos γ), åñëè r > r0 ,∞ nr1 X4πr0 n=0 r0 Pn (cos γ), åñëè r < r0 ,(2.3.31)ãäå cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ψ − ψ0 ).

Åñëè îðèåíòèðîâàòü ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû òî÷êà èñòî÷íèêà M íàõîäèëàñüíà îñè Oz , òî sin θ0 = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, cos γ = cos θ. Îïèñàííûé ìåòîä îñîáåííî óäîáíî ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ â øàðå è åãî ÷àñòÿõ.Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ äîñòàòî÷íî ïîäñòàâèòüâûðàæåíèå (2.3.30) â ãðàíè÷íîå óñëîâèå çàäà÷è (2.3.28) èëè (2.3.29)(è â óñëîâèå íà áåñêîíå÷íîñòè â ñëó÷àå âíåøíåé çàäà÷è) è ñðàâíèòüêîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñôåðè÷åñêèì ôóíêöèÿì âïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà.Ïðèìåð 2.3.25. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî òî÷å÷íûìçàðÿäîì âåëè÷èíû q âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ, îãðàíè÷åííîãî äâóìÿêîíöåíòðè÷åñêèìè ïðîâîäÿùèìè çàçåìëåííûìè ñôåðàìè ñ ðàäèóñàìè a è b.Ð ÅØÅÍÈÅ . Ïóñòü çàðÿä q ïîìåùåí â òî÷êó M0 âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ.Èñêîìûé ïîòåíöèàë èìååò âèä:ϕ(M , M0 ) =q+ v(M , M0 ),rM M 0ãäå v(M , M0 ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè M .

Ââåäåìñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòðêîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð. Íàïðàâèì îñü Oz âäîëü ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåéöåíòð ñôåð è òî÷êó M0 . Ôóíêöèÿ v(M , M0 ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è: , b), θ ∈ (0, π), ∆v = 0, r ∈ (aqq = −q, v|r=a = − r22P M0 r=aa + r0 − 2ar0 cos θq q= −q, v|r=b = − r22P M0r=b2b + r0 − br0 cos θ493.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëåãäå M0 = M0 (r0 , 0, 0) è M = M (r, θ, ψ).  ïîñòàíîâêå çàäà÷è íåò çàâèñèìîñòè îò ïåðåìåííîé ψ , ïîýòîìó ôóíêöèÿ v(M , M0 ) çàâèñèò òîëüêîîò r è θ. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñàâ øàðîâîì ñëîå [2] ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:v=∞X∞Ann=0Xr2n+1 − a2n+1b2n+1 − r2n+1P(cosθ)+Pn (cos θ),Bnnrn+1rn+1n=0ãäå êîýôôèöèåíòû An è Bn íàõîäÿòñÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ïðåîáðàçóåì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ê áîëåå óäîáíîìó äëÿ äàëüíåéøåãî ðåøåíèÿâèäó:q−q=−2a2 + r02 − ar0 cos θ=−∞ q X a nPn (cos θ),r0r0òàê êàê r0 > a, è−q+r02=−=1 + (a/r0 )2 − 2(a/r0 ) cos θn=0qb21qqr0qb=− q2− br0 cos θ1 + (r01/b)2=2− (r0 /b) cos θ∞ q X r0 nPn (cos θ),bbn=0òàê êàê r0 < b.

Ïîäñòàâèì îáùåå ðåøåíèå â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èíàéäåì íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû:∞XBnn=0∞Xn=0∞ b2n+1 − a2n+1q X a nP(cosθ)=−Pn (cos θ),nr0r0an+1n=0An∞ q X r0 nb2n+1 − a2n+1P(cosθ)=−Pn (cos θ).nbbbn+1n=0Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå è ëåâûå ÷àñòè â ýòèõ ðàâåíñòâàõ, ïîëó÷àåìAn = −qbr0bbn+1nbBn = −Ñëåäîâàòåëüíî:v=−2n+1qr02n+1−aar0= −qb2n+1an+1nb2n+1− a2n+1r0n− a2n+1.∞ q X r0 n r2n+1 − a2n+1Pn (cos θ)−rrb2n+1 − a2n+1n=0∞qX−an=0a2r0 rn+1b2n+1 − r2n+1b2n+1 − a2n+1Pn (cos θ).,50Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÄëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ôóíêöèþ Ãðèíà, çàâèñÿùóþ îò ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê M (r, θ, ψ) è M0 (r0 , θ0 , ψ0 ) âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ, ñëåäóåò ïîëîæèòü q = 1 è çàìåíèòü cos θ íà êîñèíóñ4πóãëà ìåæäó âåêòîðàìè OM è OM0 :Çàìå÷àíèå 2.3.8cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ψ − ψ0 ).Èòàê, ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå âíóòðè øàðîâîãî ñëîÿ èìååòâèä:G(M , M0 ) =14πrM M0−1−1∞ n 2n+1Xr− a2n+1r04πr n=0∞ 2 n+1 2n+1Xab− r2n+14πa n=0r0 rb2n+1 − a2n+1rb2n+1 − a2n+1Pn (cos γ)−(2.3.32)Pn (cos γ).Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â îáëàñòè a2 6 x2 + y 2 + z 2 6 b2 , z > 0, a < b.Ñîâåò: Âîñïîëüçóéòåñü ôîðìóëîé (2.3.32) è ìåòîäîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé.Çàäà÷à 2.3.26.Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå (2.3.18) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíàîïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå â øàðå ðàäèóñà a ìåòîäîìðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Çàäà÷à 2.3.27.Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå (2.3.19) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíàîïåðàòîðà Ëàïëàñà çàäà÷è Äèðèõëå âíå øàðå ðàäèóñà a ìåòîäîìðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Çàäà÷à 2.3.28.3.4.

Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ãðèíà ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Ìåòîä Ôóðüå ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ óäîáåí â òîì ñëó÷àå, êîãäà çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ â áåñêîíå÷íîé öèëèíäðè÷åñêîé îáëàñòèΩ = {(x, y) ∈ D, z ∈ (−∞, +∞)}. Ðåøåíèå çàäà÷è ìîæíî èñêàòüâ âèäå u = u(M , z), ãäå M òî÷êà â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè Döèëèíäðà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåøåíèå u(M , z) óðàâíåíèÿ äîïóñêàåòïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z , òî åñòü ñóùåñòâóåò åãîÔóðüå-îáðàç+∞Z1ub(M , µ) = √u(M , z)e−iµz dz.2π −∞Òîãäà, ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê óðàâíåíèþ è ãðàíè÷íûìóñëîâèÿì íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà, äëÿ Ôóðüå-îáðàçà ub(M , µ)ïîëó÷èì êðàåâóþ çàäà÷ó â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè öèëèíäðà.513.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÏðèìåð 2.3.29. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà âåëè÷èíû q , ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ) âíóòðè îáëàñòè, çàïîëíåííîé âîçäóõîì, îãðàíè÷åííîé çàçåìëåííîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ñå÷åíèÿ D.Ð ÅØÅÍÈÅ .

Ïóñòü Ω = {(x, y) ∈ D, z ∈ (−∞, +∞)}, ∂Ω áîêîâàÿïîâåðõíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî öèëèíäðà.  îòñóòñòâèè ïðîâîäÿùåéçàçåìëåííîé ïîâåðõíîñòè ∂Ω ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q , ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 , èìååò âèä:u0 = qòî åñòüq(x − x0u0 → 0 è)2+ (y − y0 )2 + (z − z0 )2∂u0→∂z,0 ïðè z → ±∞.(2.3.33)Ïðè íàëè÷èè ïðîâîäÿùåé ïîâåðõíîñòè ∂Ω íóæíî ó÷åñòü òàêæåïîëå íàâåäåííûõ çàðÿäîâ. Ïðè óäàëåíèè îò òî÷êè M0 ýòî ïîëå áóäåòóáûâàòü, ïîýòîìó åñòåñòâåííî ïîòðåáîâàòü äëÿ íåãî âûïîëíåíèÿ óñëîâèé, àíàëîãè÷íûõ (2.3.33). Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêóçàäà÷è ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:(x, y) ∈ D, ∆u = −4πqδ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 ), −∞ < z < +∞,u|∂Ω = 0, u → 0, uz → 0 ïðè z → ±∞.(2.3.34)Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå u(x, y , z), êîòîðîå äîïóñêàåò âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z . Ïðîâåäåìïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z :+∞Z1u(x, y , z)e−iµz dz.2π −∞ub(x, y , µ) = √Ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ:+∞Z+∞Z11√∆u e−iµz dz = √(∆ u + uzz ) e−iµz dz =2π −∞2π −∞ 2+∞Z+∞Z11ue−iµz dz + √u e−iµz dz ,2π −∞2π −∞ zz= ∆2 √|{z=bu(x,y ,µ)}(2.3.35)52Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåãäå ∆2 îïåðàòîð Ëàïëàñà â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè. Âû÷èñëèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë â (2.3.35) äâà ðàçà ïî ÷àñòÿì, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ íàáåñêîíå÷íîñòè äëÿ ôóíêöèè u(x, y , z):+∞Z11√u e−iµz dz = √2π −∞ zz| 2πz=+∞uz e−iµz z=−∞{z{z=02}=012z=+∞iµ=√ue−iµz z=−∞ −µ2 √ππ| 2iµ+√π}|+∞Zuz e−iµz dz =−∞+∞Zue−iµz dz .−∞{z=bu(x,y ,µ)}Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê óðàâíåíèþ èãðàíè÷íîìó óñëîâèþ, äëÿ Ôóðüå-îáðàçà ïîëó÷àåì çàäà÷ó√ ∆2 ub − µ2 ub = −2 2π qe−iµz0 δ(x − x0 )δ(y − y0 ), (x, y) ∈ D, ub|L = 0,(2.3.36)ãäå L ãðàíèöà îáëàñòè D. Ðåøåíèå çàäà÷è (2.3.36) óäîáíî èñêàòü ââèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå íîðìèðîâàííûõ íà åäèíèöóñîáñòâåííûõ ôóíêöèé vn (x, y) çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ∆vn + λ2n vn = 0, (x, y) ∈ D,vn |L = 0â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè D:ub(x, y , µ) =∞XCn (µ)vn (x, y),ZCn (µ) =n=1ubvn dS.(2.3.37)DÓìíîæàÿ óðàâíåíèå (2.3.36) íà vn (x, y), èíòåãðèðóÿ ïî îáëàñòè D èïðèìåíÿÿ âòîðóþ ôîðìóëó Ãðèíà, ïîëó÷àåì:Z∆2 ub vn dsRD|{z}= ub∆2 vn ds =DR= −λ2n ubvn ds = −λ2n Cn (µ)−µ2Z√ubvn ds = −2 2π qe−iµz0 vn (x0 , y0 ),D| {z }=Cn (µ)Dòî åñòü êîýôôèöèåíòû Cn (µ) óäîâëåòâîðÿþò àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ√−λ2n Cn (µ) − µ2 Cn (µ) = −2 2π qe−iµz0 vn (x0 , y0 ).3.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÑëåäîâàòåëüíî√2 2π qeCn (µ) =Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå èìååò âèä−iµz0λ2n,vn (x0 y0 )+µ253.∞Z1u(x, y , z) = √ub(x, y , µ)eiµz dµ =2π −∞∞Z X∞v (x, y)v (x0 , y0 ) iµze= 2qe dµ =−iµz0= 2qnnλ2n + µ2−∞ n=1∞Xvn (x0 , y0 )vn (x, y)n=1∞Z−∞eiµ(z−z0 )λ2n + µ2dµ.Èíòåãðàë â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ, ïðèìåíÿÿ ëåììó Æîðäàíà è çàìûêàÿ êîíòóð â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ïðè z − z0 > 0 è â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè ïðè z − z0 < 0.

Âðåçóëüòàòå ïîëó÷èìu(x, y , z) = 2πq∞Xvn (x0 , y0 )vn (x, y)n=1λne−λn |z−z0 | ,ãäå vn (x, y) ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè D.Ïðèìåð 2.3.30. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà âåëè÷èíû q , ïîìåùåííîãî âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû α, α ∈ (0; 2π).Ãðàíè óãëà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè.πÐ ÅØÅÍÈÅ .

Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ α = äàííàÿ çàäà÷à ðåøåíà ðàíåånìåòîäîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ îòîáðàæåíèé, îäíàêî, ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 2.3.4, â îáùåì ñëó÷àå ýòîò ìåòîä íåïðèìåíèì. Ïîñòðîèì ðåøåíèåñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷èèìååò âèä:r, r0 < +∞,4πq δ(r − r0 )δ(ψ − ψ0 )δ(z − z0 ), 00 << ψ , ψ0 < α ,∆3 u = −r0−∞ < z , z0 < +∞,u|ψ=0 = u|ψ=α = 0,(2.3.38)∂u11∂∂2u∂2ur+ 2 2 + 2.ãäå ∆3 u =r ∂r∂rr ∂ψ∂zÏðîâåäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z :+∞Z1ub= √u(r, ψ , z)e−iµz dz.2π −∞54Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëå ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå-îáðàçîâ óðàâíåíèå (2.3.38) ïðèìåò âèä:√1∂r ∂r∂bur+∂r1 ∂ 2 ub − µ2 ub = − 2 2π δ(r − r0 )δ(ψ − ψ0 )e−iµz .0r2 ∂ψ 2r0(2.3.39)Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3.39) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè èç(2.3.38)â âèäåno ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ôóíêöèé {Φn } =πn= sinψ , n = 1, 2, ...:αub(r, ψ , µ) =ãäå2Rn (r) =Zαα∞Xπnψ,αRn (r) sinn=1πnψdψ.αub(r, ψ , µ) sin(2.3.40)0Óìíîæèì óðàâíåíèå (2.3.39) íà siníîé ψ îò 0 äî α:1∂1+Zαr ∂r ∂r∂rr2Zαπnψαπnub(r, ψ , µ) sinψdψ  − µ2α0πnsinψdψ = −α∂ψ 2Zαub(r, ψ , µ) sinπnψdψ+α0√, ,∂2ub(r ψ µ)0è ïðîèíòåãðèðóåì ïî ïåðåìåí-2 2π e−iµz δ(r − r0 ) sin πn ψ0 .0r0αÎòñþäà âûòåêàåò óðàâíåíèå äëÿ ðàäèàëüíîé ÷àñòè:1d1πn 2dRn− 2Rn (r) − µ2 Rn (r) =r drdrαr√π −iµz0πn=−esinψ δ(r − r0 ).αr0α 0r4 2(2.3.41)Óìíîæàÿ óðàâíåíèå (2.3.41) íà r2 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñìûñëå îáîáùåííûõ ôóíêöèé r2 δ(r − r0 ) = r02 δ(r − r0 ), ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ê âèäór2Rn00 (r)+rRn0 (r)−√4 2π r0 e−iµz=−0απnα22 2+µ rRn (r) =πnsinψ δ(r − r0 ).α 0(2.3.42)Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâåëàñü ê ïîñòðîåíèþ ôóíêöèè Ãðèíà óðàâíåíèÿÁåññåëÿ ÷èñòî ìíèìîãî àðãóìåíòà.

 êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèéïîòðåáóåì, ÷òîáû|Rn (0)| < ∞, |Rn (r)| < ∞ ïðè r → ∞.(2.3.43)553. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÑîãëàñíî èçëîæåííîìó â [17] ìåòîäó ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà äëÿîáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, áóäåì èñêàòü ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (2.3.42) ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè (2.3.43) â âèäå:Rn (r) =(µr), r < r0 , C1 I πnα(2.3.44) C2 K πn (µr), r > r0 .αÔóíêöèè I πn (µr) è K πn (µr) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåøåíèÿ îäíîðîäααíîãî óðàâíåíèÿ (2.3.42), îãðàíè÷åííûå ïðè r = 0 è ïðè r → ∞ ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäóÿ [17], ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùèõ óñëîâèéñîïðÿæåíèÿ ïðè r = r0 :(Rn (r0 + 0) − Rn (r0 − 0) = 0, √4 2π sin πn ψ0 e−iµz0 .Rn0 (r0 + 0) − Rn0 (r0 − 0) = −αr0(2.3.45)αÏîäñòàâëÿÿ (2.3.44) â (2.3.45), ïîëó÷èì ñèñòåìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ C1 è C2 :(µr0 ) − C1 I πn (µr0 ) = 0, C2 K πnαα√ µC2 K 0πn (µr0 ) − µC1 I 0πn (µr0 ) = − 4αα2ππnsinψ e−iµz0 .αr0α 0Îòñþäà íàõîäèìI πn (µr0 )αC=C,12K πn (µr0 )αhi00πn (µr0 )K πn (µr0 ) − I πn (µr0 )K πn (µr0 ) =CµI1α √ααα4πn2π−iµz0=−sinψ0 eK πn (µr0 ).αr0α(2.3.46)αÓ÷èòûâàÿ, ÷òî îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî ôóíêöèé Èíôåëüäà è Ìàêäîíàëüäà [1] ðàâåíihW I πn (µr0 ), K πn (µr0 ) =αhαiπn= I (µr0 )K 0πn (µr0 ) − I 0πn (µr0 )K πn (µr0 ) = −ααααèç (2.3.46) ïîëó÷àåì√42π sin πn ψ0 e−iµz0 K πn (µr0 ), C1 =α√ C2 =4 2πααsinαπnψ e−iµz0 I πn (µr0 ).αα 01µr0,56Ãë.

2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÑëåäîâàòåëüíî, I πn (µr)K πn (µr0 ), r < r0 ,√4 2πRn (r) =ααπnsinψ e−iµz0πnα 0 I (µr0 )K πn (µr), r > r0 .αα(2.3.47)αÏîäñòàâëÿÿ (2.3.47) â (2.3.40), íàõîäèìub(r, ψ , µ) =√4 2π e−iµz=0α ∞Xπnπnψ sinψ , r < r0 ,I πn (µr)K πn (µr0 ) sinααα 0αn=1∞XπnπnI πn (µr0 )K πn (µr) sinψ sinψ , r > r0 .ααα 0αn=1(2.3.48)Îñóùåñòâèâ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ïîëó÷èì ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è:+∞Z1ub(r, ψ , µ)eiµz dµ.2π −∞u(r, ψ , z) = √(2.3.49)Ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (2.3.49) ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ôóíêöèé Èíôåëüäàè Ìàêäîíàëüäà [1].Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. òî÷êå M0 (x0 , y0 , z0 ), âçÿòîé âíå áåñêîíå÷íîãî ïðîâîäÿùåãî çàçåìëåííîãî öèëèíäðà êðóãîâîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïîìåùåí çàðÿä q .

Характеристики

Список файлов книги