Главная » Просмотр файлов » А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа

А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 6

Файл №1125165 А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа) 6 страницаА.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165) страница 62019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Óãîë,êîòîðûé ñîñòàâëÿþò âåêòîðû−−→ −−→OM è OM 0 îáîçíà÷èì γ (ðèñ2.3.5).Ïîêàæåì, ÷òî òðåóãîëüíèêè M P OM0 è M M1 OPÐèñ. 2.3.5.ïîäîáíû. Äåéñòâèòåëüíî, óãîë∠P OM0 ó íèõ îáùèé, à èç óñëîâèÿ (2.3.16) ñëåäóåòOM0OP=.OPOM1Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò, ÷òîρ0r= 0.ρ1a(2.3.17)Òàê êàê òî÷êà M1 ðàñïîëàãàåòñÿ âíå øàðà, òî ôóíêöèÿ v =ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé. Íàéäåì òàêîå A, ïðè êîòîðîìv|Σa =Ar M M11A.=−rP M1πrP M014aÈç ðàâåíñòâà (2.3.17) ïîëó÷àåì A = −.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíê4π r0öèÿ1 1 −a 1G(M , M0 ) =(2.3.18)4π2*r M M0r 0 r M M136Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåîáðàùàåòñÿ â íóëü íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû.  ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõâûðàæåíèÿ äëÿ rM M0 è rM M1 èìåþò âèä:rM M0 =qãäå 1)r2 + r02 − 2rr0 cos γ ,rM M1 =qr2 + r12 − 2rr1 cos γ ,cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 ).Ïðèìåð 2.3.8.Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå âíå øàðàK(O, a), òî åñòü íàéäèòå ðåøåíèå ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷è:∆ G(M , M0 ) = −δ(M , M0 ), M , M0 âíå K(O, a), MG|r=a = 0,G ⇒ 0 ïðè r → +∞.Ð ÅØÅÍÈÅ .

Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ôóíêöèþ Ãðèíà âíåøíåé çàäà÷è,1ïîìåñòèì òî÷å÷íûé çàðÿä q =4π â òî÷êó0 M0 (rqa0 , θ0 , ψ0 ) âíå øàðà. Åñëèïîìåñòèòü ôèêòèâíûé çàðÿä âåëè÷èíû q = − â ñîïðÿæåííóþ òî÷êóa2,θ ,ψr0 0 0r0âíóòðè øàðà, òî ñóììàðíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ íà ñôåðåΣ(O, a) áóäåò ðàâåí íóëþ, à ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèåì çàäà÷è ÿâëÿåòñÿôóíêöèÿ1 1 −a 1 .(2.3.19)G(M , M0 ) =M14πr M M0r0 rM M 1Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíû ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ ïðîñòåéøèõ îáëàñòåé.

Ïðåäëîæåííûå ìåòîäû ìîæíî ïðèìåíèòü è äëÿ çàäà÷ íàõîæäåíèÿïîòåíöèàëà ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà ïðè íàëè÷èè ïðîâîäíèêîâ ðàçëè÷íîéôîðìû.Ïðèìåð 2.3.9. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q âíåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå â ïðèñóòñòâèè íåçàðÿæåííîé ïðîâî-) Ðàññìîòðèì 4OM M0 (ñì. ðèñ. 2.3.5). Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâM M02 = OM 2 + OM02 − 2OM · OM0 cos γ. íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ OM = r, OM0 = r0 , òî åñòü r2 = r2 + r02 − 2rr0 cos γ .Ñ äðóãîé ñòîðîíû r2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 .  ñôåðè÷åñêèõêîîðäèíàòàõ1M M0M M02rM= (r cos ϕ sin θ − r0 cos ϕ0 sin θ0 )2 + (r sin ϕ sin θ − r0 sin ϕ0 sin θ0 )2 +M02, ïîëó÷åííûì èç òåîðåìû êîñèíóñîâ, íàõî-+ (r cos θ − r0 cos θ0 )2 = r2 + r02 − rr0 (cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 )) .Ñðàâíèâàÿ ñ âûðàæåíèåì äëÿ räèìcos γ = cos θ cos θ2M M00+ sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 ).3.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå37äÿùåé ñôåðû ðàäèóñà a.Ð ÅØÅÍÈÅ . Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð ñôåðû. Ïóñòü çàðÿä qðàñïîëîæåí â òî÷êå M0 âíå øàðà K(O, a). Ïîñêîëüêó íà áåñêîíå÷íîñòèçàðÿäû îòñóòñòâóþò, òî ñ÷èòàåì ïîòåíöèàë íà áåñêîíå÷íîñòè ðàâíûìíóëþ. Íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó(∆u = −4πqδ(M , M0 ),u|r=a = V ,u ⇒ 0 ïðè r → +∞,r > a, θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],ãäå V ïîñòîÿííûé ïîòåíöèàë íà ïðîâîäÿùåé ñôåðå, êîòîðûé ïîêà íåèçâåñòåí.

Òàê êàê çàäà÷à ëèíåéíàÿ, åå ìîæíî ðàçáèòü íà äâå:(è∆u1 = −4πqδ(M , M0 ),u1 |r=a = 0,u1 ⇒ 0 ïðè r → +∞,(r > a, θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],∆u2 = 0, r > a, θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],u2 |r=a = V ,u2 ⇒ 0 ïðè r → +∞.(2.3.20)Ðåøåíèå u èñõîäíîé çàäà÷è ðàâíî ñóììå u1 è u2 . Ôèçè÷åñêè ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ïîòåíöèàë ñóììàðíîãî ïîëÿ ñêëàäûâàåòñÿ èç ïîòåíöèàëàòî÷å÷íîãî çàðÿäà â ïðèñóòñòâèè çàçåìëåííîé ñôåðû è ïîòåíöèàëà,ñîçäàâàåìîãî èíäóöèðîâàííûìè íà ñôåðå çàðÿäàìè.Ôóíêöèÿ u1 ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ 4πq ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåéÃðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ ñôåðû:u1 = q1rM M 0−1ar0 rM M 1,a2ãäå M0 = M0 (r0 , θ0 , ψ0 ) è M1 = M1 (r1 , θ0 , ψ0 ), r1 = .r0Ðåøàÿ çàäà÷ó (2.3.20) ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì:aru2 = V .Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëà V âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ïîëíûé çàðÿäñôåðû ðàâåí íóëþ.

Íàïîìíèì, ÷òî ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà íàïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåσ=−1 ∂u ,4π ∂n Sãäå ~n âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè. Âû÷èñëÿÿ ïîëíûéçàðÿä, ïîëó÷àåì0=−14πIΣ(O ,a)14∂udS = −∂nπIΣ(O ,a)∂u1∂u+ 2∂r∂rdS =38Ãë. 2.

Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëå1=Va−4πI∂u1dS.∂rΣ(O ,a)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâîé ôîðìóëîéÃðèíà (A.1.1), â êîòîðîé îäíà èç ôóíêöèé ðàâíà u1 , à äðóãàÿ òîæäåñòâåííî ðàâíà åäèíèöå:Iq ∂π ∂rΣ(O ,a)4rP M0Zq∆π4=K(O ,a)=−1aqπr04a−r0 rP M11rM M 0Z∆K(O ,a)1òàê êàê âíóòðè øàðà K(O, a) ôóíêöèÿà ôóíêöèÿ1rM M 1dSP =P ∈Σ(O ,a)a−rM M 1dVM =r0 rM M 1dVM =1aq,r0ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé,r M M0óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∆Òàêèì îáðàçîì,1rM M 1= −4πδ(M , M1 ).q.r0V =Èòàê, ïîòåíöèàë òî÷å÷íîãî çàðÿäà q âíå ïðîâîäÿùåé ñôåðû ðàäèóñà aðàâåíu=1aq+qrr0r M M0−1ar 0 r M M1. ñëó÷àå, åñëè íà ñôåðå ðàñïðåäåëåí çàðÿä q1 , òîâ ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè, ïîòåíöèàë ñóììàðíîãîïîëÿ ñîäåðæèò åùå îäíî ñëàãàåìîå u3 = q1 .rÏðèìåð 2.3.10.

Ðåøèòå çàäà÷ó Äèðèõëå â øàðå:(∆u = −F (r, θ, ϕ), r ∈ (0, a), θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],u|r=a = f (θ, ϕ),(2.3.21)Çàìå÷àíèå 2.3.5|u||r=0 < ∞.Ð ÅØÅÍÈÅ . Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2.1.7):u(r0 , θ0 , ϕ0 ) = −Z+K(O ,a)Zf (P ),∂G(P M0 )dSP +∂nPΣ(O ,a)F (M )G(M , M0 )dVM = u1 + u2 .393. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÏîäñòàâèì â íåå âûðàæåíèå (2.3.18) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà â øàðå. Âíà÷àëå íàéäåì ôóíêöèþ u1 . Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèèG ïî íîðìàëè nP íà ïîâåðõíîñòè øàðà:−∂G =∂nP Σ(O,a)1 ∂ q1a1=−− q4π ∂r  r2 + r02 − 2rr0 cos γ r0 r2 + r12 − 2rr1 cos γ  =r=a1r − r0 cos γr − r1 cos γa=4π  r2 + r02 − 2rr0 cos γ 3/2 − r0 r2 + r12 − 2rr1 cos γ 3/2  =r=a2a − (a /r0 ) cos γ1 a − r0 cos γ − a 4π  a2 + r2 − 2ar cos γ 3/2 r0 a2 + (a2 /r )2 − 2a(a2 /r ) cos γ 3/2  =0=0001 a − r0 cos γ − r02 /a + r0cos γ = 1 a2 − r02324π a2 + r02 − 2ar0 cos γ4πa a2 + r02 − 2ar0 cos γ 3 2 ,/ãäå r1 =a2.r0/Äëÿ ôóíêöèè u1 ïîëó÷àåì âûðàæåíèå:au1 (r0 , θ0 , ϕ0 ) =π2Zπ4Zπdϕ00,f (θ ϕ)(a2 − r02 )3/2 sin θdθ.a2 + r02 − ar0 cos γ2(2.3.22)Ôóíêöèÿ u2 èìååò âèä:1u2 (r0 , θ0 , ϕ0 ) =4πZar2 dr02ZπZπdϕ F (r, θ, ϕ)  q0012r2 + r02 − rr0 cos γ−−qa2r02 r2 + a4 − rr0 a2 cos γ sin θdθ.Çàìå÷àíèå 2.3.6 Åñëè â çàäà÷å (2.3.21) F ≡ 0, òî åå ðåøåíèåì äëÿëþáîé íåïðåðûâíîé íà ñôåðå ôóíêöèè f (θ, ϕ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ u1 .Âûðàæåíèå (2.3.22) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ïóàññîíà äëÿ ñôåðû.Ïðèìåð 2.3.11.

Ïóñòü âíóòðè îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïîëóñôåðîéðàäèóñàa è ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ñôåðû, â òî÷êóa π πM0, ,2 4 4 ïîìåùåí òî÷å÷íûé çàðÿä âåëè÷èíû q. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà ïîëÿ ýòîãî çàðÿäà, åñëè ãðàíèöû îáëàñòèçàçåìëåíû.40Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÐ ÅØÅÍÈÅ . Çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïðè ïîìîùè ìåòîäà èçîáðàæåíèé.Âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíîé ôóíêöèåé Ãðèíà G(M , M0 ) çàäà÷è Äèðèõëåâ øàðå.

Ôóíêöèÿϕ0 = 4πqG(M , M0 ) =qπ πãäå M1 2a, ,4 41rM M 02zM1M0M2M3Ðèñ. 2.3.6.øàðà ñ çàçåìëåííîé ãðàíèöåé:a π π1rM M 0−2rM M 1,âíóòðè çàçåìëåííîé ñôåðû.2 , Îíà4 , 4 óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ∆M ϕ0 (M , M0 ) = −4πqδ(M , M0 )â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè è îäíîðîäíîìó óñëîâèþ Äèðèõëå íà÷àñòè ãðàíèöû îáëàñòè, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ïîëóñôåðó (ðèñ.2.3.6).

Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîáèòüñÿ âûïîëíåíèÿ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿíà ïëîñêîñòèz = 0 ïîñòðîèì òî÷a 3π πêó M2 , , , ñèììåòðè÷íóþ2 4 4òî÷êå M0 îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòèz = 0, è ïîìåñòèì â íåå ôèêòèâíûéçàðÿä −q . ×òîáû ¾íå èñïîðòèëîñü¿ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ïîëóñôåðå,ðàññìîòðèì ïîòåíöèàë, ñîçäàâàåìûé ôèêòèâíûì çàðÿäîì âíóòðèϕ1 (M , M2 ) = −qãäå òî÷êà M3 2a, =q, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çà-ðÿäà, ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0π41a−a/ rM M11r M M2−2r M M3,3π , π ñîïðÿæåíà òî÷êå M2 îòíîñèòåëüíî ñôåðû:4 4OM2 · OM3 = a2 .Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì çàäà÷ó â ïîëóøàðèè âûøå ïëîñêîñòè z = 0,ôóíêöèÿ ϕ1 (M , M2 ) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé êàê ôóíêöèÿ êîîðäèíàòòî÷êè M â âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå. Êðîìå òîãî, ïî ïîñòðîåíèþϕ0 (P , M0 ) = −ϕ1 (P , M2 ), ∀P (x, y , 0),ïîýòîìó èñêîìûé ïîòåíöèàë èìååò âèä:ϕ(M , M0 ) = ϕ0 (M , M0 ) + ϕ1 (M , M2 ) =121 −=q−−qr M M0rM M 1r M M22rM M 3.3.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÇàìå÷àíèå 2.3.7åò âèä:41Ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå â ïîëóøàðèè èìå-G1/2 (M , M0 ) = G(M , M0 ) − G(M , M2 ).Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ îòðåçêà çàðÿæåííîé íèòèäëèíû 2L ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ e, ïîìåùåííîãî íàä èäåàëüíîïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ïëîñêîñòüþ ïàðàëëåëüíî åé íà ðàññòîÿíèèh îò íåå.Çàäà÷à 2.3.13. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ îòðåçêà çàðÿæåííîé íèòèäëèíû L ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ e, ïîìåùåííîãî íàä èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ïëîñêîñòüþ ïåðïåíäèêóëÿðíî åé. Áëèæàéøàÿê ïëîñêîñòè òî÷êà îòðåçêà óäàëåíà îò íåå íà ðàññòîÿíèå h.Çàäà÷à 2.3.14.

Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ) âíóòðè ¾ïîëóñëîÿ¿ 0 6 z 6 l,x > 0, ñ÷èòàÿ, ÷òî ñòåíêè èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå è èìåþò íóëåâîéïîòåíöèàë.Çàäà÷à 2.3.15. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû α = π â òî÷êó M0 , åñëè2åãî ãðàíè èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè ψ = π è2πψ = 0. Óãëîâàÿ êîîðäèíàòà òî÷êè M0 ðàâíà , ðàäèàëüíàÿ êîîðäè4íàòà ðàâíà r0 .Çàäà÷à 2.3.16. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ â îáëàñòè y > 0, z > 0,x ∈ (−∞, +∞), ñîçäàâàåìîãî çàðÿäàìè, ðàñïîëîæåííûìè ñ ëèíåéíîéïëîòíîñòüþ e âäîëü îòðåçêà äëèíû L.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,31 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее