А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Óãîë,êîòîðûé ñîñòàâëÿþò âåêòîðû−−→ −−→OM è OM 0 îáîçíà÷èì γ (ðèñ2.3.5).Ïîêàæåì, ÷òî òðåóãîëüíèêè M P OM0 è M M1 OPÐèñ. 2.3.5.ïîäîáíû. Äåéñòâèòåëüíî, óãîë∠P OM0 ó íèõ îáùèé, à èç óñëîâèÿ (2.3.16) ñëåäóåòOM0OP=.OPOM1Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò, ÷òîρ0r= 0.ρ1a(2.3.17)Òàê êàê òî÷êà M1 ðàñïîëàãàåòñÿ âíå øàðà, òî ôóíêöèÿ v =ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé. Íàéäåì òàêîå A, ïðè êîòîðîìv|Σa =Ar M M11A.=−rP M1πrP M014aÈç ðàâåíñòâà (2.3.17) ïîëó÷àåì A = −.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíê4π r0öèÿ1 1 −a 1G(M , M0 ) =(2.3.18)4π2*r M M0r 0 r M M136Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëåîáðàùàåòñÿ â íóëü íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû.  ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõâûðàæåíèÿ äëÿ rM M0 è rM M1 èìåþò âèä:rM M0 =qãäå 1)r2 + r02 − 2rr0 cos γ ,rM M1 =qr2 + r12 − 2rr1 cos γ ,cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 ).Ïðèìåð 2.3.8.Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå âíå øàðàK(O, a), òî åñòü íàéäèòå ðåøåíèå ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷è:∆ G(M , M0 ) = −δ(M , M0 ), M , M0 âíå K(O, a), MG|r=a = 0,G ⇒ 0 ïðè r → +∞.Ð ÅØÅÍÈÅ .
Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ôóíêöèþ Ãðèíà âíåøíåé çàäà÷è,1ïîìåñòèì òî÷å÷íûé çàðÿä q =4π â òî÷êó0 M0 (rqa0 , θ0 , ψ0 ) âíå øàðà. Åñëèïîìåñòèòü ôèêòèâíûé çàðÿä âåëè÷èíû q = − â ñîïðÿæåííóþ òî÷êóa2,θ ,ψr0 0 0r0âíóòðè øàðà, òî ñóììàðíûé ïîòåíöèàë ïîëÿ íà ñôåðåΣ(O, a) áóäåò ðàâåí íóëþ, à ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèåì çàäà÷è ÿâëÿåòñÿôóíêöèÿ1 1 −a 1 .(2.3.19)G(M , M0 ) =M14πr M M0r0 rM M 1Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíû ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ ïðîñòåéøèõ îáëàñòåé.
Ïðåäëîæåííûå ìåòîäû ìîæíî ïðèìåíèòü è äëÿ çàäà÷ íàõîæäåíèÿïîòåíöèàëà ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà ïðè íàëè÷èè ïðîâîäíèêîâ ðàçëè÷íîéôîðìû.Ïðèìåð 2.3.9. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q âíåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå â ïðèñóòñòâèè íåçàðÿæåííîé ïðîâî-) Ðàññìîòðèì 4OM M0 (ñì. ðèñ. 2.3.5). Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâM M02 = OM 2 + OM02 − 2OM · OM0 cos γ. íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ OM = r, OM0 = r0 , òî åñòü r2 = r2 + r02 − 2rr0 cos γ .Ñ äðóãîé ñòîðîíû r2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 .  ñôåðè÷åñêèõêîîðäèíàòàõ1M M0M M02rM= (r cos ϕ sin θ − r0 cos ϕ0 sin θ0 )2 + (r sin ϕ sin θ − r0 sin ϕ0 sin θ0 )2 +M02, ïîëó÷åííûì èç òåîðåìû êîñèíóñîâ, íàõî-+ (r cos θ − r0 cos θ0 )2 = r2 + r02 − rr0 (cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 )) .Ñðàâíèâàÿ ñ âûðàæåíèåì äëÿ räèìcos γ = cos θ cos θ2M M00+ sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 ).3.
Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå37äÿùåé ñôåðû ðàäèóñà a.Ð ÅØÅÍÈÅ . Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð ñôåðû. Ïóñòü çàðÿä qðàñïîëîæåí â òî÷êå M0 âíå øàðà K(O, a). Ïîñêîëüêó íà áåñêîíå÷íîñòèçàðÿäû îòñóòñòâóþò, òî ñ÷èòàåì ïîòåíöèàë íà áåñêîíå÷íîñòè ðàâíûìíóëþ. Íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó(∆u = −4πqδ(M , M0 ),u|r=a = V ,u ⇒ 0 ïðè r → +∞,r > a, θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],ãäå V ïîñòîÿííûé ïîòåíöèàë íà ïðîâîäÿùåé ñôåðå, êîòîðûé ïîêà íåèçâåñòåí.
Òàê êàê çàäà÷à ëèíåéíàÿ, åå ìîæíî ðàçáèòü íà äâå:(è∆u1 = −4πqδ(M , M0 ),u1 |r=a = 0,u1 ⇒ 0 ïðè r → +∞,(r > a, θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],∆u2 = 0, r > a, θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],u2 |r=a = V ,u2 ⇒ 0 ïðè r → +∞.(2.3.20)Ðåøåíèå u èñõîäíîé çàäà÷è ðàâíî ñóììå u1 è u2 . Ôèçè÷åñêè ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ïîòåíöèàë ñóììàðíîãî ïîëÿ ñêëàäûâàåòñÿ èç ïîòåíöèàëàòî÷å÷íîãî çàðÿäà â ïðèñóòñòâèè çàçåìëåííîé ñôåðû è ïîòåíöèàëà,ñîçäàâàåìîãî èíäóöèðîâàííûìè íà ñôåðå çàðÿäàìè.Ôóíêöèÿ u1 ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ 4πq ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåéÃðèíà îïåðàòîðà Ëàïëàñà âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ ñôåðû:u1 = q1rM M 0−1ar0 rM M 1,a2ãäå M0 = M0 (r0 , θ0 , ψ0 ) è M1 = M1 (r1 , θ0 , ψ0 ), r1 = .r0Ðåøàÿ çàäà÷ó (2.3.20) ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì:aru2 = V .Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëà V âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ïîëíûé çàðÿäñôåðû ðàâåí íóëþ.
Íàïîìíèì, ÷òî ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà íàïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåσ=−1 ∂u ,4π ∂n Sãäå ~n âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè. Âû÷èñëÿÿ ïîëíûéçàðÿä, ïîëó÷àåì0=−14πIΣ(O ,a)14∂udS = −∂nπIΣ(O ,a)∂u1∂u+ 2∂r∂rdS =38Ãë. 2.
Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Äèðèõëå1=Va−4πI∂u1dS.∂rΣ(O ,a)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâîé ôîðìóëîéÃðèíà (A.1.1), â êîòîðîé îäíà èç ôóíêöèé ðàâíà u1 , à äðóãàÿ òîæäåñòâåííî ðàâíà åäèíèöå:Iq ∂π ∂rΣ(O ,a)4rP M0Zq∆π4=K(O ,a)=−1aqπr04a−r0 rP M11rM M 0Z∆K(O ,a)1òàê êàê âíóòðè øàðà K(O, a) ôóíêöèÿà ôóíêöèÿ1rM M 1dSP =P ∈Σ(O ,a)a−rM M 1dVM =r0 rM M 1dVM =1aq,r0ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé,r M M0óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∆Òàêèì îáðàçîì,1rM M 1= −4πδ(M , M1 ).q.r0V =Èòàê, ïîòåíöèàë òî÷å÷íîãî çàðÿäà q âíå ïðîâîäÿùåé ñôåðû ðàäèóñà aðàâåíu=1aq+qrr0r M M0−1ar 0 r M M1. ñëó÷àå, åñëè íà ñôåðå ðàñïðåäåëåí çàðÿä q1 , òîâ ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè, ïîòåíöèàë ñóììàðíîãîïîëÿ ñîäåðæèò åùå îäíî ñëàãàåìîå u3 = q1 .rÏðèìåð 2.3.10.
Ðåøèòå çàäà÷ó Äèðèõëå â øàðå:(∆u = −F (r, θ, ϕ), r ∈ (0, a), θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π],u|r=a = f (θ, ϕ),(2.3.21)Çàìå÷àíèå 2.3.5|u||r=0 < ∞.Ð ÅØÅÍÈÅ . Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2.1.7):u(r0 , θ0 , ϕ0 ) = −Z+K(O ,a)Zf (P ),∂G(P M0 )dSP +∂nPΣ(O ,a)F (M )G(M , M0 )dVM = u1 + u2 .393. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÏîäñòàâèì â íåå âûðàæåíèå (2.3.18) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà â øàðå. Âíà÷àëå íàéäåì ôóíêöèþ u1 . Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèèG ïî íîðìàëè nP íà ïîâåðõíîñòè øàðà:−∂G =∂nP Σ(O,a)1 ∂ q1a1=−− q4π ∂r r2 + r02 − 2rr0 cos γ r0 r2 + r12 − 2rr1 cos γ =r=a1r − r0 cos γr − r1 cos γa=4π r2 + r02 − 2rr0 cos γ 3/2 − r0 r2 + r12 − 2rr1 cos γ 3/2 =r=a2a − (a /r0 ) cos γ1 a − r0 cos γ − a 4π a2 + r2 − 2ar cos γ 3/2 r0 a2 + (a2 /r )2 − 2a(a2 /r ) cos γ 3/2 =0=0001 a − r0 cos γ − r02 /a + r0cos γ = 1 a2 − r02324π a2 + r02 − 2ar0 cos γ4πa a2 + r02 − 2ar0 cos γ 3 2 ,/ãäå r1 =a2.r0/Äëÿ ôóíêöèè u1 ïîëó÷àåì âûðàæåíèå:au1 (r0 , θ0 , ϕ0 ) =π2Zπ4Zπdϕ00,f (θ ϕ)(a2 − r02 )3/2 sin θdθ.a2 + r02 − ar0 cos γ2(2.3.22)Ôóíêöèÿ u2 èìååò âèä:1u2 (r0 , θ0 , ϕ0 ) =4πZar2 dr02ZπZπdϕ F (r, θ, ϕ) q0012r2 + r02 − rr0 cos γ−−qa2r02 r2 + a4 − rr0 a2 cos γ sin θdθ.Çàìå÷àíèå 2.3.6 Åñëè â çàäà÷å (2.3.21) F ≡ 0, òî åå ðåøåíèåì äëÿëþáîé íåïðåðûâíîé íà ñôåðå ôóíêöèè f (θ, ϕ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ u1 .Âûðàæåíèå (2.3.22) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ïóàññîíà äëÿ ñôåðû.Ïðèìåð 2.3.11.
Ïóñòü âíóòðè îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïîëóñôåðîéðàäèóñàa è ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ñôåðû, â òî÷êóa π πM0, ,2 4 4 ïîìåùåí òî÷å÷íûé çàðÿä âåëè÷èíû q. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà ïîëÿ ýòîãî çàðÿäà, åñëè ãðàíèöû îáëàñòèçàçåìëåíû.40Ãë. 2. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÄèðèõëåÐ ÅØÅÍÈÅ . Çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïðè ïîìîùè ìåòîäà èçîáðàæåíèé.Âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíîé ôóíêöèåé Ãðèíà G(M , M0 ) çàäà÷è Äèðèõëåâ øàðå.
Ôóíêöèÿϕ0 = 4πqG(M , M0 ) =qπ πãäå M1 2a, ,4 41rM M 02zM1M0M2M3Ðèñ. 2.3.6.øàðà ñ çàçåìëåííîé ãðàíèöåé:a π π1rM M 0−2rM M 1,âíóòðè çàçåìëåííîé ñôåðû.2 , Îíà4 , 4 óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ∆M ϕ0 (M , M0 ) = −4πqδ(M , M0 )â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè è îäíîðîäíîìó óñëîâèþ Äèðèõëå íà÷àñòè ãðàíèöû îáëàñòè, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ïîëóñôåðó (ðèñ.2.3.6).
Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîáèòüñÿ âûïîëíåíèÿ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿíà ïëîñêîñòèz = 0 ïîñòðîèì òî÷a 3π πêó M2 , , , ñèììåòðè÷íóþ2 4 4òî÷êå M0 îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòèz = 0, è ïîìåñòèì â íåå ôèêòèâíûéçàðÿä −q . ×òîáû ¾íå èñïîðòèëîñü¿ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ïîëóñôåðå,ðàññìîòðèì ïîòåíöèàë, ñîçäàâàåìûé ôèêòèâíûì çàðÿäîì âíóòðèϕ1 (M , M2 ) = −qãäå òî÷êà M3 2a, =q, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çà-ðÿäà, ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0π41a−a/ rM M11r M M2−2r M M3,3π , π ñîïðÿæåíà òî÷êå M2 îòíîñèòåëüíî ñôåðû:4 4OM2 · OM3 = a2 .Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì çàäà÷ó â ïîëóøàðèè âûøå ïëîñêîñòè z = 0,ôóíêöèÿ ϕ1 (M , M2 ) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé êàê ôóíêöèÿ êîîðäèíàòòî÷êè M â âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå. Êðîìå òîãî, ïî ïîñòðîåíèþϕ0 (P , M0 ) = −ϕ1 (P , M2 ), ∀P (x, y , 0),ïîýòîìó èñêîìûé ïîòåíöèàë èìååò âèä:ϕ(M , M0 ) = ϕ0 (M , M0 ) + ϕ1 (M , M2 ) =121 −=q−−qr M M0rM M 1r M M22rM M 3.3.
Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è ÄèðèõëåÇàìå÷àíèå 2.3.7åò âèä:41Ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå â ïîëóøàðèè èìå-G1/2 (M , M0 ) = G(M , M0 ) − G(M , M2 ).Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ îòðåçêà çàðÿæåííîé íèòèäëèíû 2L ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ e, ïîìåùåííîãî íàä èäåàëüíîïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ïëîñêîñòüþ ïàðàëëåëüíî åé íà ðàññòîÿíèèh îò íåå.Çàäà÷à 2.3.13. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ îòðåçêà çàðÿæåííîé íèòèäëèíû L ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ e, ïîìåùåííîãî íàä èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé çàçåìëåííîé ïëîñêîñòüþ ïåðïåíäèêóëÿðíî åé. Áëèæàéøàÿê ïëîñêîñòè òî÷êà îòðåçêà óäàëåíà îò íåå íà ðàññòîÿíèå h.Çàäà÷à 2.3.14.
Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî â òî÷êó M0 (x0 , y0 , z0 ) âíóòðè ¾ïîëóñëîÿ¿ 0 6 z 6 l,x > 0, ñ÷èòàÿ, ÷òî ñòåíêè èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå è èìåþò íóëåâîéïîòåíöèàë.Çàäà÷à 2.3.15. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà, ïîìåùåííîãî âíóòðè äâóãðàííîãî óãëà âåëè÷èíû α = π â òî÷êó M0 , åñëè2åãî ãðàíè èäåàëüíî ïðîâîäÿùèå çàçåìëåííûå ïëîñêîñòè ψ = π è2πψ = 0. Óãëîâàÿ êîîðäèíàòà òî÷êè M0 ðàâíà , ðàäèàëüíàÿ êîîðäè4íàòà ðàâíà r0 .Çàäà÷à 2.3.16. Íàéäèòå ïîòåíöèàë ïîëÿ â îáëàñòè y > 0, z > 0,x ∈ (−∞, +∞), ñîçäàâàåìîãî çàðÿäàìè, ðàñïîëîæåííûìè ñ ëèíåéíîéïëîòíîñòüþ e âäîëü îòðåçêà äëèíû L.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
