А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíóòðåííèå îáëàñòè.Åñëè ôóíêöèè u è v ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè íà áåñêîíå÷íîñòè (ñì.îïðåäåëåíèå 2.2.1), òî èíòåãðàëû I1 (R), I2 (R), I3 (R) ïî ñôåðå Σ(O, R)â ðàâåíñòâàõ (A.2.1)-(A.2.3) ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè R → +∞.  ñàìîìäåëå, äëÿ ðåãóëÿðíûõ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèé u è v ñóùåñòâóþòòàêèå ïîñòîÿííûå A1 > 0 è A2 > 0, ÷òî|v|r=R <33A1 ∂v AAA ∂u < 21 , |u|r=R < 2 , < 22 ., R∂r r=RR∂r r=RRRÑëåäîâàòåëüíî, äëÿ èíòåãðàëà I1 (R) â ðàâåíñòâå (A.2.1) ïîëó÷àåì 2π πZ Z3A1 A2 → 0 ïðè R → +∞.∂u v |I1 (R)| = R2 sin θdθdψ < 4π ·∂rRr=R0 0Èíòåãðàëû I2 (R) è I3 (R) â ðàâåíñòâàõ (A.2.2)-(A.2.3) îöåíèâàþòñÿàíàëîãè÷íûì îáðàçîì.Èòàê, óñòðåìëÿÿ ðàäèóñ R ê áåñêîíå÷íîñòè, äëÿ ðåãóëÿðíûõ íàáåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèé ïîëó÷àåì òðè ôîðìóëû Ãðèíà, àíàëîãè÷íûåôîðìóëàì äëÿ âíóòðåííèõ îáëàñòåé:ZZZ∂uv∆udVM = vdSP − ∇v · ∇udVM ,(A.2.4)∂nPDeSZ(v∆u − u∆v) dVM =DeZΩ(M0 )u(M0 ) =Z−ãäåDeSZDev∂u∂v−u∂nP∂nPS1rP M0dSP ,1∂u(P )∂− u(P )∂nP∂nP rP M0∆u(M )dVM ,r M M0(Ω(M0 ) =(A.2.5)dSP −(A.2.6)4π , åñëè M0 ∈ De ,2π , åñëè M0 ∈ S ,0, åñëè M0 ∈/ De . 3.
Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíóòðåííèå îáëàñòè.Ïóñòü D îáëàñòü íà ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîéçàìêíóòîé êðèâîé L.Ïåðâàÿ ôîðìóëà Ãðèíà â äâóìåðíîì ñëó÷àå èìååò âèäZIv∆udS =DL∂uv dl −∂nZ∇v · ∇udSD(A.3.1)124Ïðèë. A. Ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñàäëÿ âñåõv ∈ C(D) ∩ C (1) (D),u ∈ C (1) (D) ∩ C (2) (D).Âòîðàÿ ôîðìóëà Ãðèíà:Z(v∆u − u∆v) dS =DIv∂u∂v−udl∂n∂n(A.3.2)Läëÿ âñåõu, v ∈ C (1) (D) ∩ C (2) (D)Òðåòüÿ ôîðìóëà Ãðèíà:IΩ(M0 )u(M0 ) =Z−ln∆u(M ) lnDrP M01L11r M M0ãäå∂u(P )∂− u(P )ln∂nP∂nPrP M0dlP −dSM ,(A.3.3)2π , åñëè M0 ∈ Dπ , åñëè M0 ∈ L0, åñëè M0 ∈/ DÄîêàçûâàþòñÿ ýòè ôîðìóëû ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî â òðåõìåðíîì ñëó÷àå.(Ω(M0 ) = 4.
Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòè.Ïóñòü De äîïîëíåíèå êîíå÷íîé îáëàñòè D ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîéçàìêíóòîé ãðàíèöåé L äî âñåé ïëîñêîñòè R2 . Äëÿ ðåãóëÿðíûõ íàáåñêîíå÷íîñòè ãàðìîíè÷åñêèõ âíå íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòèôóíêöèé ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû òðè ôîðìóëû Ãðèíà â îáëàñòè De . Âäâóìåðíîì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îò òðåõìåðíîãî, íåîáõîäèìî ïîìèìî ðåãóëÿðíîñòè (òî åñòü îãðàíè÷åííîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè) òðåáîâàòü åùåè ãàðìîíè÷íîñòè ôóíêöèé ïîòîìó, ÷òî òîãäà èõ ïðîèçâîäíûå óáûâàþò1íà áåñêîíå÷íîñòè êàê 2 [9].rÂûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò O íàõîäèëîñü âíóòðè îáëàñòè D. Îêðóæèì îáëàñòü D îêðóæíîñòüþCR ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è äîñòàòî÷íî áîëüøèì ðàäèóñîì R.Òîãäà â êîíå÷íîé îáëàñòè DeR , îãðàíè÷åííîé êðèâîé L è îêðóæíîñòüþCR , ñïðàâåäëèâû òðè ôîðìóëû Ãðèíà.Ðàññìîòðèì ïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà:ZIIZ∂u∂uv∆udS = v dl +v dl −∇v · ∇udS ,∂nDeRL∂nCRDeR(A.4.1)4.
Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòè.125äëÿ ëþáûõ v ∈ C(De ) ∩ C (1) (De ), u ∈ C (1) (De ) ∩ C (2) (De ), ãäå ~n âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ãðàíèöå îáëàñòè DeR . ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ èíòåãðàë ïî îêðóæíîñòè CR èìååò âèä:II1 (R) =∂uv dl = R∂n2Zπv∂u dψ.∂r r=R0CRÅñëè ôóíêöèè u è v ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè íà áåñêîíå÷íîñòè è ãàðìîíè÷åñêèìè âíå íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D0 ⊂ De , òî íàéäóòñÿòàêèå A1 , A2 > 0, ÷òî|u| < A1 , |∇u| <2A1 ,r2 ∂u 2A1 < 2 ,∂rr2A2|v| < A2 , |∇v| <(A.4.2)(A.4.3)r2ïðè r → +∞ [1].
Ñëåäîâàòåëüíî, 2πZ 4πA1 A2∂u → 0 ïðè R → +∞.dψ <|I1 (R)| = R v ∂r r=RR0Çà ñ÷åò îöåíîê (A.4.2)-(A.4.3) èíòåãðàëZ∇v · ∇udSDeRïî îáëàñòè DeR â âûðàæåíèè (A.4.1) ñõîäèòñÿ ïðè R → +∞. Òàêèìîáðàçîì, ïðè R → +∞ ïîëó÷àåì ïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà âî âíåøíåéäâóìåðíîé îáëàñòè De :ZIv∆udS =Dev∂udl −∂nLÂòîðàÿ ôîðìóëà ÃðèíàZ(v∆u − u∆v) dS =DeZ∇v∇udS.(A.4.4)∂u∂v−udl∂n∂n(A.4.5)DeIvLàâòîìàòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîé äëÿ ëþáûõ ãàðìîíè÷åñêèõ âíåíåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D0 ⊂ De ðåãóëÿðíûõ ôóíêöèé u è v ,òàêèõ ÷òî u, v ∈ C (1) (De ) ∩ C (2) (De ).126Ïðèë.
A. Ôîðìóëû Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà ËàïëàñàÏîëó÷èì òðåòüþ ôîðìóëó Ãðèíà â îáëàñòè De .  êîíå÷íîé îáëàñòèDeR òðåòüÿ ôîðìóëà Ãðèíà èìååò ìåñòî:IΩ(M0 )u(M0 ) =I +CR11L1∂u(P )∂ln− u(P )ln∂nPrM 0 P∂nPr M0 PZ−1∂u(P )∂ln− u(P )ln∂nPr M0 P∂nPr M0 P∆u(M ) lnDeR1r M0 MdlP +dlP −(A.4.6)dSM ,ãäå(Ω(M0 ) =2π , M0 ∈ DeR ,π , M0 ∈ L ∪ CR ,0, M0 ∈/ DeR .Íîðìàëè ~nP ê êðèâûì L è CR ÿâëÿþòñÿ âíåøíèìè ïî îòíîøåíèþ êîáëàñòè DeR . Ðàññìîòðèì èíòåãðàëI I2 (R) =CR11∂u(P )∂− u(P )lnln∂nPr M0 P∂nPr M0 PdlPïî îêðóæíîñòè CR â ôîðìóëå (A.4.6) ïðè R → +∞. Ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì (r, ψ). Ïóñòü òî÷êà M0 èìååò êîîðäèíàòû (r0 , ψ0 ).Òîãäà2Zπlim I2 (R) = limR→+∞R→+∞0∂u ∂r1ln qr2 +2r022Zπ= limn 1 lnORR→+∞0−− rr0 cos(ψ − ψ0 )∂−u ln q∂rr2 + r02 − rr0 cos(ψ − ψ0 ) 21Rdψ =r=R1 + u(R, ψ) 1 + O 1 o dψ = 2πu∞ ,RR1274.
Äâóìåðíûé ñëó÷àé. Âíåøíèå îáëàñòè.ãäå u∞ = limR→+∞12πRIudl ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè u ïî îêðóæ-CRíîñòè áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ðàäèóñà.  ðåçóëüòàòå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïîëó÷àåì òðåòüþ ôîðìóëó Ãðèíà â îáëàñòè De :Ω(M0 )u(M0 ) −2πu∞ =Z− ∆u(M ) lnDeIL1r M0 M11∂u(P )∂ln− u(P )ln∂nPrM 0 P∂nPr M0 PdSM ,ãäådlP −(A.4.7)2π , M0 ∈ De ,π , M0 ∈ L ,0, M0 ∈/ De .Âåëè÷èíà u∞ äëÿ ðåãóëÿðíîé ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè êîíå÷íà è âîáùåì ñëó÷àå íå ðàâíà íóëþ. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî â òðåõìåðíîìñëó÷àå òàêîãî ñëàãàåìîãî â òðåòüåé ôîðìóëå Ãðèíà íåò.(Ω(M0 ) =Ïðèëîæåíèå ÁÑÓÌÌÈÐÎÂÀÍÈÅ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÐßÄÎÂ1.
Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà:∞Xtn Pn (α) = pn=0∞ nXtn=1n1 + t2 − 2tα1 − xt +Pn (x) = − ln∞Xtn+1n=01n+1 Pn (x) = lnt−x+,|t| < 1.21,21,pt2 − tx +2pt2 − tx +−x1|t| < 1|t| < 1(Á.0.8)(Á.0.9)(Á.0.10)2. Ñóììèðîâàíèå íåêîòîðûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ:∞Xtn einψ =n=011 − te1 − te1 + t2 − 2t cos ψ−iψiψ=(Á.0.11)Èç (Á.0.11) ïîëó÷àåì:∞Xtn cos nψ =n=0è∞Xtn sin nψ =n=01 − t cos ψ ,1 + t2 − 2t cos ψt sin ψ1 + t − 2t cos ψ2.(Á.0.12)(Á.0.13)Èíòåãðèðóÿ ïî ïåðåìåííîé ψ ñîîòíîøåíèå (Á.0.13), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó−∞ nXt cos nψnn=1Z=t sin ψ1 + t2 − 2t cos ψdψ =1 ln(1 + t2 − 2t cos ψ) + C2Ïîëîæèâ t = 0, íàõîäèì ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ C = 0, è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:∞ nXt cos nψn=1n12= − ln(1 + t2 − 2t cos ψ) = ln p11 + t2 − 2t cos ψ(Á.0.14)Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. À.Ã.
Ñâåøíèêîâ, À.Í. Áîãîëþáîâ, Â.Â. Êðàâöîâ Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîéôèçèêå. Ì: Èçä-âî Ìîñêîâñêîãî óí-òà, 2004.2. À.Í. Áîãîëþáîâ, Â.Â. Êðàâöîâ Çàäà÷è ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Ì:Èçä-âî Ìîñêîâñêîãî óí-òà, Èçä-âî ¾Íàóêà¿, 1998.3. B.C. Âëàäèìèðîâ, Â.Â. Æàðèíîâ Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.:ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2004.4. B.C. Âëàäèìèðîâ Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1986.5. Í.Ñ. Êîøëÿêîâ, Ý.Á. Ãëèíåð, Ì.Ì. Ñìèðíîâ Óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: ¾Âûñøàÿ øêîëà¿, 1970.6. Á.Ì.
Áóäàê, À.À. Ñàìàðñêèé, À.Í. Òèõîíîâ, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2004.7. À.Í. Òèõîíîâ, À.À. Ñàìàðñêèé, Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, Ì.:Èçä-âî ÌÃÓ, 1998.8. Í.Í. Ìèðîëþáîâ, Ì.Â. Êîñòåíêî, Ì.Ë. Ëåâèíøòåéí, Í.Í. Òèõîäååâ, Ìåòîäû ðàñ÷åòà ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé, Ì.: ¾Âûñøàÿ øêîëà¿, 1963.9. Ô.Ì. Ìîðñ, Ã.
Ôåøáàõ, Ìåòîäû òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, ò.1, Ì.: ÈË, 1958.10. À.Ã. Ñâåøíèêîâ, À.Í. Òèõîíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé,Ì.: Íàóêà, 2003.11. Ì.À. Ëàâðåíòüåâ, Á.Â. Øàáàò, Ìåòîäû òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî ïåðåìåííîãî. Ãîñòåõèçäàò, 1951.12. Å.Â. Çàõàðîâ, È.Â. Äìèòðèåâà, Ñ.È. Îðëèê, Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîéôèçèêè. Ñáîðíèê çàäà÷. ÌÃÓ èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè. Ìîñêâà, 2009.13. Ñ.Ã. Êàëàøíèêîâ, Ýëåêòðè÷åñòâî. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003.14. À.Á. Âàñèëüåâà, Í.À.
Òèõîíîâ Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2002.15. Â.Ò. Âîëêîâ, À.Ã. ßãîëà Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå. Êóðñ ëåêöèé. Ì.: ÊÄÓ, 2008.16. È.Ã. Ïåòðîâñêèé Ëåêöèè ïî òåîðèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì.:ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2009.17. À.Í. Òèõîíîâ, À.Á.
Âàñèëüåâà, À.Ã. Ñâåøíèêîâ Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2005.18. Ã.À. Ãðèíáåðã Èçáðàííûå âîïðîñû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõè ìàãíèòíûõ ÿâëåíèé. Ì.: Èçäàòåëüñòâî Àêàäåìèè Íàóê ÑÑÑÐ, Ìîñêâà,Ëåíèíãðàä, 1948.19. Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü 2. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2002.20. È.Ö. Ãîõáåðã, Ì.Ã. Êðåéí Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Èçä-âî ¾Íàóêà¿, Ãëàâíàÿðåäàêöèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, Ìîñêâà, 1965.5 À.Í. Áîãîëþáîâ, Í.Ò.
Ëåâàøîâà, È.Å. Ìîãèëåâñêèé, Þ.Â. Ìóõàðòîâà, Í.Å. ØàïêèíàÓ÷åáíîå èçäàíèåÁîãîëþáîâ Àëåêñàíäð Íèêîëàåâè÷Ëåâàøîâà Íàòàëèÿ ÒèìóðîâíàÌîãèëåâñêèé Èëüÿ Åôèìîâè÷Ìóõàðòîâà Þëèÿ Âÿ÷åñëàâîâíàØàïêèíà Íàòàëüÿ ÅâãåíüåâíàÔÓÍÊÖÈß ÃÐÈÍÀ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ ËÀÏËÀÑÀÏîäïèñàíî â ïå÷àòü 6.09.2012Îáúåì 8,06 ï.ë. Òèðàæ 100 ýêç.Çàêàç Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà119991, Ìîñêâà, ÃÑÏ-1, Ëåíèíñêèå ãîðû, ä.1, ñòð.2Îòïå÷àòàíî â îòäåëå îïåðàòèâíîé ïå÷àòèôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
