А.Н. Боголюбов и др. - Функция Грина оператора Лапласа (1125165), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÅñëè n 6= 0, òî èç (3.5.18) ïîëó÷àåìgn0 = pZ1V0 λnvn (Q0 )dVQ0 − pZI1V0 λn S0Dp=−V0S 0 λnvn (P )dSP dVQ0 =DSIvn (P )dSP .SÏðè n = 0g00 =ZZ1V0G(Q0 , M 0 )dVQ0 dVM 0 = const.DDÏîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ gnk â ðàâåíñòâî(3.5.19), íàõîäèìZZG(Q, M )f (Q)dVQ =DD+∞Xvn (M )vn (Q)−λnn=1ZZ1 V02DDpI∞V0 X vk (Q)pvk (P )dSP −S0λV0k=1 kSI∞V0 X vn (M )pvn (P )dSP f (Q)dVQ .S0λV0n=1 np−G(Q0 , M 0 )dVQ0 dVM 0 +SÈòàê, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìG(Q, M ) =∞Xvn (M )vn (Q)n=1λn−1S0I∞Xvn (M ) + vn (Q)λnn=1vn (P )dSP + C ,S(3.5.20)ãäå C ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ðÿä (3.5.20) ñõîäèòñÿ ïî íîðìåïðîñòðàíñòâà L2 (D × D).

Ðàâåíñòâî (3.5.20) ñëåäóåò ïîíèìàòü êàêðàâåíñòâî äâóõ ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà L2 (D × D).Ðàññìîòðèì çàäà÷ó(∆u = −F (M ), M ∈ D,∂u = f (P ), P ∈ S.∂nSÍàïîìíèì, ÷òî óñëîâèå åå ðàçðåøèìîñòè èìååò âèäZ−IF (M )dVM = f (P )dSP .D(3.5.21)1075. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ÍåéìàíàÏîêàæåì, ÷òî â èíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷èîñíîâíóþ ðîëü èãðàåò òîëüêî ïåðâîå ñëàãàåìîåb , M) =G(Q∞Xvn (Q)vn (M )(3.5.22)λnn=1ôóíêöèè Ãðèíà (3.5.20), à îñòàëüíûå ñëàãàåìûå ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿäàäóò àääèòèâíóþ ïîñòîÿííóþ.

 ñàìîì äåëå, ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèþÃðèíà (3.5.20) â âûðàæåíèåIu(M ) = G(P , M )f (P )dSP 0 +0ZG(Q, M )F (Q)dVQ + A0 ,0SDïîëó÷àåìI∞Xu(M ) = f (P 0 )1−SS0Z+n=1vn (P 0 )vn (M )−λnI∞Xvn (P 0 ) + vn (M )λnn=1∞XF (Q)D−1n=1∞XS0n=1vn (P )dSP + CdSP 0 +Svn (Q)vn (M )−λn(vn (Q) + vn (M ))λnIvn (P )dSP + CdVQ + A0 .S ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå1II∞Xvn (P 0 )f (P 0 )S0SZ1+n=1λnF (Q)S0I∞Xvn (Q)Sn=1Dvn (P )dSP dSP 0 +λnvn (P )dSP dVQ = const,Sà â ñèëó óñëîâèé ðàçðåøèìîñòè1If (P 0 )S0S∞X1+Zn=1F (Q)S0Dvn (M )λn∞Xn=1Ivn (P )dSPSvn (M )λndSP 0 +Ivn (P )dSPSdVQ =108Ãë. 3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Íåéìàíà=1S0I∞Xvn (M )λnn=1IZ00vn (P )dSP  f (P )dP + F (Q)dVQ  = 0.SSD{z|}=0Èòàê, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.5.21) ïîëó÷àåì âûðàæåíèåIZb 0 , M )dSP 0 + F (Q)G(Qb , M )dVQ + Ae0 .u(M ) = f (P 0 )G(PS(3.5.23)DÐåøèòå êðàåâóþ çàäà÷ó Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿËàïëàñà â ïðÿìîóãîëüíèêåÏðèìåð 3.5.24.∆u = 0, x ∈ (0, a), y ∈ (0, b), ∂u ∂u = 0,= a,∂x x=0∂x x=a∂u  ∂u = b,= 0.∂yy=0∂yy=bÐ ÅØÅÍÈÅ .

Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3.5.23). Äëÿ ýòîãî ïðåæäå âñåãîb , M0 ), ãäå òî÷êà M èìååò êîîðäèíàòû (x, y), à òî÷êà M0íàéäåì G(Mêîîðäèíàòû (x0 , y 0 ). Äëÿ ïðÿìîóãîëüíèêà ïîëó÷àåì:0πmx0πmx∞ cos πny cos πnycosXaabbb , y ; x0 , y 0 ) =+G(x πm 2 πn 2ababm=1n=1ab00πmxπnyπmxπny∞coscoscoscosXabab .+ πm 2 πn 2ab+m,n=1ab22∞ cosX+4Ãðàíèöåé îáëàñòè D â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ ÷åòûðå îòðåçêà ïðÿìûõ,íà äâóõ èç êîòîðûõ çàäàíû íóëåâûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.Ïîäñòàâëÿÿ∂u b , y ; x0 , y 0 ) â ôîðìóëó (3.5.23) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∂u G(x=− ,∂n y=0∂y y=0ïîëó÷èìZaZb00bb , y ; a, y 0 )dy 0 + A0 =u(x, y) = − bG(x, y ; x , 0)dx + aG(x0= −b ·20Za X∞ cos πnyab0n=120 πn 2 dx + a ·abbbZb X∞ (−1)m cos πmx0m=1 πm 2aady 0 + A0 =1095. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ Íåéìàíà=πnyb−2 πn 2n=1b∞ cosX∞ (−1)m cosX+2πmxa πm 2m=1+ A0a ïðÿìîóãîëüíèêå x ∈ [δ1 , a], y ∈ [δ2 , b], ãäå 0 < δ1 < a, 0 < δ2 < b ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà, ïîëó÷åííûå ðÿäû ìîæíî ïðîñóììèðîâàòü.

1) Âðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìu(x, y) =x22−y22+ by + A0 .Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíî ïðèìûêàåò ê ãðàíè÷íûì óñëîâèÿìçàäà÷è.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Íåéìàíà â êðóãîâîì ñåêòîðå ðàäèóñà a ðàñòâîðà α.Çàäà÷à 3.5.26. Ïîñòðîéòå ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Íåéìàíà â êðóãîâîì öèëèíäðå ðàäèóñà a âûñîòû h.Çàäà÷à 3.5.25.) Ïîêàæåì, êàê âû÷èñëÿåòñÿ ñóììà ðÿäà1πnyb πn 2n=1b∞ cosXI(y) =.(3.5.24)πny πnb−n=1b(3.5.25)Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå δ > 0. Ðàññìîòðèì ðÿä∞ sinX0I (y) =íà îòðåçêå y ∈ [δ; b], ãäå îí ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî [19].

Îí ïîëó÷àåòñÿ ôîðìàëüíûì ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ðÿäà (3.5.24). Èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñëåäóåò, ÷òî åãî ìîæíî èíòåãðèðîâàòüïî÷ëåííî:ZI(y) = I (y)dy , y ∈ [δ ; b].Ïðîñóììèðóåì ðÿä (3.5.25):XebbI (y) = − Im= Im ln 1 − e=πnπ0∞0πnyi biπybn=111 iπy iπybbbb= Im ln − e−e= − arctg + i argπ=−barctgπÑëåäîâàòåëüíîπycos2bπysin2b=−bπyarctg ctgπ2bI(y) =12y22π=−bππ2− by+ const−πy2b=πybπy1 − cosbsin12(y − b).=110Çàäà÷à 3.5.27.Ãë.

3. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ÍåéìàíàÏîñòðîéòå â èíòåãðàëüíîì âèäå ðåøåíèå çàäà÷è∆u = 0, r ∈ (0, a), ϕ ∈ (0, α),∂u = f (r), r ∈ [0, a],∂ϕϕ=0u|ϕ=α = u|r=a = 0, |u||r=0 < ∞.Çàäà÷à 3.5.28.Ïîñòðîéòå ðåøåíèå çàäà÷è∆u = 0, (x, y) ∈ D, ∂u = f (x, y), (x, y) ∈ L,∂n L|u||x=0, y=0 < ∞,ãäå îáëàñòü D èìååò âèä y > 0, x2 + y 2 < a2 , L ãðàíèöà îáëàñòèD, à f (x, y) = x3 − a2 x ïðè y = 0 è f (x, y) = 0 ïðè x2 + y 2 = a2 .Ãëàâà 4ÔÓÍÊÖÈÈ ÃÐÈÍÀ ÇÀÄÀ× Ñ ÃÐÀÍÈ×ÍÛÌÈÓÑËÎÂÈßÌÈ ÒÐÅÒÜÅÃÎ ÐÎÄÀŸ 1. Âíóòðåííèå çàäà÷èÏóñòü D êîíå÷íàÿ îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîéçàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ S (íàïðèìåð, ïîâåðõíîñòüþ Ëÿïóíîâà) â òðåõìåðíîì ñëó÷àå èëè äîñòàòî÷íî ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé L (íàïðèìåð,êðèâîé Ëÿïóíîâà) â äâóìåðíîì ñëó÷àå.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè òðåòüåãî ðîäà, òàêæå èíîãäà íàçûâàåìûìè â ëèòåðàòóðåóñëîâèÿìè Ðîáåíà, äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â îáëàñòè D:∆u = −F (M ), M ∈ D,(4.1.1)∂u+ hu = f (P ), P ∈ S , (P ∈ L), h >∂nP0,(4.1.2)ãäå n åäèíè÷íàÿ âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D íîðìàëü êïîâåðõíîñòè S (êðèâîé L).Îïðåäåëåíèå 4.1.1 Áóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (4.1.1-4.1.2) ôóíêöèþ u(M ), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè D, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè D,óäîâëåòâîðÿþùóþ â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå óðàâíåíèþ (4.1.1) â îáëàñòè D è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (4.1.2).Åñëè ôóíêöèÿ F (M ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â îáëàñòè D è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé â îáëàñòè D, à ôóíêöèÿ f (P ) ÿâëÿåòñÿíåïðåðûâíîé íà ãðàíèöå S (ëèáî L â äâóìåðíîì ñëó÷àå) îáëàñòè D,òî çàäà÷à (4.1.1-4.1.2) èìååò åäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå u(M )[5].Ðåøåíèå çàäà÷è (4.1.1-4.1.2), êàê è â ñëó÷àå ðàññìîòðåííûõ ðàíååçàäà÷ ñ óñëîâèÿìè Äèðèõëå è Íåéìàíà, â òðåõìåðíîì ñëó÷àå óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâóu(M ) =−ZG(P , M ),∂u(P )∂G(P M )− u(P )dSP −∂nP∂nPZSG(Q, M )∆u(Q)dVQ ,DãäåG(Q, M ) =1 14π rQM+ v,∆Q v = 0, Q ∈ D,(4.1.3)112Ãë.

4. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè òðåòüåãî ðîäàà â äâóìåðíîì ñëó÷àå ðàâåíñòâóu(M ) =−ZG(P , M ),∂G(P M )∂u(P )− u(P )dlP −∂nP∂nPZLG(Q, M )∆u(Q)dSQ ,(4.1.4)DãäåG(Q, M ) =112π ln r+ v,∆Q v = 0, Q ∈ D.QMÂûáåðåì ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ v òàê, ÷òîáû ôóíêöèÿ G(Q, M )óäîâëåòâîðÿëà ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ,∂G(P M )+ hG(P , M ) =∂nP0, P ∈ S (P ∈ L).Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî,∂u(P )∂G(P M )− u(P )=∂nP∂nP(4.1.5)∂u(P )= G(P , M )+ hu(P ) = G(M , P )f (P ), P ∈ S (P ∈ L).∂nPG(P , M )Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî (4.1.5) è ïîäñòàâëÿÿ â (4.1.3) çíà÷åíèå ∆u(Q) = −−F (Q), ïîëó÷àåìZZu(M ) = G(P , M )f (P )dSP + G(Q, M )F (Q)dVQS(4.1.6)Dâ òðåõìåðíîì ñëó÷àå, èZZu(M ) = G(P , M )f (P )dlP + G(Q, M )F (Q)dSQL(4.1.7)Dâ äâóìåðíîì.Ôóíêöèåé Ãðèíà âíóòðåííåé çàäà÷è Ðîáåíà äëÿîïåðàòîðà Ëàïëàñà áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþÎïðåäåëåíèå 4.1.2G(Q, M ) =14πr+ v(Q, M ), Q ∈ D, M ∈ D,QMG(Q, M ) =â òðåõìåðíîì ñëó÷àå,112π ln rQM+ v(Q, M ), Q ∈ D, M ∈ D,â äâóìåðíîì ñëó÷àå,óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:1) v(Q, M ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè Q ∈ D,1132.

Âíåøíèå çàäà÷èíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà D äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ D;2) ∂G(P , M ) + hG(P , M ) = 0 äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ D, ãäå P ∈ S â∂nPòðåõìåðíîì ñëó÷àå è P ∈ L â äâóìåðíîì.Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà G(Q, M ) ñëåäóåò, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è ∆Q G(Q, M ) = −δ(Q, M ), Q, M ∈ D,(4.1.8) ∂G(P , M ) + hG(P , M ) = 0, P ∈ S (P ∈ L), M ∈ D.∂nPÅñëè ãðàíèöà S îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Ëÿïóíîâà (Lÿâëÿåòñÿ êðèâîé Ëÿïóíîâà), òî ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà [5].Ôóíêöèÿ Ãðèíà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè òî÷åê Qè M:G(Q, M ) = G(M , Q).Ÿ 2. Âíåøíèå çàäà÷èÏóñòü De îáëàñòü, âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê êîíå÷íîé îáëàñòèD, îãðàíè÷åííîé äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ S (êðèâîé L). Ðàñ-ñìîòðèì âíåøíþþ êðàåâóþ çàäà÷ó∆u = −F (M ), M ∈ De ,∂u+ hu = f (P ),∂nPP ∈ S (P ∈ L),(4.2.1)(4.2.2)u ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè,(4.2.3)ãäå n åäèíè÷íàÿ âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè De íîðìàëü êïîâåðõíîñòè S (êðèâîé L).Îïðåäåëåíèå 4.2.1 Áóäåì íàçûâàòü êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (4.2.1-4.2.3) ðåãóëÿðíóþ íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèþ u(M ), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè De è îäèí ðàçíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè De , óäîâëåòâîðÿþùóþ âêëàññè÷åñêîì ñìûñëå óðàâíåíèþ (4.2.1) â îáëàñòè De è ãðàíè÷íîìóóñëîâèþ (4.2.2).Åñëè ôóíêöèÿ F (M ) ôèíèòíà, íåïðåðûâíà â îáëàñòè De è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â De , à ôóíêöèÿ f (P ) íåïðåðûâíà íà ïîâåðõíîñòè S (êðèâîé L), òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèåçàäà÷è (4.2.1-4.2.3).Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ âíóòðåííåé çàäà÷è, ðåøåíèå çàäà÷è (4.2.14.2.3) ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà G(M , Q):∆Q G(Q, M ) = −δ(Q, M ), Q, M ∈ De , ∂G(P , M )+ hG(P , M ) = 0, P ∈ S (P ∈ L), M ∈ De ,(4.2.4)∂nPG(Q, M ) ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè.h > 0,114Ãë.

4. Ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè òðåòüåãî ðîäàÎïðåäåëåíèå 4.2.2 Ôóíêöèåé Ãðèíà âíåøíåé çàäà÷è Ðîáåíà äëÿîïåðàòîðà Ëàïëàñà áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþG(Q, M ) =14πr+ v(Q, M ), Q ∈ De , M ∈ De ,QMG(Q, M ) =â òðåõìåðíîì ñëó÷àå,112π ln r+ v(Q, M ), Q ∈ De , M ∈ De ,QMâ äâóìåðíîì ñëó÷àå,óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:1) v(Q, M ) ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷êè Q ∈ De ,íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà De äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ De ;2) ∂G(P , M ) + hG(P , M ) = 0 äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ De , ãäå P ∈ S â∂nPòðåõìåðíîì ñëó÷àå è P ∈ L â äâóìåðíîì,3)G(Q, M ) ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè.Äëÿ ëþáîé òî÷êè M ∈ De ïîëó÷àåìZZSDeu(M ) = G(P , M )f (P )dSP +â òðåõìåðíîì ñëó÷àå èZZLDeu(M ) = G(P , M )f (P )dlP +Çàìå÷àíèå 4.2.1G(Q, M )F (Q)dVQ(4.2.5)G(Q, M )F (Q)dSQ .(4.2.6) ñëó÷àå âíåøíåé òðåõìåðíîé çàäà÷è ôóíêöèÿv(Q, M ) ðåãóëÿðíà íà áåñêîíå÷íîñòè, à â ñëó÷àå äâóìåðíîé çàäà÷èýòà ôóíêöèÿ èìååò ëîãàðèôìè÷åñêóþ îñîáåííîñòü íà áåñêîíå÷íîñòè.Ÿ 3.

Характеристики

Список файлов книги