И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 66
Текст из файла (страница 66)
ИП П 301(24) ° х Й(х) (х 2 Г (а+х) Г(Р— х) Г (у+х) Г (й — х) 1 ~ Н(1) [-~- (2(+ — Р) ~ Лс Г ( ) Г ( — с) Г (а —,6 — 1) [а+6=6 ьу, Пе(а+])+у+6) ~ 2, В(х+1) = — Л(х)]. ИП П 301 (25) 6АЗ Гамма-функпня, показательная в етепеннаи фуикиян ОА21 сх 1. ~ Г(а+х) Г(6 — х) ехр [2(ни+ О)х() с(х= = 2н(Г (а+ 6) (2 соз О) в ехр [(р — а) (О) х 671 в.в глммх эвикция и годстввнныв ви е~нкции х [ч„(8) ехр (2пярв) — т1„( — а) ехр( — 2пяав)] [йе(а+9) < 1; — — < 0 < —,; и — целое; т)„(~)=0, Г1 гт если — — и 1ш" ь>О, т)„(~)=зщв — — и), и Я вЂ” и) )ш 1 < О[. (О 2.
еп(О(( <Ы Г(а+ >Г61 — )Г1т+г*) Г~Ь вЂ” М 0 — (О [йе(а+[)+у+6) >2, с, й — действительные; ~ с [ > ~ )в [+ 1[, ИПП 298 (7) ИПП 301 (26) г Ф ехр [(2яп+ ж — 20) хе[в)х = р[(2 )- — 20)хг[ 1 =О О в я [Ве(р — а) > О, — — < 0 < —., и — целое, ( + —,')1ш >О[. ИПП 297 (6) 6А22 1(О 1. ~ Г(г — й — Л)Г(Л+)в — г+ ~) Г(Л вЂ” )в — г+ ~ ) г(,1г— = 2лв'1' ( Π— й — р ) 1' ( —, — /с + р ) вхей И'е „(г) Г1 Г1 ~йе(й+Л) < О, ВеЛ > [йе1в! — —,, [ах0в( < О(( ) И1ГП 302(29) т+в 2. ~ Г(а+г)Г( — г) Г(1 — с — г) х(сЪОО = ив'Г (а) Г (а — с + 1) Чт (а, с; х) — йе а < т < шш (О, 1 — Ве с), — — < атд х < —, Зв Зм З 2 х [' ВТФ1 256 (5) 3.
~ Г( — г) Г([)+г)атее(г=2явГ([))(1+с) г т — 1(О [О>у>йе(1 0), ~.,Ох~<я[. ВТФ1256, Бу75 =2я(в18в (™+-) ' ехр[ — (2лп+зт — 0)а1 +01([1 — 1)[ 1~ (т: в1г г(р — 1 [йеФ вЂ” а)>0, — ~ <0 < 2, п-целое, (и+ — ) )ша < 0[, в в ! ИПП 298(8) б 1 ГАИИА-Функция и родственные ей Функции вы 12. ~ Г(г) Г ( — — г — т) Г( — — з+т)(2г)'бЬив б З 1 = 2в ив 1вб с*бес (ти).6:„(в) ~~аГ8в] < 2,2т~ -)-1, -)- 3,... ]. ВТФ П 84 (39) вГ ~)+в) ) 1 1 г [х > О].
МО 41 ив 14 ~ г( + )г())+ )г( — ) ( г(У+в) ( ) 6)) ~(п 8. 1,,) г(т) 6+ ив г( +и)) ( ), 2 Г(о) г (у+в) г (т) 6-ыв [ — — < аГ8 ( — г) < 2, 0 > 6 > — Вен, У У О, 1, 2, . ' ' 1 . ВТФ 1256(4) ( 1 ')]' б й ! 16 ~ ~ ~ ' ~ в' бЬ = 2Н1хб [2л 'Хб (4вб) — об (4иг)] г (в) [г > 0].
ИП П 303(33) г 1~ г (), ).« —.+ —,~~ г ( ) — р —,+ —,) 17 в~ г,), Г)Х вЂ В вЂ ) б пл= =2нбвбе у'вв'А «(х) ] ВеХ> ]Ве)б] — —, ]аГ86! < — ", ] . ИП и 302 (ЗО) '" г(й — )+)г],)+д — + —,) 1 18 г'1Ь= г (« — ) +.+ —,') г (,6+«+ 2) =2Я1 г „1 х"е вМА «(в) г14+1) [Ве(й — Х) > О, Ве(Х+)б) > — —, !аг86] < — ] . ИПП302(31) 4') таблицы а«тир«алов [атп ( — и) < н. нуть интегрирования должен отделять полюеы подынтегральнои функции в тачках 6=0, 1, 2, 3, ...
от полюсов л= --а — и и б=- — 6 — и (В=О, 1, 2, ...)]. ВГФ(62(15) е — 7 опРжджлжнныж интжгРАлы от спжциАльных южнкций ОО Е-ах с(х Г (1+х) = т (е-"). СО с(х е г( +9+О =~(' [)). хСО е- Г (а+1) ах= р,(е- . т) МХд39, ВТФ1П222(16) МХд 39, ВТФП1 222 (1(!) [Вет > — 1] МХЖ 3!) ВТФ П1222(17) СО ~м ~ ~ с ° е- ах=е"ар,(е '*, т, и). МХд39, ВТФ1П222(17) Г (а+а+ 1) СО я (х) ехр [(2ка+ Е) хс] с(х Г (а+.с) Г ([) — х) ЯС!9- ! ] )9!С! *С!~ !СС ~ - (-']1 [Ве (к+ [)) > 1, — и < 9 ( и, п — целое, Л (ж+ 1) = В (хи ИП П 299(16) 6.43 Гамма-ф)акция и тригонометрические функции 6.431 1 г ~ Р'9-с с (Π— р СО 9!в гх с(х ( Ж Г(р+х) Г(а — ) Г(р+е — 0 СО [~г~ < и]; =0 Пг!>и] [г — действительно, Ве(р+9) > 1] М010 и, ИП П298(9, 10) г (р-)- ) Г (е — ) Г (р+е — с) =0 [г — действительжо; Ве(р+с7) > 1]. Пг!>и] М010 и, ИПП299(13, 14) СО СС Ц Г(Ь! — 9) Ц Г(( — а,+9! 19 1 =! ' =! ь ю Р Ц Г(1 — Ь +г) Ц Г(а — г) ! СО+! Г=О+! =2 а-"(.~ -.-; ) 1 р+д(2(т+п); ~агйе) < (т+п — — р — — д~ и; Веа„< 1, й=1, ..., и, Ве6, >О, !=1, ..., т|.
ИПП303(34) 675 зл гаммА-юункция и Родствжинын ни Функции я(в (»вях) сх 0 гйв (лх) Г (а+*) Г ( — х) 6.432 [и» вЂ” целое, четное); 2 +г — з Г (а+ — 1) [Ве (а+ В) > 1]. [яч — целое, нечетное] ИП П 298(11, 12) 6.433 1. х цн яхЗх Г (а+.с) Г ( — х) Г (т+х) Г (Ь вЂ” х) ОР яш [ — ( — а)] 2Г ( +В ) Г(т 2 ) Г(а+Ь вЂ” 1) [а 4- ь = В+ у, йе (а+ В-+ 7+ ь) > 2]. ИП Пзоо(22) сеь ях сх Г (а+х) Г ( — ) Г (т+ ) Г (Ь вЂ” ) ь ° ~ — ",. ( —.) ~ 2Г( ") г("~ ) г( +ь — 0 [и+ 6=В)-7.
Ве(а+В+т+Ь) > 2], ИП П 301 (23) 6.44 Логарпфм гамма-фупнцни е) 6.441 ?ВГ(х) с(х= 2 1п2н+»в?п р — Р. е » 1п Г (х)»гх = 1п Г (1 — х)»(х = — '1п 2н. » 1п Г (х+»7) г)х = — )п 2~+ »1 ?п г? — г). 1 ФП784 ФП783 [д>0]. НГ 89 (17), ИПП 304(40) т 4. 1п Г(я+1) с(х= —,1п 2Я вЂ”, +г1п Г(г+1) — 1пс (г+1), з з(я+ 1) 2 СО где С(г+1)=(2н)гехр( — .
— —,) П ]((1+ — ) ехр( — г+ — ) УВ 1?43 ») Здесь врннятый поряяек следования формул нарушен для лучшей обозримости интегралов, связанных с саима-функциеи 43» 676 Š— 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЮУНБЦИЙ 1. 1п Г (х) вш 2ллх Их = —,, [1п (2лп) + С]. 2. ~ 1е Г (х) в)п (2л + 1) лх сЫ =— НГ 203(5), ИП П 304(42) о ] )и'), в )+2(1+ з+... + ~~ 1 )+ ъ,~ 1 ИП 11 305 (43) 3.
~ 1а Г (х) сов 2лихНх = — . с 1 4. 1Е Г (х) сов (2п + 1) лх дх = О. НГ 203 (6) е 5. вш (2лпх) 1п Г (а+ х) е(х = = — (2лп) ' [1п а+ соя (2лпа) с) (2лпа) — ) и (2лпа) в1 (2лла)] [а>О; а=А, 2, . ]. ИПП304(36) НГ203(6), ИПП305(44) 6. соя (2лпх) 1ЕГ (а+ х) дх = = — (2лп) 1 [я)п (2лпа) с1 (2лла) + соя (2лпа) я) (2лпа)] [а>0; п=1, 2, ...]. ИП11304(37) 6.45 Ненолнае Гамыа-фуык)шл 6.451 1. е-' уф, х)е(х= — Гф)(1+а) в [р > 0]. 2. ~ е-е"Гф, х)е(х= — Гф) [ 1 — в [ ф > О]. я МХд 39 МХд 39 5.
1ь Г) )-*)И*=Т,) -)-)~)) ) )-)) — )- я=с + 2 п!п(2л) — 2 п(п — 1) [а>0; п=1, 2, ...]. ИПП 304(41) 1 1 6.442. ехр (2лпх1) 1П Г (а+ х) )1х = = (2лю) ' [1е а — ехр ( — 2лп)п) Е) (2лпа))] [а > О; и = + 1, + 2, ...]. ИП П 304 (38) 44 ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВИННЫБ БИ ФУНКЦИИ 677 1. ~ е ' у(дд, — )дЬ= — 2 " 1Г(2дд)е1"РРП г„(2а)д) н о [)Я~Ма! < 4, ВеР> — ~, Вер >О ~ .
ИП1179(36) 2 %а <„И )д СО д. ~ *- д Л,,", ) ~*- ~ агд а ~ ( —,, Ве (д > О ~ . ИП 1 179 (35) Ш 1 ~ е — и" Г ( дд, — ) сЬ = 2ад 1 )д' К (2)')да) 6Л53 [1агЙ а ~ ( 2, Ве)д > 0 ~ . ИП 1179(32) ОР 1 ! 5 е — о у(Р, ахУ)сь= 2 а"5 5 Г(у)ехр( — "~ й „(=) )у' )о) [Ве5 > О, ВОР > 0~ . ИПП309(19), МХд39и сю 1 ~ е-а (4х) у(У, 4 ) 1Ь= д' л о 1 е — ' (4х) Г ('ю — ) «Кх= .МХд39и МХд39и 6.457 ( 4 )У ) 1 ~ ~ — у(2 +4, Р'а) а 5 (~~~ч ~ 1 '~ — Г (2о+ 1.
~/ а) е — ах= Г (м+1, — 1сЬ=)Год у" х 1, ' 4х ч+ 1 о МХд 39 СО ха-де-Е*Г (Р, ах) дЬ = од'д 1 1, )д+ 'У; )д+ 1;— 11 (а+())Р+» д, ' ' ' а+В,/ (Ве(а+ ()) > О, Ве )а > О, Ве()д+ ч) > О). ИП П 309 (16) а Г()д+м) ~ ха-де — Р у(ч, ах)дЬ= оРд( 1, )д+м; Р+1; — 5-) о [Ве (а+ ))) > О, Ве 5 > О, Ве()д-1- дд) > О).
ипп 308(15) 678 в — в. оиеидилииныи ииткггллы от сиицивльных э! нкции Ю ~ х!-в'ехр(охв)вш(Ьх) Г(м, ахв)(Ь= в ! =лв2 а !Г( —.— «) ехр( — ) Вв„в~ —, ~( >'! ~ ~ ат6 а ~ < —, О < Ке ч < 1 ] . ИП И 309 (18) 6.46 — 6.47 Фуиииии ф(м) м !)! (х) !7х = )а Г (х). ! '] !р(а+ х) !1х = 1п а [а > 0]. в х-"[С+ !р(1+х)] = — лсовес(ла) ~ (а) 6.461 6.462 ИП И 305(1) [1 < Ке а < 2]. ИП И 305(6) ! ев ср (а+ х) <Ь е-в'"'"! Е) (2лпа!) ю [а > О; и = -!- 1, ~- 2, ...]. ИП И 305(2) !р(х) вшлх!Ь= О.
в ! !р (х) в!а (2лпх) !1х = — — в л [п = 1, 2,...]. 1 Ш ~ [ф(а+ юх) — !р(а — !х)]в!ихус!х = але-вю(1 — в ") ! 'в НГ 204 ип и зо5 (з) [а > О, у > 0]. ИП 196 (1) 2. ~ сов(2лпх) !р(а+х) !1х= в!и(2лпа) в! (2лпа) — сов (2лпа) с! (2лпа) в [а > 0; п = 1, 2,... ], ИП И 305 (5) ! з~! (х) впР лх Юх = — —, [С+ Ы (2л)]. НГ 204 6.467 ! 1. в!и (2лпх) юр(а+ х) !Ь = в!и (2лпа) с! (2лпа) + сов (2лпа) в! (2лпа) [а>0; п=1, 2, ...]. ИПИ 305(4) ! 680 Π— Е ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ От СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ а аа 1» (х) ах = 2 ~~ 1 +Оь+! (а) [Ве» > — Ц.
О й=о ~ У! (О) Ю = 2Я (1/ а). 5 а ~ ./ ! (~) й = 2С [ф' а). о а ~ уо(х)О(х=а')'О(а)+ а [~ь(а)НО(а) уь(а)пь(а)) ИП П 333(1) В 599 (4) В 599 (3) [а > 0]. ИП П 7(2) ИП П18(1) а ~ У (х) !(х = 1 — У (а) [а > О), о а ~ 1О(х)Нх 1 — аУО(а)+ф[~О(а)пь(а) — У,(а) НО (а)) а [а > 01. ипп7(з) ИП П 18(2) ~ .)', (х) О(х = .Г (а) [а > 0]. ь <О в!»(х) ь(хаа 2,Я~ [)У +О +! (Ь) — Л +а»+! (а)1. а а=о а аъ ! (Х)ЫХ=2~~ ( — 1)"1 ~оа+ь(а) [ВЕ»> — 1[. 10. ИП П 339 (46) ипп 364(1) 6.512 са .)'в(ах)У»(Ьх)а!хааЪ а-" ' х .У»+„(аО),У„~ ь(6О)й= „Р[», — е; » — и; —, о а» "в!Г (» — в) [ о .) [О < 8 < а); а 1 2а = ( — 1)" —,' [О < [! = а[; =0 [0< и < Щ [Ве(») >0). Ы050 !ь+»+! '! х "( 3 ,,+.+, .~~, И, г!».+!) г (" »+!) [а > О, Ь > О, Ве()ь+») > — 1, Ь < а.
Для а < Ь следует )ь и» помеиить местами). ИП и 48 (6) 6.6 — 6.7 ИИЛИИИРИЧЕСНИЕ ФУНКЦИИ У<а]' [Ве м ) О]. [[) = а]; [Р) а]; ОЭ рч — 7 3. Х,( х)~ Фх) Ь= —, ао =0 [В > — 1 —, О<Ь<а]; [Ве У > — 1-л, 0 < а < Ь]. ИП П47 (5) 5. ~ Л +о(ах) И„о(ах) Зх= ( — 1)" ~ р— Вем) — —.;а>0;п=О, 1, 2, ...]. оо $1 х оо' 6. 1Х,(Ьх)Я,( ) Ь= — — )в(1 — ~ ) о ИП 11 347 (57) [О < Ь< а].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
