И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 62
Текст из файла (страница 62)
БХ [249] (1) Ор Ь ср Ь Е. — ''"'*"*=-"Ы '+"" [Р > О, 9> О]. жр — ДР 4 РРЬ1 БХ [249] (8) БХ [248] (9) БХ [248] (10) ср 1. (1 — х ЬРссф х) ~х = —. БХ [246] (3) 1 Гх (1Т 2. ~ — — атой х~ — = — — 1Е 2+ 1Р. ,/1 — ю 8 3.
~ — — атс15х~ — р — — — — -5- 1И2+- ОР. р" К '~ 1+а (1з л 1 \,4 .р'1 — ЬГ+Ф 8 2 1 Нж а 4. ](* рр — рр ( — — рр. З ~1 — ЬР 4 4.534 (атс1дх)* = (агсс1цх) = — 4 + 4ср. ьз )/ 1+х1 )/1+,1 4 БХ [251](9), БХ [251](17) з — 4. Ош вдвлвнныв интвгралы от элвмвнтарныв и нкцив СО 1 ',"', (х=ФЫ(1+р) [Р>01, о о СО Нл агс16дх „(,+, —— —,1в(1+рд) [р>0, д>0]. о ЮР— х= , '>, > "М'И гх ""о [ (р -(-~*1 4 (1+ро) о я агсс~р ~ух й (ръ+ хО 4р~ ((+ рф «Р ' Ч ]' 1 1 (О '~ (х —.1в [~+ р' 1+ д4).
о ФП 745 БХ [250] (6) БХ [250] (3) 10 БХ [250] (6) БХ [252] (12) и 12 БХ [252] (20) и БХ [244] (11) агс1вах агса(пх —, = — дв 1в + Ъ ( 1+ г~1+у' х' р'1+ д' + — 1в(д+ )/~+у~) — — агс16д. БХ [230] (7) ФП635 о"с(К рΠ†о(К ох (х и 1 р [ > 0 > О] х 2 в годар о~(коха в Ь (р+о)' ' ' О, О].
о ФП 745 Фа 1 ( за сову сОяр 1в[с «о )сснос( В ) ~. о БХ [245] (9) 1 ) агс16«РУ1 — х'), = —,я1в(р+ р' 1+ро) [Р > О]. о БХ [245] (10) 1 агой«(6Л'$/ 1 — 7гохо) ф~о аох,с(х = —,, «Е(Л, 7о) — Й'ор(Л, й)]— — " .акк(а-3~т — гРауц. Ох!245~О2) 626 4.561 БХ [344] (2) НИ 66(12) СО Р 1. ~ агсс1кохвш рхе)х= — (1 — е а) [р > О, д> О] БХ[347](1)и о Ю а 2.
] Гед е ь-д( е!(~) —, н( — с)) [р»0, 4>о]. БХ [347] (2) и Ма реке 3. агсс1к гх, +, —— =~2 1а к 11-4 грд 1 ~ ее [4*<1, г>О,, >О]; М = -е- — 1п гро [4а > 1, г > О, р ) О]. БХ [347] (10) 4, атоса рх Фдхле к Г е 1Х = — 1с( 1+ — Яа — ) Еасоаех+еав1аа.т гее (. Е р е [р>0, е>0, г>0]. БХ [347] (9) 4.574 МЯ)е <еое -ф -" Ы ь~ [йеа > О, Ь > 0]. ИП187 (8) 4.571 4.572 4.573 з — 4. опгядялянння интяггалы от елямянтлгных эгнкцнй ~(- ~ — агссгбх — е ""~ — = С+1нр [р) О]. р 2 Х Ыс НИ 66 (12) о 4.56 Арктангене' и гиперболическая функции ОЪ " (*= —, (, „ь= — ' аесск е " 1 (' П (х) 1е ка Г (д) саео рх 2,~ Сам ре 4р Г Г 1 '~ О> — СО 2~ [д > О].
Лн [282] (10) 4.57 Обратные н прямые трнгонометричеекне функции агсв)п(йашх) = — — 1пй'. с1пхсх а У' 1 — йа а1аех ~ — агсс1к х — сов рх) с(х = С+ 1н р [р ) О]. :г $5 ОБРАГНЫИ ТРИРОНОИН'ГРИИИСННН ЮРНКГГИИ агс18 — сов(Ьх)гЬ= — [е вБ1(аЬ) — еввЕ1( — аЬ)) 2в о [а>0, Ь>0]. ИП129 (7) [Ь > О]. ИП1 87 (9) ИП( 29 (8), БХ [345] (4)» рв1о я и / ря+» ря-» 2. ~ агой вгплхсовх»й= — ~ — + — ) 1 — рсовв — 4 ~,я+1 о [р* < Ц.
ВХ [345](б) рв»ох п Г ря" в»" »'~ » ]-и сов пха1п х»ЬР = — ~— 1 — рсовв = а ~я+1 [р*( Ц. БХ[345](В), ев и 1+р вопя 2 — *= — — 1п(1 — рв) ~ев ( Ц. гав 2 - я —,»Р»», »» — вя, »»»яв»»» — »»-~~ ~»»», я в 2. агой(19 7» Ьг1 — Ьввгпвх) -я я БХ [344]٠— — [Е (А й) — й Р (Х й) + сВК )» ('~ 1 ве а1пв», 1)] БХ [344К5) 3. ~ агс191,, ]»пп(Ьх)»1х=-е '+ в)»(аЪ) о 4. ~ агой( — ) сов(Ьх)йс= — е ва1п Ь [Ь > О].
о 4.575 1. ~ агс19 Р н1ппхггх= —,р" [рв( Ц. о р вше агой 1 — р сов в я рвгпя агсв9 1. агсйд (Вд А )/1 — Ьвв1пвх) в»о~™ ь $/» — яв в»век БХ [348](1), БХ [346] (3), 4.581 1 1 агсв1п х1пхНх= 2- 1и 2 — — и. 2 БХ (339) (1) агссовх1пхох=1п 2-2, а БХ 1339) (2) БХ (339](6) 1 агс16 х 1п х пх = —, 1» 2 — — -р-,— к . » 1 2 4 '4гв в БХ 1331) ~ (3) БХ 1339] (4) БХ (339)(7) 1, ~ ~ 1(х, у) 12хду= ~ ~ ~(1р(и, о), 1Р(и, о))~вв11(и'гро, Ю1 Ьч где х=1р(и, о), у=9(и, о), а А = — — — — —:"-. ' представляет ВР ВР ая ВР В(е, Р> ди ди ии ди Ьв (и, ~) собой функциональный определитель (определитель нкобн) функцпи 1р к 1р. 4.592 4.593 в — 4, Определенные интргРдлы Рт нлементАРных Функций Обратная и прямая тригонометрические и степенная функции дх х йх агой х сов рх — = агой — сов х — = и р в = — —,Е1( — р) (йе(р))01, ФН)654. НИ 25(13) 4.59 Обратные тригонометрические и логарнфмнчеека» функции чз (24 — 1)п 1и 121с+ 21 агссовх — = — ~~ ь-а к агссвд х1п х 1(х = — — к — — — —,1п 2.
48 4 2 а 1 агсвйх (1п х)" '(1п х+вп)вЬ,„,'„, (2 "— 1) 4(Л1+11). 4.6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4.60 Замена переменных и кратных интегралах ~ ~ ~ ~(х, у, в) ахйу11х= (У1 = ~ ~ ~ 11(1р(и, Р, нв), 1р(и, о, 1Р$; у(и, о, 1с)) !А(рисЬ1(пв, ае кРАтные интвгРАлы где *=,~р(и, о, в), у=1р(и, о, в), я=у(и, о„в), а ар ди до дв дт дф дф ди до дв дХ ~Х 'аХ ди до дв р(ь Ф,Э р(и, о, в) 4,61 Перемена порядка иитегрировапии и вамеиа перемеииых 4.611 а а 1. ~ Ых ~ р'(х, у) гну = ~ Иу ~ ('(х, у) с(х.
е о 0 Р й„ а 6 д а 2 ~ ~(х ~ У(х. уеду= ~ Ф ~ Лх. у)с(х. 6 4 О а йи 4.612 1. Ых ~(х, у)ау= в У~у = ~ г(у ~ 1(х, у)пх. е представляет собой функциональный определитель фупкций ~р, ф, и. При атом предполагается как в (4.601 2.), так и в (4.6011.), что а) функции <р, ф. у, а также их первые частные производные непрерывны в области кптегркроэапяя; б) функциональный определитель не меняет в этой области знака; в) между старыми переменными х, у, г и новыми и, о, в суп(ествувт взаимно одноэпачное соотжтствве в области интегрирования; Г) ОбЛАСтЬ г' (ИЛИ, СООтВСтотВЕННО, П) Прв ПорЕХОдс От ПЕРЕМЕННЫХ Х, у, х к пореяеппым и, о„в переходит в область г" (или, соответствепно, (т'). 4602 Преобраэовапие к полярным координатам: Р(, Р( х = г соэ <р, у = г э(п <р — ' = г. ( р~ 4603 Преобразование к сферическим координатам: х=.(6 р, у=.(6в( р, .= .В Р',''= .1 В. р(г.
В, %) 630 у 1 опугдгчнннын ннтнгуллы от энкм! нтлуных еуннцни — М 2р~ — ы Ю оу )! и)~= о ,! ~!+~~'1+) -~! ~ и и*. у~ ~/1 ()~ 4.613 в а в+* $. ~Ь ~1ж, У) )2У= В+а а Ф~П.; И4+ о 1 у — [1-у) -1)! 1)! и~ о а о-уу ))~ и)4ю и в в ь - ~ м ~ ! ! .
и ш!- ~ ни ~ и*. и а о ао ~а= —, а>О, ф О, у)01. оа уа-й ! 3. ~ <й ~ ~(х, у)Ну= о Я а 2У~ Эа оа-у -~Е ~ )!., Иа+~юю ~ )! г)а о и 1 6 НРАТЕ1112 Е1НТЯГРЛЛЫ 4 ~ Ыж ~ ДХ, У)НУ= ~ ИУ ~ ~(Х, У)УК2+ О 1У ВУ,,Л ~~=„-у + ~ Ф ~ ~( у) ~*+ ~ Ь ~ 1(, ю) ~*.
В 0 2Я у — 2В я 2 у 2 2В сов Р 2В 2Н 4.614 йР ~(Г, УР) й'= С(Г ~(Г, УР)йР. 2ГВ2 у 2 Я 4.615 УЬ ~(Х, У) ИУ = йР ~(ГМВЦ, ГВШУР) Га~. 2В 4.6!6 ~ ' ~ у(д у)уу 0 2 2В ууу 2у -~уу 1 и .у;м у) у. 0 632 в — 1 ОНРмделенные интегРАлы Од элементАРных одункций В в'в ы) В хз (х) од (х) 46)т ( ш ] )(х д)ьд ')ь ) )(, у)ьд — ( ь ] )(*, д)ьу— а од (х) Ь 6 О а Ое (х) а о,(х) — 1 Ы 1 $(х, у)Ку+ $]д 1 1(х, у)()у О О О О 1)рд (х) с (ув (х) при а < х < ])].
о (х) 1 ье~е (ш ] )(*,д)ьд=(а])(*,*е(*))е(*)ь* (д-*е()1 О О о о о (ть) =д) ~ вдв ~ ~())в, у)(ьу (х=ув]. о о "д х1 1 4.62 Двойные и тройные интегралы е постонннывди нределаии 4.620 Ф о р и у л ы о б щ е г о х а р а к в е р а ) ])(ь о — Дв)бп Р ]/ Р' — Д') У Р' — О' (рд > дв, 11п) 1(х)=0] е)о Ш 389 2 о(» 1'[рсЬх+(деево)4-гв(по))вЬх]вЬ т11тхх Б р 1(вдйн р )/рв дв )х) (рь > ()ь + гв 1)дп г(х) 0] у рь дь гь + До 111 390 ахев д Р— Осовх !( о о ЫИХМадуь ( ВП1ХВ)а 3 вд Р е3 — "а', )(ед.ьур' — д' — ) (Р*)д*)- ', д )(*)-0). До Н1 280 4 ~ ((х ~ Г'(рсЬхсЬу+двЬхсЬу+гвЬу)сЬу(1уех е О Ва вдув и у(вдйнр]) р* — д* — г') (рь > ()ь-гг', 1)ш у(х) =О], Ло 111 390 4619 ~ о)х ~ 1(х у)((ухх ~ в(х ~ (у -уе)1(х. уе+(уд-уе)Ц(й хе ое хе О ]у=уо.+(уд — уо) ~1 ОЗЗ 1.В КРЛТНЫК ИНТКГРАЛЫ [ 11ш 7'(х)= 1Ц.
Ло111391 Ло П1 390 4.621 Ло 1 252 (90) Ло 1 252 (91) Ло 1253 4.622 МО 137 5. 6. со л 11х ~(рсЬх+осов1овЬх) вЬвхв1а1ойо= =.2 ] 1(я1дп р~/р' — двсЬх)вЬвхдт Х Ф+ОР ~ю 2х л 42 ~ вйэ ~ ~[рсЬх+(усовы+гв)пов) в1НОвЬх[вЬвхв1п6116= о о о ОЪ =4 ~ ~(я19пр]/"рв — 92 — гвсЬх) вЬвхс(х о [рв) дв+гв, 11ш ~(х)=0]. ~ сКх '1 вЬо ~ 7[рсЬх+[(усова+гоше)вшО+зсЬО]вЬх) х о 5 о Х вЬвхявпО116=4п ~ Дв1дар]/рв — дв — г' — звсЬх)яЬвхдх о [рв дв+ гв+зв, (нп / (х) = О].
Ло 1П З91 2 2 вшу%' 1 — йввшвхвшву ( 1 л 1 — Звв1пву 21Г1 — Вв 2 2 ~ сов уф' 1 — йввшвхв1п~у (72) Ь5 1 — йв в1пв у л л 2 2 вшав1пуахло ла уг1 — ьш' а вшв х в1пв у о в '"'*„,„,-4 к Щ. в 3 — сов З сов в — сов х сов = — сов х сов у 12/ ллл ахну Ив  — сов х — сов у — сов в о в = 4п [18+ 12]/2 — 10 $/ 3 — 7 $~ 6] Ив [(2- ]/3) (]Гд — ф'2)]. МО 137 ОЪ ОО СО в ~ <р (авхв -)- Ьвув) 11х в(у = — ~ 1р (х) х вй. о о 636 3 — 4 ОпРеделенные интегРАлы от элементАРных Фрнкпии 2(х1'е(х ... 1(хи= (Х 1 ( Х 2 („! п)Р 2.
хио,хио,....х НО х 1+х 1+ ...+х пн! а а а г ]' — '" ) г ~ — '" ) ... г (Р ) а ... ( + — +...+ — — )2! Г( — + — -(-...+ — ) Р1 Р Рп Ъ l Р1 Р2 р» 1, а, ае ' ап ) (, а1 ае ап) ~р < ~~' + р' + ... + Рп ~ . Ф1П480 ц ] --"- ."-у'-"-"--- х 1+х 2+ ... +хи»Х! а а а г( " ) г ( Ре ) ... г( — '" ) Х 1(х112хп ° ° - 2»хп а!ах... а Г (1») =.)- с=;) Ф)П 480 где и= — + — +...+- —. Р1 Р2 Рп а, а, ' а 4.637 ~ ~ ... ~ ~(х1+х +... +хп) Х *,Ио, х м~..., хппо '11+хе+ -'+х И1 Р1-1 рх — 1 рп-1 х х11 х22 ... хп е(х1 1(хе...
Их Р '' Рп ( у( ) Г(Р,)Г(р,) ...Г( ) ( ХР1+Р2+ " '+хи Р „2(Х2 Г'"+'*+ '"+Р"' 6 (О х+ )" (О"+ )Р ". (Ч. + )Рп где Дх) — непрерывная на отрез!(е (О, 4) функция ]д1 > О, 42 > О, ..., 2)„> О; г > 0]. х 1 х 2 х и е 1 1 2 2 " п п Р 1 Р— 1 Р— ! — (ох+ох+.. +2 Х ) (ее+е1х1+еххх+... +е и 1~2 ''' ~п 0 Г(р1) Г(р,) ... Г(рп) ~ О (О1+р1~) 1(О~+ге~) 2 °" (О~+Епх) и при ро, 41, 1;, г положительных; атот результат имеет место и при го — 0 при условии, что р +ро+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
