И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 58
Текст из файла (страница 58)
ИП11218(27) 575! ! 2 — ! с лОРАРКФмияиская ФунквиЯ 15. ~ 1в(ао — хо)о „, = — 1в(ах+ Ьо) [Ь > О]. о СО ! 17. ~ )л(1+х*),"„* = ~ 12 ' ()в2) 1 БХ [136](16) БХ [139] (20) БХ [114] (25) БХ[141](9) БХ [114].(27) и БХ [139] (16) и БХ[114] (28) и сс са )в 11+рсха) 1я (р'+~а) х о+ р — — — и — [!7Р), Р) о Ф11 745 и, БХ [318](1) и, БХ[318](4) и.
1(1+'') и Ге) Г1 23. ~ „Г в( о — —;1 С1+ — ",)3 [а>0. Ь>О, с)0. Ы>0, Ь>о ЬаорсЧ]. БХ [141] (10) !и (1+асах! ха ах с! ) Ь ~ аь ' Ьа+СС Со+Хааа Ьааа — си* [ '!, + С,/ — ~ )в ! 1+ — 1) 1 [а > О, Ь > о, с > О, Ы> О, д > О, Ьоуо Ф со!Р]. ю ' с / БХ [141] (11) ) ( + ) (с!+Саха)с хссС ~ х ах+Ьс ) о [а»О, Ь>0, с>0, у>0]. ГХ[325](18а) сх !)х ха 18 1в(1 +хо) (1+ о! 12 ! 19. ~ 1в(сооос+х Я)в~1) — = — 1. 1 — ха о о )-2 ~~1в-) [а>0, $>0, с>0, у>0].
! о )в + — йс 1в ~~~ ) [а>), Ь>0, с>0, д>0]. Ь! (с+с) ас с 576 Π— 1 ОПРЕЦЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ О) 1 ( ) ( +С ')' 2аоа 1, К аа+Ьс) о [а > О. Ь > О, с ) О, у > О]. ГХ [325] (188) 1 !! ( ь д ~ ~В'~ —. а- — ']! о 1+ У 1+а [а > 0].
БХ [117] (6) 1 28. ~ 1в (1+а — ат*) У'1 — хо 11х= — [!п + г ] 2 21+У вЂ” 1..а) о [а > О], ВХ[И7](7) Ли [120] (И) БХ [120] (8), ВХ [120] (14) , 1(х 1п Ус' К (й). У (1 — х') (1 — Ь'*'1 о 1 — „Г'- '*' 1в(1 — !сох ) 1 !(х=(2 — /со)Щй) — (2 )пь')у(Ь) 1 — аа о ВХ [И9] (27) 33 34 ВХ [И9) (3) 1 35 ~ ~1:.ъ*"(1-Ь~')(*=А(1+Ь -К ) К)ид Ь ВХ [1 19] (7) (2 — 1 Е') 47(Ь) 1 36. 1в (1 — хо) = )в (а+ох) У 1 — аа У а~ — Ьа а+У а! — Ь! [а>0, Ь)О,аида Ь]. ВХ [145] (15) 37. ~ 1в(1-х') (рх~ ' — дх' !) с(х = 1Ь [ 2 + 1) — з]! ( о + 1) о [р > — 2, д > — 2].
БХ [106] (15) ! 38. ~ 1в(1+ах!) * = и)п [а > — Ц. ГХ [325] (21Ь) о 1 29. ~ 1в(1 — аоха) = л)в, [а' < 1]. БХ [119] (1) о у1 а ! 30. ~ 1в(1 — аох ) = — — (агссоьа)о [ао < Ц. аа ч! о 1 31. ~ 1в(1 — хо) * = 1п — 8Г(й)- — 71(й'). БХ [120](12) , У(1- )(1 — ~~ *) 2 1 32 ~ 1в(1, Ь.о) г* 1„2.( 2Ь л У (1 — а1) (1 — Ьааа) 2 У Ь у о 578 я — 4 ОЦРВдплпнныВ интВРРАлы Ог элпмпнгАРных Функций БХ [137] (1) БХ [137] (3) БХ [137) (2) БХ [137] (4) БХ [115] (7) БХ [137] (8) БХ [137] (9) БХ [115] (9) БХ [144] (8) 10 11 12 1 )и + яяагсвша [[а[~1] ГХ[325](21с), ЬХ[122](2) ~ 1п( + ) . — Р(агсзшап,— ) [[оп[~ 1]. си 1+хапал 1 1П2 1 1 ! и — — 11х = — + — г — — Р (2п+ 1), х 1+и 2и 4и 2и о ОР )и — — Я(х= —,+ — — —,[) (2а+1).
1+их х*и !и 2 1 1 1+и 2и 4и* 2и о 1+хапал 1 !и 2 1 1 1и — — 11х = — + — —,— [) (2п+ 1). х 1 — х 2и аиа 2и 1 1+ха хаи 1п2 1 1 1п — — а(х = — —, — — + — р (2и+ 1). 1+ха хаи"а !и 2 1 1 1п †„ +„, а(х = †, + †„, — †„ [) (2п + 1). БХ [137] (10) ! л-1 !п — х 11х= — ~( — 1)" — +1и2 — —,+ 2~ 1+ха аи 1 1 и а 1 ( — 1)а х ил+1 1, 2 2и-)-1 йи — 2й — 1 о й-о БХ [294] (8) 1 п-1 1+ха ап-1 1 ] и+1 )п 1+ хап-1 а)х 1 ]( 1)и+1)и 2 ) )п2 1 1 ( 1)и+1 ~~~ ( — 1) ~ о а 1 БХ [294] (9) и х 1+ха 2 О 1п — = ж1п 2.
1+ «и ах х 1+ха 1п — — = О. 1+ ха ~~и х 1 — х' о 1 1 — ха йх х )п — — = — 1п 2. х 1+ха 4 о 1и — — = — 1п 2. 1+ ха их Зх х-1-1 1+ха 8 13. 1п — — = — 1п 2 — С; х+1 1+»с 8 »Ь 14. 1п — 11+»,= 8 1 2+а. 1 1)- хс от 2п 1 1 — х 1+хо 8 16 ~ 1п с 1 в 12 ° Ю хс со+ свхс »2 о БХ [115] (18) БХ [144] (9) БХ [115] (19) БХ [138](3) с» 18, 1п— св+ оввс ах 1 св = — агс(6— с» — с»в сс сс [а>0, Ъ>0, с>0,9>О]. БХ [138] (8, 11) и Ф 11643 и ГХ [325] (216) 4.239 2 БХ [134] (14) БХ [115] (25) [а > О]. 32» 19 20 21 22 23 1.2 — 1 1 ЛОГАРИФМИИВСКАЯ ФУНКИИЯ [а)0, Ъ)О,с>О,д>Щ.
БХ[138](6,7,9,10)и С» 1+с* хс ох и 1п— хв (1+»в)в 4 = — (1п 4 — 1). 1 Р1 хв ~2 1п( — ~) )/1 — 221й=п. 1 (с 1+2х со»1+хо ох 1 ( 1+2хсовс+хв 8х гв (1+х)' х 2 ) (1+х)' х 2 о [) 1( < и]. БХ [115] (23), БХ [134] (15) Ш ~ )п 1+2х совс+хо, 2п(1 — сов рп) (1+х)' р вш рп о ЦР(< 1, !1~ < и]. БХ[134](17) 1 1+в» ВЮ С ах ГП вЂ” 1 ~ 1й 1 =И1пс18( 4 / 1— Р1< И]. 1п ( 4 )( + ) — "* =(1па)в [а>О]. (х-~-с)с х 1 " (-'"*):"' +- —,'; о в — а, оножджлжнныж интжголлы от алжмжналоных эвикции БХ [115] (26) ВХ [134] (16) 4.311 БХ [136] (9) 1+аз аа д а» 1в — — == 1п 3+ —. 1+» ф'3 ВХ [138] (12) $+»а» аа й да 1в — = — 1в 3 — —.
$+ у'3 9 ' 1вх1в(1+а'х») —,=на (1 — 1ва) 4.313 1. БХ [138] (13) [а > О]. ВХ [134] (18) 1 [в(1+соха) )в(аа+Ьха)Ф= о 2я[ (с+ ) 1в(Ь+ас) 1вЬ вЂ” с!пс| [а>0, Ъ>0, с>0]. БХ[134](20 и 21)и 1в(1+со 2) 1П(со+Я%=2ЯГ '+ 1в(а+Ь ) — — )п — 3 [а > О, а+ Ьс > О]. БХ [134](22 и 23) и 2 3 4 5 4.312 0 ~а [а > 0]. 1 (а+О(»+а») а 1 1 а(а" — Ц» (а+~)' и во ~ис [а > О, йе и > 0].
)в (а* — х*) — = —, ~ 3. аэ 1в (1+х*) „= — 1в 3. 1в (1+ ха) — = — 1в 3 — —, 1+»а 1/ З 9 о »ай и и» 1в(1+х') — -~-= =1п3+ —. ~+ фЗ ОО )в (1+ хо) — с(х = — — по. БХ [134] (7) Ли [136] (8) Ли [136] (6) Ли [136] (7) Ш (+ а~~" аа ьо 4. 1пх1а( ьаа,—,=и(а — Ь)+л)ив БХ [134] (24) БХ [134] (25) БХ [141] (7) [а>!И]. [а > 0]. Оа 1п(1+х) (а+ а!' 2 (а — 1) Ли [141] (8) [а> О], 4.314 ! ОР 1. ~ 1п(1+ах) ™ 1((х= ~ — „1а Р+„+(а Р о В [а > О, р > 0,-7 > 0]. 430 0 В„(В+а)В а+( ((+а)о ) ж(п((+а) БХ [123] (18) [д > 0]. БХ [143] (7) БХ [126] (12) БХ [116](1) БХ [116](4) 3.
~ 1а(1 — х)(1ах)" ' — а=(-,1)" (и — 1)1~(п+1). БХ [116] (2) 4.315 1 2 В 2 — В В ИОГАРИФМИЧИСНАЯ ФУНКЦИЯ [а > О, Ь > 0]. СО аа+2Ьа+ао аа ь 1п х 1а аз — Иоа + аа — = 2И1п а посв(ив а )о а (па — а — а аа и~+(1о а]~ ( ) 1и (1 — х) (а+а)' а $-)-а о 1п(1+х) с(х=1п —. о В )и(( — а*)аа л ~ у+л ~ л = — — 1ИГ ~ ~+ — 1а2д+1а — — 1 у а(уа+)ааа) у ~, л ) 2О п [д > ]. Ли[327](12)п 4 1п(1+х)(1а х)" ' — =( — 1)" '(и — 1)1 (1 — — ) (,(и+1). о БХ [116] (3) 2оа В 1 1а(1+х)(1а ) "— = .
О,. +„. и ' [Б 21. о 4.316 !. [ъ(!- г)(! ')' "= ', г!р+!!т. [р> — 1, а<1, г>0]. БХ [116](7) 2. )п(1 — 2ах сок Ф+ааха)( 1п — ) — = 1 тт! ах х~ х = — 2Г (р+1) У Ли[116](8) $.317 1. )и . = л агса)п а )/1-)-ха+а ах )Г1+И вЂ” а $/'1+ ха [) а ~ < 1]. 1 2 1п —, (агсвша)а. БХ [142] (11) БХ [115] (32) и-1 соз —, 2 3. 1п †, , = л с18 1 1-(-оовЮ )г 1 — *' !(х 1 — соаС )Г1 — ахх + К БХ [115] (30) о+С в(в —, г ! г х+ )!Г( — х~'~ 2 х !(х л* 1г( *~ 1 — 2 1 )п ф 1+ Йх+ ~ 1 — Йх] ) г(1 — хв) (1 — Й2хм) = — )п (4Й) К (Й) + — К (Й ). БХ [115](31) БХ [121](8) 6.
[1 !'!'!.~-!*в )! (1 — х~) (1 — а'х!) = —,, )п (4Й) ~(Й) + т ~1 (Й'). 1 з БХ [121] (0) 1 [ь (!+г!-Й~ 2 ( ) 4 БХ [121](В) 1 8. ~ )п[1-У1- Й ] ф! (1 — яа) (1 — Й'х~) 1 = — )и Й.К (Й) — — ' л.К (Й'). ВХ [121](7) з — и онэкдклкннык инткгоалы от алкмкнтаоных !отнкции 1 3 — О О ЛОГЛРИФМНе1ССКАЯ ФУНКПЯЯ [р' < 1]. БХ [115] (29) 1 +р!г: 1+ р !Г1 — ха Н~ 1п — = я агснш р ! — р у'! — *е 1 — х о 1 !+а !/ ! — еахе ах 1п +т!г,, — нР(агса)нд, Й') о 1 — о 1г[- оп ' р'~! — *'И-"*~) 10 [4а < 1]. БХ [122](15) 4.318 1 — [ 1~ Г ( 1 + 1) — —.~+ ~е (1п ~е — 1) ] [д > 0]. БХ [126] (11) СО Г (р — г! хо — (а — г) хо аа — хп 1 ах 1н(1+х ) [ ! + 11 !а ] ах+1 г1! (с8 ф сс8 р ) [р < г, а < г]. БХ [143](9) (см. 4.293 3.).
4. 319 1п (1 — е " ") — = — и ~ — 1н 2ап+ а (1и а — 1) — 1п Г (а 4- 1) ] !+ [а > 0]. БХ [354](6) ае 1н (1 + е-з " ) +, — - н ~ 1н Г (2а) — 1п Г (а) + о +а(1 — !па)- (2а — —.) 1н2] 1х 2) [а > 0]. БХ [354](7) а+Ье хх ах „р 1п — = 1п — !ив а+Ье ах х а+о а Ф11635, БХ[354](1) 4.321 х 1псйхах=О„ 1н сй х — =(О. 1 — ае а БХ [358] (2) и БХ [138] (20) и Б интегралах, е которые входит 1п(а.+ Ьх'), полезно сделать подстановку х' = ~ и затем полученный ннте1рал искать в таблицах.
Например, о г" '1п(1+ ) а = — 1 1 (н(1+1)1О = о рып— г 585 ! 2 — О О ЛОГАРИФМИНРСКАЯ ФУНКЦИЯ ГХ (338) (26) ( 1+в!а х )! Ж о ГХ (338](25) ( — 1 <а о.11; = 1а (1+Ц1а — ' (ИС вЂ” 1 а~ц Гг (33Щ (27) ! ОЪ (! ') Нх 1п1а — — = С1п 2+ '!>" ( 1)» !о о (х) !+х о й 2 = — С 1а 2+ 0 159 888 905... ~ 1п 1п ( — ) — = 'Я 1 !) о- 22 (С+ )п ц о й 1 ! РР ~ 1а 1п ( — ) < +, — — ~ 1а 1а х о ! 2 ~ У(2)+ и 2и) (1п — — С) ! ОЗ 1а1а( — — = о! 1п 1аж Со Р ь ~х./ !+х! О !+х! о у'жг Я) = — 1а ! ОО ~ 1а 1а( — ) +„, — — ~ 1п 1а х + +, —— о ! ГХ (325) (25а) ГХ (325)(20) БХ (147) (7) БХ (148) (1) (3) (,з) БХ (148) (2) 3 ~ 1п ( ) х 4.324 ОЭ 1а, ~ +,— =1п(1+а)1п О, $+ 2а соь Ох+ а! х,! о сх 3.
~ )а(оо Ьо; -~Ь о = — (1 (и ьп ср -!- ь оа ср) — ср) (а>О, Ь>О, с>п, п>91. 1 Х 13ЛЦ (29) 4.2 — КВ ЛОРАРИФМИЧКСКАЯ «РУНКЦИЯ 587 БХ [145] (5) БХ' [147] (10) БХ [147] (16) ГХ [325] (28) Если подынтегралькая функпия содержит логарифм, аргумепт которого также содержит логарифм, например если иод знаком интеграла имеется 1п 1п †, то полезно сделать подстаповку )пх =:1 и затем искать в табли- 1 цал преобразованный интеграл, БХ [256] (2) БХ [260] (5) ГХ [324](81а) БХ [257] (6) "(3) (]) 1 !ахах ==1п 4.331 .
1. . 2. . 4.332 1 ~х»в » 1 1(-) 1п ~21я — — 1) — '»Ь= — —,[Е»( — )2)]в в )!Ив 3 о [йе р > 0]. 2 1п[ 2+(1 .)в! «'' =И1п, 4" +" 1 к [ а> — — ]. о [а > — »»]. 1п [а»+ (1И х)2] хв-»»1х = — [ — соз а)» с1 (ар)— 2 — з1па»ьз1(а)А)+1па] [а >О„йе)ь > О] 4.33 — 4.34 Логарифмическая и показательиая фуикции ««« е ~"'1ИЫх= — — (»«+)п)2) [йе(2 > О]. и е-в" 1»»х»Ь= — — Е»(-р) ', [йер > 0].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
