И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ИП 192(33) а — 4. ОНРедилинные интВГРАлы От елеиинтАРных ФРнипии СО ~ф за ~~-'+~~~ у, 2ап с у ' у [Кв у ) ~Кв[) ~]. ИП1 34 (39) 4ЛЗЗ хх хй ]ю .ьр *р( —.— )а4у ) = ]/ я у ехр у ([) а — аа) з1п (2ару) [Ке у ) О]. аа а. [ ьа.*р( — ~1а4у/ =1 Вуехруфа — а')соз(2ару) [Кеу > О]. ИП1 92 (37) ИП1 35 (41) 4Л34 1. е-зха (сЬ х+ соз х) аух = 1/ — сЬ вЂ” [Ке [) > О]. г 8 43 МХ 24 ° х 2. е-За(сЬх — созх)с(х=1/ — зЬ [Ке[)) О]. 4Р юх 1. В1п аха сЬ 2ух. е-З*'~Кт = — 1/ " ехр ( — РУ ~ Х 2 х аа+ 3а ~, ах+За / Г ау-' 1 а ' Хз1в( а 3а+ — згс18 3 ) [Кер > О].
1 1Г 2 аа+ [аа ~, аа+ [1а) Г ау 1 х соз ~ — + —, агой — ) [Ке ~) > О], ~.а'+За 2 ф ) Ли [268] (7) ЛВ [268] (8) 4Л36 1. ЮО (ВЬх — з(пх )е-~аах= — "71 [ — ) зЬ 1 [Ке[) > О] МХ24 )/ 2л 4 р' [8 — Щ3 8[1 хэ (сЬх +созх )е — ах а(ххх — У а ( — ))сЬ [Ке[) > О]. МХ24 а а — ха 1/2Я /'1 Х 1 е 4 р'3 — — (-83) 83 (сЬх — соз )е-з ах =1 ~ — ) зЬ вЂ” [Кар > О] МХ24 а а а Р22В /1~ 1 4 р~р — — ~,8)1) 83 Ю (зЬха+зупх ) е-з".'а(х = 11 ~ — ) сЬ вЂ” [Ке 3 > О]. МХ 24 а — ха Ъ 2я Г1''~ 4 У3 —, ~83) 8[1 537 ол — ко лотАРиФмическАИ Функция 4,2 — 4.4 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 4.21 а)о! арифмнческая функция 4.211 а'х (ив е БХ [33] (9) — = 1(и.
дх !их Ф И1 653, Ф П 606 4.212 ах — =е 'Е!(а). а+(пх о БХ [ЗЦ (4) = — е Е1( — а). а а — (их о БХ [ЗЦ (5) ,= — — +е Е1(а) [а ) 0]. о БХ [ЗЦ (1 4) ,,= — +еаЕ1( — а) [а > 0]. (а — !их)'! а о БХ [ЗЦ (16) = 1 + (1 — а) е " Е! (а) [а > О]. ~ (а+!в х)е о БХ [3 Ц (15) , = 1+ (1+ й) еа Е! ( — а) [а ) 0]. о БХ [ЗЦ (17) е !пхдх е 1 (1-(- !в х)е 2 БХ [ЗЗ] (10) 1 ах а аЕ! (а) —, ~' (а — Й вЂ” 1)! а А=! [а ) (!], БХ [ЗЦ (22) а-! е' Е! ( — а)+ Я (и — Й вЂ” 1)! ( — а)о и (и — 1)! О=1 [а > О], БХ [ЗЦ (23) (а+!п х) (и — 19 о 1 дх ( — 1)" (а — (и х!е' (и — 1)! о (!и х!'" В интегралах вида ~ и ! „,, !(х полезно сделать подстановку 538 3 — 4.
ОЛРеделвниыв интеРРАлы От элементАРных ФУнкций 4. 213 ех а~+ !) в х)! о ! ех а~ — ()д х)! о БХ [ЗЦ (6) (сравни 4.212 1. и 2.). БХ [ЗЦ (8) БХ [ЗЦ (7) )пхдх а!+()и х)~ о БХ [ЗЦ [9) 0] БХ [ЗЦ (19) О!. Ди (ЗЦ (21) 4.214 БХ [ЗЦ (10) БХ (ЗЦ (11) БХ [ЗЦ (12) = — (с1(а) в1л а — в! (а) сов а] [а > 0], ! = — (е "Е!(а) — е'Е1( — а)] (а> О], =с!(а)сов(а)+я(а)вша (а> 0].
„„, = — — (е 'Е!(а)+е'Е1( — а)] (а 0], р (сравни 4.212 1. и 2.). ! = — (с! (а) в!и а — в( (а) сов а]— ех ! [а +[)и х)о[! Йаа — —,[с[(а) сова+в1(а) вша] [а > 0]. ! 1 ["-[~.*) ) — 4ао ах ! ,,= —,((а — 1)е'Е!( — а)+(2+а) е 'Е)(а)] о 0 !и хдх ! ! = — [с1 (а) вша — в1 (а) сов а] — —, (а > ! ,, = —, (2+ а [е' Е! ( — а) — е аЕ1 (аИ) [а > ! ах ! — 4 (е Е!( — а)-е Е!(а)— о — 2 с1(а) в!Па+ 2 в! (а) сова] (а > О]. ! )ахЕх ! = — —,[е Е1( — а)+е Е!(а)— о — 2 с! (а) сов а — 2 в! (а) вш а] (а > О], ! 0 л ()В х)2!)х, ! а а — [)ах)! 4 [ ( ) ( )+ + 2 с! (а) в!и а — 2 в! (а) сов а] [а > О].
Ди (ЗЦ [18) (а > О], БХ (ЗЦ (20) 539 БХ [ЗЦ (13) ФП 778 [Вер,>0[. вх[зц (ц [вор< Ц. БХ [32[ (1) БХ [321 (3) ГХ [32Ц (2) 4.221 иь 1вх1в(1 — х)гьх=2- —. 6 о Бх [30[ (7) БХ [30[ (8) 1 — хх Вх ть о 1а (1+в) 1в — — = — ~~ а 1 — а 1ах х К=ь [а ( Ц. вх [зц (з) ГХ [322) (20) вх[зз[(ц вх [зз[(2) ь [ь ь (ь.ь')ю*- ьЬг ь — Ы ьь>Ы. 4.2! Ь 2 3 4 4.216 К — О.О ЛОГАРИФМИИИСКАЯ ФогНККИЯ О Оп х1ь г1х 1 ц , = — —, [е' Б' (- а) + ' Б' ( ) + + 2с1(а) сова+ 2в1(а) в1ва1 [а > О[.
1 [,(ь — ')" ш- г ьгь 1 „= — совес рн дх л = — „„ес рн 1[' -' =Ф о 1 1 о 4.22 Логарифмическая функция от более сложных аргументов 1в х 1в (1+ х) г(х = 2 — — — 2 1в 2. о СО 1п о+*, ь(х=(а — Ь)н [а О, Ь>0[. 1 х( „,'+*,* (*=я(Ь вЂ” )+н(в — „, [а>О, Ь>О[. о 540 5. 7 ~ 1п (1+ е ) с(х = —. БХ [256] (10) 1п(1 — е ")ат= — —. в о БХ [256] (11) [~ е ~ < н1 БХ [256] (18) ЛОШ 186 (15) БХ [285] (1) Ф11629 и 643 ЛОШ 184 (10) БХ [286] (1) ВХЗ(6(1) 1.
3. 1 3 — 4 ОНРВДВНВННЫЙ МНТВГРАЛЫ ОТ ЭЛВИВНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 1п(1+а'х~) 1п(1+ —,) Ых= 2П [ ~~ 1п(1+аЬ) — Ь] [а>0, Ь>0]. ВХ [33] (3) СО 1п(ее+хе) 1п(1+ —,) Ыт= 2я[(а+ Ь) )л(а+ б) — а)па — Ь] [а>0, Ь>0]. БХ [33] (4) ОЪ ~ 1п (1+ —,) )л(1+ —,,) ах= 2я[(а+ Ь) 1п(а+ Ь)-а1па — Ып Ь] о [а > О, Ь > О]. БХ [ЗЗ] (5) ~ 1и (ае+ — ) 1п (1 + —,) с(х = 2К [ 1п (1+ аЬ) — Ь 1п Ь ] е [а>О, Ь>0]. ВХ [33] (7) (п(1+2е сове+е '") ах= ~ Н б 2 1п в1п х (х = Х ( —" — и) — Ь ( 2 ) . и 1п в1п хе(х = — — 1п 2- — О.
п 4 4 2 л г й 1пв1пх<Ь= — 1 1пв(пхдх= — — )п2. 2 2 1п сов х Ых = — Х (а)- о )псовхйх= — — ",, 1п2+ 2 о' )лсовх~й ' — ~ 1п2. 2 541 4.2 — 4.4 ЛОГАРИФИИЧИСКАЯ ФУНКЦИЯ (1пвшх) Ых= 2 [ (1п2) + 42 ] 2 2 ( --)'~= —,~(ь ~)'~-Я. а+И а' — О' !и (а + Ь сов х) 44х = 44 1п о п 2 !и (! ч- вш х) 44х = — л 1п 2 ч- 4о4. 2 2 !и (1+ а вш х)2 44х = ~ 1п (1+ а сов х)2 41т =* БХ [305](19) БХ [306] (14) ГХ [322] (16а) =и!п 1+ ф' 1 — ао [ао < !]; = — л !И2а = — 24!И2+40 = — 24 1и 2 — 46! 1п (1+ а сов х)24(х 224!И 4+У 4 — аз о 2 Оа 2" 44 / 2а 1п(1+ 2ав1пх-(-а ) 42х = ~4' 4=о [а' < 1].
[ао а; 1]. БХ [330] (1) 12 13 БХ [308] (24) ] !и (1 — 2а сов х+ а') 44х = 0 о ди !и ао 4.225 1п2 — —, Б4. 4 ГХ [322] (9Ь) 1п (сов х+ вш х) 44х = — — 1п 2+ — 44). а 8 2 ГХ [322] (9а) 7. 8 9. 10 11 4 1п(совх — в!пх) 44х= —— 8 о 4 2 о ! с !п (сов х+ вшх) 44х = —, о [а>! Ь/ > О]. ГХ[322] (15) [а >!]; [а= 1]; [а = — 1]. БХ[308](5, 6, 7 и 8) [,2~ 1]; !а') 1].
Ф11 142, 163 и 688 542 3 — 4 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 1+ ф~1 — о* — О~ 3. ~ 1п (1-1- а вш*-1- Ь сов х) ~(х = 2л 1п о [а'+ Ьо < Ц. БХ (332] (2) 4. 1п (1.+ аз+ Ь'+ 2а в1п х+ 2Ь сов х) 1Ь = =0 = 2л 1п(ао+ Ьо) БХ 1332] (3) 4,226 1. 1п (ао — вшох)ос(х = — 2л!п 2 (ао < Ц; = 2л1п +, =2л(АгсЬа — 1п2) (а ) Ц, ФП 644 и 687 1п (1 — впР а в1по х) ах = (л — 20) 1п с16 —" + 2 о + 2и 1п ( — зш а ) — — 1п 2 + Е (О + и) — А' (Π— и) + А. ( — — 2и ) л Гл (,2 ) 2 (,2 сСдб=сова18и; — лс„а~,л, — — <и~ — ~.
ЛоП! 287 1п (1 — саво х (впР а — вшо 6 впР х)] Нх = о = л 1п ] —, ( сов — + ~г сов — + в1п — сов — ) ~ Р1 оа 2~ 2 ]' 2 2 2) (а ) Р > 0]. ЛоШ 283 и о1по ю'1 й /и Гл 1п (1 — — ~дх= — и1пв1а а-Б~ — — а+ и )+й~ — — а — и) опии 1 ~2 ) ~2 о — — <и< —, ~в1пи]< (вша)1 . ЛоП1287 2.
1п(1+азшох)ах= —, ] 1п(1+ав1пох)Нх= с о 1п(1+асовох)ах= — ] 1п(1+азово г)Вт=л1п + + 1+У 1+а 2) 2 о 1а> — Ц, БХ (308] (15), ГХ (322] (12) 4.2 — 4А ЛОРАРИФМИ((СИСКАЯ ФУНКНИЯ 1+41п— С 2 й — с с = и!и с$8— 4 со( 2 1+ в!п С савв в 1 — 41п с спв'* ~]~] < †, ~ . Л Ш283 ] ( (с*а-с( (.(-с(( — )-с(.с). Ло111 186 (16) и и 4 2 1п 28 х сЬ = — ~ ! и оя х сЬ = — О.
и БХ]286] (1 1) 1п (а 4Я х) СЬ= — 1па !а > О]. БХ (307] (2) 4 ]Опв*("ш- (( — (('2 ( („„( —. ( о БХ ]286] (21) 2 О( с. ](( (в,("а*=с~((2 „,',",,„„ ~о БХ (307](15) 6. (!псих)4" 4 СЬ=О. БХ]307] (14) 7. (1п сих) ах = БХ (286](16) (1п48х)'сЬ = — яв. 5 БХ]286] (19) 9, !и (1+ йи х) с!х = — 1и 2. БХ (287] (1) 6.
1п (а' сов'х+ бв в(п'х) сЬ = — )и (ав сон' х-]- Ьв в!пв х) сЬ = 1 Р 2 ° ю сс 1п ~~ (а > О, Ь > О]. ГХ ]322] (13) Π— О. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 10. )л (1+ $д х) (Ь = —" 1» 2+ О. БХ [308] (9) 11. 1»(1-фх)(Ь= —" 1и 2 — Д. в )) 12. 1» (1 — Фаях)'((х = — 1» 2 — 26). 2 БХ [287] (2) БХ Р08](10) 13. ~ 1»(1+сЩх))Ь= в 1»2+С.. о БХ [287] (3) 16. ] ) ( ))* — щ )') —. ~ ) ( йд* — о*)' ) ~) 2. о БХ [287] (6), БХ [308] (12) 17, 1п (ао + ()о 1до х) (Ь = — 1» (ао+ 5о 19о х) оЬ = л 1» (а+ Ь) [а > О, Ь > О].
ГХ [322](17) 4.228 ) (М,~Г *.)УТ:й 'ТЕ~)Ю о — 1»2 — 2Ь(2) Ж~ 2 ) а (~ )у '* — ГйЧ)а - — ( — "-~1 — ~)Ш .~)- ~. 2 Л»111 290 + —,Ии+~) — —,~ (и — т) — ~(т) Ф 1 -- 1 о1» м Я соз)Р= .; О~и (1( —, О)й С -Е]' ЛОГ11 290 14. ~ 1»(сфх — 1)(Ь= — 1»2. в о П и 1 2 15. ~ 1)) (йд х+ сй8 х) (Ь = — 1и (ОК х+ сО8 х) (Ь = — 1п 2. 1г й о БХ [287](5), БХ [308] (11) 545 4.2 — 4.4 ЛОГАРИФИИЧНСКАЯ ФУНКЦИЯ 1.) -:-»" * — !)ш--( —" — !)», ».
5»1»и» 4, г в "1П 5+515 1 ПОПХ У 50155 — 51Л Х 1П ' . !лх= 515 в — 51П1 ПОП Х у 5)55 5 — 5!Плв г =ж1п [ 18 —," 5!пи+ ]/ 1кв — 5!Или+1 ~ [й > О, и> О]. Ло111283 4 въ ]/,1пс18х 41х= — ~~» 11 й .5 ( — 1)" 2 )!" <2)л..)- ц 4 О» = -х '="" 5 У' 45 525 х )/ Ж+1 г~,— ) — 2)5 4=5 1 Ь в .»У»в )ш*= —,,' ]1. Ь'в, !.!/*5,)О= — 1п2+ —,Я. 1 п)У.»5* »'в*)» = ! ] ! Ь $ — »'»5 )'»*- БХ [297] (9) БХ [304] (24) БХ[287](7), БХ[308](22) = — 1п 2- С-. Л 4 БХ [287] (8), БХ [308] (23) ~ 1п (1п — ) 4(х= — С. 5 =О.
)и ()п — ] 1 ~ 1п (1п -) =* — (С+21п2) ]/я. ~ )п [1и ~ ) (1п ~) 4(х=ф(14)Г(15) [Ве)4>0]. 5 4И1 807 БХ [31] (2) БХ [32] (4) БХ [30] (10) 1 П сделать подстановку 1п — =и, т. е. х=5 полезно 1 1п(а+1пх)42х= 1па — е "Е1(а) [а > О]. БХ [30] (5) 35» твллвпп ввввгпвхов 1~ В кнтегралак, в которых кодынтегральная функння соде9»кпт 1и (1п — р з — г. онхпдплпннып интпгиьлы от плпмпнт.ыных эмнкции ! !п(а-1пх) 1(х= !па-елЕ1 ( — а) [а > О]. х БХ [30] (6) г г( !п !и си х 1гх — !и ' (-') БХ [З)8] (28) 4.23 Лохарифмичоекаа и рапиоиалъиал фуикнии Ф1! 483 и ФП 714 БХ [108] (7) БХ [108] (9) БХ [139] (1) БХ [111] (1) 1 ьа 1 = ь ь 1п —, [аЬ > О]. — ',""'*, Ь= — "! рд [р>0, а>0].
П хйх кг — — [аЬ > О]. а !ахах ж!лх И вЂ” — — — [а > О]. хг+аг 4х х 1 ФО е 1 БХ [135] (6) БХ [135] (4) 10 Л [135] (6) ГХ [324] (7Ь) Ф!1 482, Ф11 614 !ах кг — 1(Х = 1-1-.с !2 1 !и х — ах = — —. и! х !ах ав — Нх 1 — —, ! — х 6 1 г+х — )пхИх=! — —. к1 г — х 3 ' — [0Са< !]. 1 — 1!х = — !и 2. ь* !1+хгэ 1пх, х,,— „„, ~2!п,х — С вЂ” ф(п — — )] [а> О, Ь > О].
Ли[139](3) 1.1 — 1А ЯОГАРИФМИИВСКАЯ ФУНКЦИЯ .!з. ]" 8 БХ [108] (11) ГХ [324] (7Ъ) )4 БХ [11Ц (5) БХ [111] (2) БХ [111] (3) 18 ( 1, 1 — хп ! (и+!) Яв ~~р и — й+! й ! и х Ж )и их 1 (и+1»1 (и+и) (х+о) 2 (х — и) 4ип БХ [145] (32) (п х в(х ((и )))! — (!и у)1 (х+))) (х+'у) И (Р— 1) в ИП11 218 (24) БХ [140] (10) СО 3 ( " — = + а) [а) О]. х+а х — ! 2(а-)-!) 4.233 „„= -0,7813024129 .. ° — 1,171 953619 35 1 * "* *, = -0,15766014915 ... 1 , = — 0,3118211319 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
