И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 57
Текст из файла (страница 57)
ГХ [324] (19С) (1-*)(1-)(1-~), д*„ Г (р+() Г [д+1) Г 1г+ [) Г (р+О+г-[-[) Г (р+О+ [1Г (р[-г+[~ Г ~д-гг+1~ [р — 1, д) — 1, т) — 1, р+д> — 1, р+г ) — 1, д+т>-1„ р+ д+ т ) — 1]. [[) Б 815 28 1 (1 и) (1 хо) (1 г) и '(и 1 (Р+д+е)!Р+г+е)(д+г+е) е !ав [р+е)[д+е) [г+е) [р+д+г+и) е [р >О, д > О, г > О, з >0]. БХ [123] (10) [р >О, д >О, г >О, г)0]. ГХ[324](23а) се 1 30. ~ (1 — х") (1 — хе) ~. м = 2 ~ (1 — хв)(1 — х ) о о =21п'[в[п совес (р+') ) [а>0, в+р>0, а+р+д) О], ГХ [324] (23Ь) и 1 1(1- ')(1-*')(1-х) 1 .',*.= о Г (р+е) Г (д+в) Г (г-[-в) Г (р+д+г+е) Г [р+д+г) Г (р+г+е) Г [д+г+з) Г(е) [р > О, д> О, г> О, а > 0]о).
БХ[127](11) 31 *) Эти ограничения можно несноль«о ослабить, написав, например, в 4.267 31. и 32.1 а) О, р+г) О, д+е)О, г-[-1)О, р+дт 1) О, р-[г+е О, д+г+з)О, р+д+г+а>О. 561 ь.г †ь логлвиемичжскоя еункция « в (1 — и")" х" ' „= ~~«( — 1)" ~1п Г[(ю — Й) р+д] ~ р > — —, д > 0 ~ . БХ [127] (13) х3 1~Ь (х" — 1)" (хо — 1) = У ( — 1) ~ ) ~~ ( — 1) ( ~ )[~+(и« вЂ” Й) д4-(и — «) Р] «=о 1=0 [р> — —, д> — —, г>0~.
БХ[123](16) 43 ! пх =- (р «- 1) 1п (р+ 1) — (д+ 1) 1п (д+ 1)— — (р .+ г -]- 1) 1п (р + г-]- 1) -«-(д -(- т -(- 1) 1п (д + г+ 1) [р > — 1, д > — 1, р+ г > — 1, д-(-г — 1], ГХ[324](26) 1 ~ (х" — хо)" — *„= (2р+ 1) )п (2р + 1) + (2д+ 1) 1п (2д+ 1)— о — 2 (р -]- д -~- 1) 1п (р + д + 1) ~ р > — —,, д > — —. ] . ГХ [324] (26а) ! ь« ~ (1 — хп)" хо ' —, = —, ",«", ( — 1) (, ) (рй + д)о 1п (рй + д) о «о ] д > О, р > — ~ ~ БХ [124](14) 1 и З~ (1 — х')" (1 — ~')"*™ <,„*,,— "~", ( — 1) (") '«'( — 1)" (™",) х =о ь о х [(и — Й) д+ (п — у) р + г] 1п [(и« вЂ” Й) д+ (и — у) р + т] [т > О, тд+г > О, пр+т > О, тд+ пр+г > 0].
БХ [124] (8) 36 Тэбаады и«пе«рьлов 3 ~ (1 — ха) (1 — хо) (1 — х"), = (р -(- д+ 1) 1п (р+ д+ 1) + о -(- (д + г (- 1) 1п (д-)- г-$- 1) +. (р+ г+ 1) 1п (р + т+ 1) — (р + 1) 1п (р+ 1)— — (д «- 1) 1п (д+ 1) — (г+ 1) 1п (г + 1) — (р+ д+ г) 1п (р + д+ г) [,р> — 1, д> — 1, т> — 1, р-~-д> — 1, р-«-г> — 1, д+т> — 1, р+ д -~- г > 0]. БХ [124] (4) с — а. Определенные интегРАлы От элементАРных Фа"нкций [(сс — г) ж" а + (г — р) хв а+(р — с!) х" 1] = (с) — г) р !пр+(г — р) д!п д+(р — д) г!пг [р > О, д > О, г > О]. БХ [124] (9) ]( хи"' + хв 1 х' ' о — а ь — ) о — «.— в в — ~ м-О сг--,таит=:а " хв -1 1 р'!и р -)- (в — р)(в — д)(в — г) 1 (!п х)в 2 ~.(р — т)) (р — г) (р — в) + св 1и О -) гв )п г + в'1п в (с — р) (д — г) (Π— в) сг — р) (г — с) (г — вт (в — р) (в — т)) (ь — г) ~ [р > О, ср > О, г > О, х > О].
БХ [124] (16) О» = — Х-=, )/ л 1 — 1)" 2 „~ (2)в Т.1) БХ [115] (33) СО )/21+ 1 БХ [133] (2) [р > О]. ГХ [324] (1с) БХ [133] (1) па Нх ~//!и— — []с~ с н]. )/а БХ [133] (5) =]/ Х вЂ” '„-'" И ~< ] )/5 7 ~ х и х. [/ 1и — )ив [ип > О]. БХ [110] (1) 1 [/ 1 (1+ )* 1 1 „/ъ — '. Р-а =тп с ~ *"',"=р' — "„[ > О ~/си' 1 5.
втп с — х" с1п ((и+1) с)+ хи" с)п 1 — 2х сов с+ ха О 1 сов с — х — х" 1 сов пс+х" соя ((и — 1) с! ссх 1 — Ех сос с+х' О 4.271 ! 1. ! (1 )в" ~х = 2.,„1.(2 )! с",(2 +1), О БХ [133] (6) БХ [1В] (37) 565 1.1.— 1.1 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФЪ'НКЦИЯ = — „Г01)й ()а, ) [Ве)й > О, йе!г > О]. БХ[110](13) СЮ 1 (1Н ) ггх= 1 (р+ 1),~! ~ (Ий ! о й=! —,, ]. [р — 1, ф< 1]. Ли[326](12)и 1 СО ~ (г —.' )' '; .~ — г г) 2 (, ' ) „'„ [р > О, д > О, й > О, 0 < й < т+ 2]. ГХ [324] (И) ~ (Ь ')"(1+ )- Р- Ь= .~ ("„) о й=о [р>0, д>0].
\ ("-) (1-'') "''1*="".Е ~й) 1+.')-- о й~о [р>о, д>о]. БХ [107] (6) БХ [107] Р) 1 ЮР о й-1 [р>0, д>0, а<1]. Ли [ИО] (8) гг ~ (1п вЂ”Ч ( 1п — ) — * = В (р, д) (1п — ") й [р > О, о > О, ие > 0]. БХ [145] (36) БХ [145] (4) ог- йг. о 1 1 — ' 1 1 ~ (1а — ) (хо 1 — х~~)с1х= — 1ГЯ(9 "— Р ") о [д > р > О]. БХ [133] (4) $ ~(1н — ~ — х" '(1 — х)а ' ] и!х= — [г(р+ч)-г(рц 1 х ) ] —.„., =-] (ч) [р> О, ч>0] БХ [107](8) [ч > О]. БХ [126] (5) 4.28 Рациональная функция !ах н степенная функция 4.281 ~! — 'х+ -'*1 БХ [127] (15) о — (р, Нх 1 = — 11(р „ хз (1п р — 1п х) р 4 ~ — = ~ е+РаЕ!(*рЧ) [р> О, Ч > О] Ли[144](11 и 12) о 1 — + — * ~ Ых хх — ф ((А) [Во )4 > О], УВП (21) о 1 — + ] е(х= 1пр — ф(Ч) [р > О, Ч >О].
БХ[127](17) 1 1 Ла 281 (ЗО) Ли [130] (19) 1 (1 — х) (1+о !и х)+х !и х 1 Нх 2 (1 — х)* ] !ах !и 2л = —,— ч — 1ц г(ч)+ — 2 [ч > о]. БХ [128] (15) !па г(х 1 4ла+(!и х)а 1 — х 4 2 о 1 1 ~х 1 /' 2а+л ') ах+(!па)а !+ха 2а 1, 4л,7 о 1 дх 4 — л па+(1п х)* 1+ха 4л о о 1пх Нх 1 ('1 — — — — 1п2 ) ла+(!и х)а 1 — х' 2 ( 2 БХ [129] (1) [ а > — —, ], БХ [129] (9) БХ [129] (6) БХ [129] (10) 566 3 — 4 ОпРГПВПРнные интВРРАчы От элкмВнтАРных Функции 570 о — 4 овгкдклкнпык инткггллы от алкмкнтвгных егннлии Г (в(1+х) 1 а+Ь 2(в2 = —,(1 — !п2) [а = Ь].
а с» (ив ~ (в[1+а! Ь ( +Ь)а О(Г а(а — Ь) 1 16. ~ )п(а+х) — = — агссс9]/а (п[(1+а)а] [а > 0]. а+ах 2)»~ а о Ли [И4] (5) и БХ [139] (5) БХ [И4] (20) 1и (а+х) — = Нх а)ва — Ь(вЬ (о+х)» Ь (а — Ь! [а > О, о б>0, ачьЬ] Ли [139] (6) ГК П (2195) Ых = —. агсс9а )п (1+ ао). 2 »(х = = агсйд ~ л )в (1 + а) 2 )~а [а > О]. БХ [И4] (21) 21. в,)»(х= — [а!па — Ь1пб] [а>0, Ь>0]. БХ [139] (а) О 22. ] ь х-~-*)-р — р-,--— „(|»» — -~-х! ) [ >О, »>О» БХ [139] (9) 23.
1п(1+х) ((х= — — 1п2+-. 1+х» 1»а (1+х)» 3 72 ' ! о 24 )п(1+х) о+ 1- а»ха 2 (1+а») ] 2 1п(1+а )— Ли [И4] (12) — 2 агейла.!п а ~ $ ~ 1П(1+Х) +Ь)»(Ь ). » Ь,~ [ а+ 1П(а+Ь) о ! 1 ! 4!в2) — — (н Ь вЂ” — !па 1! -(- у а Ь 1 Ь» — а»! [а > 0]. Ли [И4](И) [а > О, Ь > О, ао:а Ьо] Ли [И4] (13) а (в (!+ах) 1+ а» 1 19 'в (1+ ах) 1+ ааа (в (ах+ Ь) (1+ х)» о »(х= — ] -2 (а+ Ь) (п (а+ Ь) — Ъ |п Ь вЂ” а (и 2] 1 г1 [а > О, 'Ь>0, а Ф Ь]. БХ [114](22) 571 Ли [139] (14) [а > — 1]. БХ [114] (23) [а>0, Ь>0].
БХ [139] (11) ьо. ] ь Ь вЂ” Ь „, ы —,,( ь — — —,) 1 >о. ь>01. БХ [139] (12) ьо. ] ь1 —,ро,,ь„',, = '„(ьь — Дочь,) Ь,>о, ь>оЬ. БХ [139] (10) 4.292 = — ~дх= — — 1п2 ~ 2('1. а 1п <1+Ьа) „, 1+ )~1 — ьЬ* ~0< 1 Ь[<-'~. БХ [145] (16 и 17) и, 1'Х [325] (21е) 1 ~~( +а*) 4(х — 1+- ~ ° + агся1па [[а[<1]; = — 1+ — +- 1п[а+]' аа — 1) [а>1]. я Ььао — 1 ГХ [325] (22) 1 — ььх = — агсв)п а (а- ехез)па) = 1о (1+ах) 1 Ьь" 1 ао 2 о = — — — (агссов а) [] а ] < Ц.
БХ [120] (4), ГХ [325] (21а) 4.293 ~ ха — ' 1п (1+ х) ьКх = — [1п 2 — [) ()4+ 1)] [Бе )4 > — Ц. БХ [106] (4) и о 4Х вЂ” 4.4 ЛОРАРИФМИЧИСКАЯ ьЬУНКЦИЯ 1 а аа 1п 2 — —. 2 1+аа 4 11-ао Ьо аа 1 ь' Ь Ьа 'ь ( +х) (ь'+ ')'~ +ь'(, ГХ [325] (20) ГХ [325] (22с) 572 [ — 1 < Вер < 0]. ГХ[325](3)и ГХ [325] (2с) БХ [134] (4), ИП1 315 (18) 1 8 ха-2 )п(1 — х) 2(х = — — -Ц(Р+ 1) — $(1)] [Ве Р > — 1].
ИП1 316 (19) 9, ~ хе — ' )п(х — 1)дх= — [жс18(рк)+2~(р+1) — $(1)] [Ве р < 0]. ИП1 316 (20) СО 10, 1 хп-' )в (1+ ух) Их = [ — 1 < Вер < О, [аг8у(<я]. > ру" 21п рл БХ [134] (3) пп-1 )п (1 ( х) о ИП1 316 (21) 12 Г )п (1+и) ° — )и 2 2П вЂ” 1 , ~~= — + о ) п)Р +2 2РР 2прз 13, ~ (, „Нх=Б()2, ч) [$(ч)-2Р(р+ ч)] о БХ [1)4] (6) [Ве р > О, Веоо > 0]. ИП1 316 (22) 2 3 4 5 6 7 О А. РПРЕДВЛВННЫИ ИНТЗГРАЛЫ ОТ ЕЛВМКНТАРНЫХ ФУНКЦИИ хп — 2 1п (1+х) с(х = — [[) ( — р) — )п 2] [Ве р < О]. ИП1315 (17) р СО Р-' 1п (1+ х) ((х = —.
р н1прк о 1 2п ~х"-21п(1+х) Ь= — '~ ' '"' ГХ [325] (2Ь) о 2=4 1 233+2 хо")в(1+х)2(х= + [)в4+ ~~~ ( А 1 2 2 и ~ х )п(1+х)о(х 2—,,— 1 + 2 1 [и Х 2й 1 ] . ГХ [325](21) о 2-О ~ 2Р— ' )в(1 — х[Нх= — с28(ря) [ — 1 < Вер <О]. 14. ~ Ых=у" Б(р, ч — р)[2у(ч)-2у(ч-р)+)в у] Г хп ~ )п(у-)- ) (у+ )" [О < Ве р < Ве ч]. ИП1 316 (23) 1 2 — 1Я ЛОРАРИФМИЧИСНАЯ ФЪ'НИКИЯ 4.294 1 ~ 1п(1+х)~~ ~* ~ 11х=2 1и 2 — .
[О< р( Ц. О БХ [114[ (2) 1 а 2и+1 1п (1 + х) 2~+ !1х 2 1п 2 !! 22+1 !! "~ ~р О В=О ! ! А=! ВХ [114[(7) 1 а-1 2а 1п(1+.х) + Ых=21п2 ',!'— Ь О у ! й ! БХ [114[ (8) 1 в-1 ~ 1п(1+х) ! Ыхаа21п2 Х Б+! +Х вЂ” Х вЂ” й — * О А=О 1 й 1 ВХ [114[(9) 1 а 2а+\ 1п(1+х) 1 <'х=21п2 Х 22 2+ Х "! й 1=0 1=1 А=! БХ [114[ (10) п ! — !)" в! (!и 2)" " аа (и — й)! (э +02" А-О Ли [106[(34) и ~ [1п(1 — х)[а(1 — т)'кЬ=( — 1)в )а„[Р > — Ц.
БХ[106[(35) и О ~ (1п —,) хоо '!1хаа — „. ~(п-)-1, 9+1) [ — 1< !1' 0[. О 10 БХ [31Ц (15) и БХ [309[ (5) и ! !11ааа 12. 1 (! ')Ои Ы(1 — ')т= — „+!)(Ж+$)!В ° 1- О ! ВХ [114[ (15) О ! 1 1=-1 а у 1п (1 — х) — !1х = — ~~ — ~— БХ [114] (16) О ! 1 й=! ОР ~ 1п(1 — х)охов(х= + с2дрл [ — 2 < р < — Ц. БХ [134[(13) д О ! 1 [ (1+*)[" (1+ )" -( — 1)а-' "„„„+ О 3 — 1 ОПРИДЕЛПННЫВ ИНТПРРАЛЫ ОТ ЭЛПМКНТАРНЫХ ФУНИПИ!! 4.295 1п(1+х') — *, = — — 1п 2.
о ~ 1п (1+ хх) —, = л Ь ~ 1п (1+ хх), = — [ — + 1п а) [а ) 0]. о 1 1п(1+хо) — = ~ 1п 2 — С. 1-1-хе 2 о 1 1п (1+х )1 „= —,1 2+а. 1 СО !п(ах+ Ьххх) — — 1п Г+ ее+ гхх! се о ГХ [325[(2и) ГХ [325) (4с) БХ [31 9) (6) и БХ [114)(24) БХ [144) (5) [а > О, Ь > О, с ) О, и>0).
Фх 1п(ах+ Ь~ге), *,, = — — агс16— с' — д'х* сГ ес о БК[136[(11, 12, 13, 14)и [а > О, Ь > О, с ) О, и ) 01. БХ [136[ (15) и СО 1й (1+росе) 1й 11 ! о х9 г, ( ) [ 0 О) хй =11 — 9 >, Ч> о ! 1+хесе !1х 1п 1+,, —— — (огорода)'. о 1 о !Гх ие 1п (1 — х') — = — — . х 12' о 1п(1-хо)х — = О. 1 1п (1 — хо) — = — 1п 2 — О. 1+ 4 о )п(х' — 1) — = —" 1п 2+С 1+хе 4 1 ФП645 10 БХ [115[ (2) БХ [142[(9) и ГХ [325[(17) БХ [144[(6) 1. ~ 1п(рхх+[)) —,==1п [)/ру+ф~ф) +х' 1' у [Во[) > О, Вв)1 >О, ~аг8у ~ < л[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
