И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 63
Текст из файла (страница 63)
+р„> а. р — 1 р — 1 Х3 Х2 Хп 2 П Г ( Р2) Г ( рл ... (' ( Рп) Г (2 — Р1 — Ре — - ° - — Р22) (Р1>0, г, >О, г> О]. 1.6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 й П ,д 6 (1+(йдхд) 1+(»Чхй) й+ ... +(»пхп) и)' г!» едой ... Ч, »11 1»йй й ... »пп 1' 1'Ч РЧ Рй (р, > а, д, > о,; > о, . > О).
4.639 1. ~ ~ " ' ~ (Рдхд+Рйхй+ ' + Рпхп) Жд <(хй... <1х «1-<-х$4- .. -««йн! (22п — 18 < 21п — .,— (р~+ р.'+ . " +р-')". Г ( —,+дл.+< ) (р,х,+р,х,~- ... +р„хп)'"+'а,д,... Ь.=О. »1+хйр - - +хйп' ФШ 482 Ф 1П 483 4.641 ррд 1+ей й+ ' '+12» п<(Х й(Х ., <(Х 1 й ' п «1+»й+ ... -<-Х'„< ! » л 2.-2 < 2»)21+Р1+ ' +Рп „, )н г Я+в .— ( ) 2 () ..) ' - -' »,»,..
»*, йл «;-<-х,'+ ... +»й„<! Ф 111 483 (2Х)лдп (ф~ р;+р1+ ... + рдй ) (Р1'+ Рй+ ° . + Рхл)п ~()~;+;+ ... +*„')ы, (,... ь„- *1+«1+ ..-+»ад ФП1483и 4,643 2 ф" ддл в = „<---) ~*"-'1(*) Ь., '«. 2,/ о где 1(х) — непрерывная на отрезке (О, В) Функция.' Ф 111485 1 1 Д 4.643 ~ ~ ... ~ 1(хдхй... хл) (1 — х,)"1 ' (1 — х,)пй ' ... (1 — хл)Рп ' Х Ч 5 и х '+"'... х'+"+- +' Ь с(х ... (х = й й ' и й"' п г(р,) г(ро ...
г<р„); „,+„,+...+, г (р,+ рй+ ... -<- р„),) Ч в предполон<ении, что интеграл, стоящий справа, сходится абйелютно <Р 111 488 б38 з — ю опгкдклвннык инткггалы от елвмвнтагных егнкпин х-1 ~ ~ .-. ~ 1( ,, + р,*, + . х1+х$+ „-~хх=! 2 ~ ~ ... ~ ~(Р1хг+Рюх + .
х(+х1-г."~- ю-~я1 = '~," „~1(УР~+Р~+ 2,) Их$ Ыхх Их рпхп) 4.644 ох~ г)хх ... ххх )/1 х1 хх . ° ° ххх-~ +р„'соех) з(п" зхю(х (.:.:3), гдето(х) — непрерывная на отрезке ~ — )/ р*, + р,'+... + р„', )/р,'+р,'+... +рх~ функция. Ф1П 489 4.645 Пусть функции ~(х„хз, ..., х„) и д(х„х, ..., х„) непрерывны з ограниченной замкнутой области (В), причем наименьшее и наибольшее значения функции д в области (Х)) пусть будут т и М; пусть гу(и) означает функцию, непрерывную для т (и ч'„М. Обозначим через ф(и) интеграл 1.
ф(и) = ~ ~ ... ~ /(хп х, ..., х„)Их,Ых ... Ыхх, вмд(х, х, ..., х )<и распространенный на ту часть области (Л), в которой выполняется неравенство ж «;д(хп хю,..., х„) ~;и. Тогда 2. ~ ~ ... ~ ~(хо ха, ...,х„)1Р(д(хох„..., х„))ох,охх... Ых„= ~мхгхх - ххквм =(Я) ~ ф(и)г(ф(и)=(Л) ~ 4р(и) сКи, где средний интеграл надо понимать в смысле Стилтьеса; если существует непрерывная производная —, то интеграл в смысле Римана, стоящий справа, Иф хгвю, х,Ью.. „, х„ню х +х, +...+ххм! Г(р,) Г(р,) ... Г(р„) х" ~Их рх+...
+р„— г+1) Г (г) ) Рю Рю г(р,+ ю (1+у,х) (1+ххх) ... (1+ххх) " (р,>0, р,>0, ...,р„>0, дг>0, оз>0, ...,д„>0, р, + р +... + р„> г > 0]. Ф 111 493 существует. +СО В формуле 4.6452. М может бъпь и + со, причем в этом случае под ~ следует понимать 1)ш я -~-~-сх > 10 12 5.113 БФ(612 13) БФ (612.11) ЙИ' И) а~11 5.114 (И ® — Ь' К (Ща А"К(Л) —.О(Л) 5.115 ~ ПЯ, ". й) йж=(й'-")ПЯ. ', й~ — К(й)+ж(й). БФ(612 14) ~ ~ К(й) П(,, г*, йл" йс(й=йайГ(й) — (й -га)П( —, уа, й).
БФ (612 15) — +П( —,, й) ~ й1(й=(йа- ')П ~ —, га, й) . БФ (612. 16) 5 12 Эллиптичеекие интегралы БФ (630.01) 5.121 БФ (630.32) 5.122 а 41 тавпп аа хвтагралов 5.1 Эллиптические интВГРАль1 и Фуин1(ии ~ ~„'," Ю= —,' [й'Х(й) — 2Х(й)). ~ ~® а = —,„', [2(йа — 2)ж(й)+й*щыд. ~ '~,„("' И=К(й) — 5(й). ~ [.к(й) — я(щ ф = — х(й). ~ [Х(й) — ЙаХ(й)) — = 2Ж(й) — й'аХ(й). ~ И1+й*) К(й)=Я(й))ф= -й'аХ(й). 1[К(й) ( )) ~" ,= ~ [Х( ) а (й)). 1 [х(й) — й'к (йд — „",'„=Дк (й) — х(й)). 1 [(1+йа)Ж(й) — й'.И(й)) ~, =~— „~~~. К(х, й)ых [Р(х, йда Г и Ч ~0< [0<х< — ~ )/1 — Ьаы ах 2 [ 2 „[ и х К(х, М/1 — й 'х1( = (5(.' )) БФ (612.05) БФ(612.02) БФ (612.01) БФ (612.03) БФ (612.04) БФ (612.06) БФ (612.09) БФ(612.12) БФ (612.07) 5Л23 БФ (630Л1) БФ (630.21) 5Л24 БФ (630.
12) БФ (630.22) где агс(6 " ( 2(1 — ас) (ас — йс)+(1 — ай вйай х) (2йс — ай — асйй) ) 2 У(1 — ас) (ай — йс) ( 2ах Г" (1 — ай) (а* — й*) срв )~ 1 — й~ ~сх' дин (1 — а*) (и' — йр) > 0; )П [ 1 $2 (ас — 1) (ай — йс) + (1 — ай 8188 х) (ай+ аййс — 2йй) + й $/гх — й ~д — йй 1 ссй вйвй х + х У( — \| (Ф-~) й йй-» ~ 1 длн (1 — а') (а*- й ) < О, /р — значение ~ при х=О.
БФ (6 30„23) 5Л25 2 $. неепРедесгкннык инткГРАлы О г спкциАльных айРннции Р(х, й)вшхс(х= — савхР(х, й)+ — агсв(п(йвшх). 1 Р(х, й)совхссх=в(пхР(х, й)-(- — АгсЬ а/1 "вгв 8 й'й — — „АгсЬ ( —,~ . Е(Х, й)В(ПХС(Ххх — СЕВХЕ(Х, й)+ + Б. [йв(ах )~ 1 — йрвшйх+агой(йв(нх)~. 1 х х С*. ц ° с - х х Ы*, й) й- — (й у с — йЯР *— 1 2й о й' А Ь|/1 й й й+й' А )8( У. П(х, ар, й)з)нхс(х — севхП(х, ар, й)+ а ° ' о 1 Г / йр — ссй Г' йх — ай ~К 1 — й*рйв = — савхП(х, ах, й)+ + Аг(Ь ~ ~~ а,, вшх~ (ар > йв). БФ(63ОЛ3) х П(х, ах, й)севхс(х=з(пхП(х, ар, й)-~+(», Иитегрироваиив ио модулю Й!26 )Й(*,Й(ЙЙЙ Л(*,Й( — ЙЙ(*,Й(6-(2/! — Й' ' '* — 1) 16*.
ВФ (613,01) 5.127 ~ Л(х, й)й(й= — [(1+йв)Е(х, й) — й'в)Р(х1 й)-(- .Й(фЧ вЂ” АЖ вЂ” 1) 16 ). 1(С(61662( 5 128 $ П(х, гс, й) й Йй =(йв — 2'в) П (х, г 2, й) — Р(х, й)+К(х, й)+ + ('12' 1 — йв в1авх — 1) с19х. БФ(613.1)Щ 5.13 Элл62птнческие функции Якоби 5 131 1. ~ вп ы(1и= — Гвп +Йыспыбпи+(т+2)(1+йс) ) вп"'+ви(1и— Йи+ 1 — (т+3)йв ~ ва 'и(й((~ . Си259, П(567).
+(т+2)(1 — 2йв) ~ саи+вис(и+(т+3)йв ~ сп 'си(Ь~ . П(568) 3. ~ с)апи(1ы=( Й„[йидп~'!нвписпи+ +(т+2)(2 — йв) ~дп +выгйй — (и+3) ~ бп Йнсуы ~ . П(5691 Интегралы ~ вп™и(1н, ') сп™иа(и, ~ 4п иИИ с иоио(цью (рормул 5 481 сводятся к иятегралам 5.132, 5.133 и 5.134. 5.132 6(и ваи ) — = )п— ,) ва и сп и+()а и ()а и — сп и =1а вп и 6)и 1 1 Й' ва и+4а и ! — = —, 1п ,) саи Й' сп и Ви Й'спи — саи 3. ) — = —, агс19 ,) ()пи Й' Й' Сп и+спи ' 1 сп и = †, агссов — .
Й' ()аи ' 1 1 сии+Йй' па и Йй' ()п и 1 . й спи = —, агсв1п Й спи 6.1 ЭЛЛИПТИЙЙЕСНИИ ИНТИГРПЛЫ И ЙРРН:КЦИИ 2. ~ са исЬ=, à — са'"+!ивпидпы+ (!и+1) йЙЙ 1 Ж 87 (464) Си 266(4) Си 266 (5) Ж 88 (166) ПЭ 1Э2 Си 269 16) ЯЭ 192 644 1 НБОППБДБЛБННЫБ БНГБГРАЛЫ ОТ СПБЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 5ЛЗЗ Ж 87 (163) СИ266(3), Ж87(163) П (564) П (565) П (566) Йпи $ $ — спи — Йи = — 1п— спи А 1+си и впи Йи = — 1п(ЙП и — йда и); й = й Йп и — й1спи й $ — /Р— пи -и = — — 1п(ЙО и+ й и).
1 й спиЙБ= — ахссов(ЙБ и); $ й = — 1п (Йп и — 1й вп и); й й = — аксв1п (й вп и). Йп и Йи = атсв1п (вп и); аш и = 1 1п (сп и — 1 вп и). вп'БЙи= — „, [Б-Л(аши, й)). й '1 спвиЙБ= —,(Л(вш и, й) — й'ви1. ЙпвиЙи=Ь*(аши, й). — Йи = —,!п а +й сап й' спи 1 Йа и+й' — —,1п 2й' Йа и — й' 1 — = ° ваи с 1й' — йспи — Йи= —,1п йаи йй' даи 1 йспи = —, ахсс18 = йй й' спи 1 — Йпи — Йи= 1и вп» спи 11 1 — Йп в+да и спи Й 1 й — йми Йи = — — 1п Йпи й Йаи — — 1п + М 1 — йваи Йп» 1 1+спи — Йи = — 1п —; сии 2 1 — ваи ' 1+8» и спи Ж 87 (161) ЯЭ 192 ЯЭ 192 Си 365 (1) Ж 87 (162) СБ265(2)и, Ж87(162) ЯЭ 192 Си 266 (7) Ж 88 (167) СБ 266 (8) Ж 88 (169) Си 266 (10) Ж 88 (168) Си 266 (9) Ж 88 (171) Ж 88 (172) ЯЭ 193 Ж 87 (170) 5.137 й'~ са и 1 спи 3.
~;;"„1и й" вви вв и Вв и спи спи ( — и=— ,1 1в*и =Спи да и ай и 8. ии =— свси си и 1, св и зайса и 2. яв и си и ай и 3. пй и СИ и пв и йи=1п— па и Ж 88 (183) Ж 88 (182) Ж 88 (184) 1 ай и Ыи= —,1п— й'и св и ьй и Ыи= 1п— св и свилова пв и пи и Йа и са и си и св и йаи Ыи=1пзпи. Ж 88 (179) Ж 88 (180) Ж88(181) Ыи =1п 1 сй и с1и= — — 1п Ипи.
1 Ас Ж 120 (192) Ж 120 (193) ь! эллиптический интеГРАлы и Функции ! ап и сп и с1и = — — йп и. Ас ап и дп и Ыи = — сп и. сп и йп и Ыи = еп и. вв и Сй и 5. 1 — Ии= —— 5.14 Эллиптические фуыкции Вейерштрасеа 5,141 ~ 3 (и) й = — С (и). 2.
~ 9'( ) СЬ= — У'(~)+ —,2 а,~. 1, 1 3. ~ ф~(и)Ии = —,(р (и) — — 8ТЦи)+ — 1э иви. 1 в 3 1 Ж 88 (173) Ж 88 (175) Ж 88 (174) Ж 88 (177) Ж 88 (176) Ж 88 (478) в. нкопгкдклкннык инткггьцы от спкцнлльных амнкцни Г ц)( р(и) — Р(е) У'(е) ( ' ' а(и+е1 ~ аи = — — —, — [ 1н — — 2к~ (е) 1, ар (и1+р аи аЬ вЂ” су г с (и4 е) уе' (и)+ Ь у у~~' (т9 [ с (и — ю) Ь где (р'(о)= — — . у' Ж 120 (194) Ж 120 (195) 5.2 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 5.21 Интегральная показательнал функцип ОЗ Г 1 ( ( Е1 ( — [(х) Е1 ( — ух) еЬ =( — + — ~ Е1 [ — ([з + у) х)— е — зе е -уи -х Е1(-Дх) Е1( — ух) — — Е1( — ух) — — Е(( — ~)х) у [Ве(р+у) >0) НИ53(2) 5.211 5.22 Интегральнан показатекьнан и степенная функции 5.221 Е([ — а(и+И) ( 1 $ ( — 1)" ) Е([ — е(и+Ь)) иие [ з Ьз + + — Я „ь ~ — „„е(х [а>0, Ь>0) НИ52(3) СО [ их=Ьеекь-( — '«-4)ь~- ( ~-ьд- '"",' — ' [а > О, Ь > О).
НИ 52 (4) 5.23 Интегральнан показательнап и иоказательнал функции 5.231 5.31 с(([)х)еЬ (" ' +~*) '(~ ~ . НИ49( ) а 2а . (аг ) е(х ссс сн с1 ((Ь) с( (аа'-(-Рс)+с1 (ас — Ри) НИ 49 (2) а х 1. е*Е1 (-х) еЬг= — 1пх — <7+ е" Е1(-х). ИПП 308(11) 2. е-зи Е( ( — ах) Их = — †.[е-зи Е( ( — ах) + 1п ~ 1-(- — ~— [( — Е1[ — (а+[1)х)~ . ИПП 308(12) 5.3 ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС И ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КОСИНУС б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
