И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 45
Текст из файла (страница 45)
30 1 ~З [ — 1)» 333» -а(1- совая) (--ю-+ ~ » 3 2 11. яш(зсоях)я1п2х<Ь= — 3(я[аз-зсояз). 2 В 338 (14) ГХ [334) (5ЗЬ) В 338(12) ГХ [33 Ц(54а) 12. в(п(гсовх)совахах=сов —.гв, (г)= — совос 2 [Л„(г) — в „(г)]= Я Фй — — аес — [Е„(г) + Е (г)] = (1~ — а~) (З~ — аз) ... ((24 — 1Р— а~) й 1 В 339 ~в. [~ ( ~ ь*- — ]ы (ю > Ю*- 1 2 -в = я а(п —,,Х„(г).
ГХ [334] (55Ь) 2 14. в(п (г совх) сов [(2л+ 1) х] г(х =( -1)" — Х „(г). В 30 (8) 15. вш(асовх)$9х~Ь=в((а)+ — [а)0]. БХ [43] (17) 16. в(п(асовх)в(пг".хсзр= — ~ — ) Г ч+ — ~Н„(г) [Вот) — 1 ]. В 358 (1) ва 17. сов(ассах)соа'ах~(х= — ав(п — г 1, „(г)= 2 Я йа Я аЛ = 4 ввс 2 [Х" (г)+ Х-~(г)]= 4 совос 2 [Е~(г) — Е „(г)]= ва ( 1 т~ ( — 1)» ~гв~ вг ~) аг(2® — аг) (4~ — а~) ... ((2й)в — а~) ) й-1 [а > 0]. В 339 18. ~.
сов (г сов х) сов пх ~4х = — ~ сов (г еоа х) сов пх ~(х = 1 2 Ь -в = и сов — Х„(г). ГХ [334] (56Ь) 19. ~ сов (г сов х) сов 2пх1Ь;-(- 1)" — Хг„(г). (.г В 30 (9) з — 4 олгжджлжнныж интжгпАлы от злжмжнтьжных етнкции 417 2.6 — 4.2 ТРИГОНОМНТРИНВСНИН ГРУННЦИИ 2 сов(всовх)в1пвтхЫхаи —.( — ) Г( м+ 2~ Ут(в) о ~КЕУ) — — 1.
л ~ сов(всовх) 21пхвхггх=~~ и ( — ) Г ()2+ — ) У„(2) о 2 ) ' 20. 21 В 35, УВ11 178 УВ11 179 3.716 2 -о 21п (а Фд х) е)х = —, '1е " Е1(а) — е' Е1 ( — а)] (сравни 3.723 1,). о БХ (43] (1) БХ (43] (8) вх 143] (5) БХ 143] (6) 2 в)п(а Фдх) 21пвх Фд хнах= — пе е 2 ви12 (а 2д х) г(х = — (1 — е аг) (сравни 3.742 1.). 4 вх (43](11) БХ [43] (3) о 27 твелици интегралов ~ сов (а 1а х) е(х = — ", е '. БХ 143] (2) о 21п (а $д х) в)п 2Х Ых ии —, е 2 о 2 1 — а сов (а 1$ х) в1п х ггх = 4 не о 1+а а сов (а $д х) сове х г2х = — яе о 2 в1п (асдх) сох агх= гг е '".
2 о 2 1 сов (айдх) Фдхах= — — (е "Е((а)+е" Е)( — а)] (сравни 3.723 5.), 418 3 — Е ОПРВДВЛВННЫВ ИНТВРРАЛЫ ОТ ЭЛВМВНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ сов«(азбх) 4х= 4 (1+с ~) (сравни 3.742 3.). 10. БХ)43) (4) в(пе(а 26х) с16«хах= — (е «'+2а — 1).
БХ )43) (19) [1 — весе х соз (46 х)) = С. е БХ )51) (14) 2 13. ~ вц1(асВ~х)з(п2хИх= — е (сравни 3.7163.), е а« в(п (а совес х) в1п (а с1л х)— 3.717 2 ее я = ~ впл(азесх)в1п(а$62) — = — ыпа 2 с )а > О). БХ(52)(11 и 12) 3.718 в!и ~~ и р — а$6х) $6« 'хИх = ~, 2 О 2 ~' я Р и -а ~,2 = 1 сов1 — р — а$6х11 Вц хНх= — е / 2 е )р'< 1).
БХ)44)(5 и 6) гйп (а 16х — тх) з1п" — ахи=0 е (Бе т > О]. НГ 157 (15) в1п(л$6х+ух) <1х=— БХ )51) (15) 1Гте т > О]. и вообще формулы 3.716 останутся справедливыми, если в них 16х, входятций з аргумент синуса или косинуса заменить через с1дх, заменив при этом в остальных сомножителях з(пх через созх, созх через щпх и, следовательно, 1дх через с16х, с16х через 26х, весе через совесх, созесх через вес х. Аналогично зя — а.! теитоноиетеичксиии Функции ке аа" 4. сов(агах — тх)сов — "хс(х= (Кот > 1).
Г (т) ЛоЧ153(112), НГ 157(14) 5. ~ сов(агдх+тх)сов" йЫх — 2 " 'иг- о [Ке т — 1). БХ (44] (4) 6. сов(а гаях-ух) совх хг(хаа (~г ч+з ( г' г Ъ „г гг+ Г ((+" ~ — ") в(а кх — а(н (пх — а га х) сов 1хах я, в(н х Ло У 153(И4) 3.719 1. з(а(тх — ге(ох) Ых= яК„(г). В 336 (2) к сов (их - г в(н х) г(х = иа(„(г). а х'В П 172 к сов (тх — г в(н х) Нх = иЗ„(г). В 336(1) 3.72 — 3.74 Тригонометрические н рациональные функции 3.721 ФП645 И(203 (1) ЫХ 203(5) ОО в(а (ах) и дх = —, вщн а. х г Ых = — в! (а). вш (ах1 ! СО Ых = — с( (а).
сов (ах) 1 [а>0, Кеч> — 1, — "+~Ф вЂ” 1, — 2, ВТФ 1274 (13) 3.722 1,' в1п(ах) + Р е(х с( (а]3) в1~ Щ) сов (а[3) т1 (~[3) [1аг8 [3 ~ < зт, а > О]. БХ [ 160] Щ: Ф П 646и [ ~ аг8 [3 ~ < л, а ) 0] БХ [202] (1) БХ [202] (4) [а ) О]. Ф П 646, БХ[161](1) БХ [202] (3) — ах=ив!И(а[3) вС ) БХ [202] (Щ [а > 0]. еав (ах) а )За+ха — — Ига е [а > О, Кв 6 > О]. вп! '! а , аж= — е-'в [а ) О, Ке 8 > 0]. х гоп (ах) ах=ле- в [а > О, Кв[3) О].
БХ [202] (10) 8. 3.723 в — а Оппвдялжнныж интвГРАлы От элеминтАРных Функции в~п (ах) — — Ых и сов (а]3) х+6 сов(ах) + еЬ= — в(п(а8) в((а(3) — сов(ар) с1(ар) [[аг8$3~ < я, а) 0]. ИП18(7), БХ[160](2) сов (ах) + ейх=ггв1п(а[3) [~аг3Д~ <л. а) О]. вш (ах) — ~Ь = в( о (]3а) с1 (ра) — сов (Ра) [в1 (]3а) + д] в1п (ах) еЬ= — исоа(а[3) [а > 0]. сов (ах) — е(х =* сов (ар) с( (а]3) 4- в(п (а[3) [в( (а[3) + ж] [а > 0].
ИП 18(8), БХ [161] (2)р в1п (ах) 1 ~,+х, С(Х= —,„[Е 'ах1(а[3) — Е РК1( — а[3)] [а > О. Кв Р > 0]. ИП 165 (14), БХ [160] (3) Ф П 741 и 750, ИП 18(11), УВ 1 156 ФП 741 и 750, ИП165(15), УВ1156 421 о о — $1 тРИГономктзи'хпскии Фхнкции — ~, ) Ых = — — [е — 'з Е1 (а6) + е'з Е( ( — а[))] о [а > О, Кс 6 > 0]. БХ[160](6) с(х = —, е з(п (аЬ) ° [а > О, Ь > О, с > 0].
Ли [202] (9) ,) Ых = — [з(п (а[)) с( (а6) — сов(а[)) [ з( (а()) -4- — 2) 1 о (~ахи()! ( л, а > О]. БХ[161](3) —;-~-' — Нх — з(п (аЬ) [а» О, Ь > О]. о БХ [161] (5). ИП1 9 (15) ~ — „— ~ Ых= — — соз(аЬ) [а > 0]. ФП647, ИПП 252(45) о 10. х) с(х=соз(а[))с((а5)+з(п(аР) [з( (а6)+ л ] Ь [ ~ ах6 [) ) < л, а > О]. БХ [161] (6) ОЭ о1о(ох!,(х л ооз(аЬ) — 1 [а > О, Ь > О].
щП(262(44) х(х — Ь) Ь СО Ь)- хх у оо — ь р+ 2дх+х» , з(п (ах) е(х=~ з1п (ад) )-ссоз(ад)) ле- хх — оо Ь"- ° [а > О, р > до], БХ [202] (12) СО , соз(ах) с(х = соз(ад)+сз(п(ад)) ле — ~~ Р+'й -)- ' Ф р-оо [а>0, р>д*]. БХ [202] (13) соз(ах) сй = ле- ""о "з(п (М+ а соз Ф) ! — 2х оо» ~+Ф [а > О, Р < ло]. БХ [202] (14) 7. ~ о'(, (,*!)Ыхх» а е 'соз(аЬ) [а > О, Ь>0, с>О]. Ли [202] (11)и 422, 3 — ь.
ОНРВдилинныв интВГРАлы От элиминтагных юункпии ьь = —,(1 — е-'а) [Пер > О, а) О]. БХ[172](1) о = —, (1 — сов (аЬ)) [а ) О], ~ — х(хь ~. аь) = 2(1ь — г(х = 2(1ь е — а~ай(а[)) [О < а < Ь]; о = — —, е-'а с)з (Ь[)) + — ", [а > Ь > О], ИП1 19 (4) аь = + —. ~ е ь Е1 (аЬ) — е'ь Е! ( — а Ы— аО 1 ьж!~~1~~ ~ ~ аьЕ ( Ы -аьЕ)( Ы+ -)-2сь(аЫвъп(аЬ) — 2сов(аЬ) (в1(аЬ)+ — ")~ ч- я(е о+сов(аЫ) [а ) О, Ь > 0; при никнем знаке указано главное значение инте~рала].
ИП166(221, ИХ[176](11 и 14) 3.727 1. 2 [а>0, Ь>0]. БХ[160](25)и, ИП19(19) =- —, '[ 2 в(п (а Ь) с1 (аЬ) — 2 сов (а Ь) [ в1 (а Ь) + — 2) + о + е 'ь Е1(аЫ вЂ” е"ь Е1 ( — аЬ) ] [а > О, Ь > 0], (сравни 3.723 1. и 3.7238.), БХ [161] (12) ьа — =-,—,— [е о+в1п(аЬ)] [а > О, Ь > 0], (сравни 3.723 2.
и 3.723 9.). БХ [161](16) 1 Ьь-г ь о ~ р~ ~ ~/'' = — ",ехр( — = ) в(п —" [а- О, Ь) О]. о БХ[160](23) и — 2с((аЫв1п(аЫ+2сов(аЬ) (в1(аЫ-Р— ) ] + [а ) О, Ь) 0; при нижнем внаке укааано главное значение интеграла) ИП165(21)и, БХ[176](10 и 13) 423 3 б 1.1 ТРИР ОНОМЕТРИО1ЕСКИЕ ЮУНКЦИИ СО О (' — 4Ь* [е ' — сая(аЬ)] [а > О, Ь > О], (сравни 3.723 3.
и 3.723 10,). БХ [16 Ц (13) СО = 4р [ 2 сов (аЬ) с1 (а Ь) -)- 2 я)п (аЬ) (я1 (аЬ) + — )— — е "'Е! (аЬ) — еаь Е1 ( — аЬ)1 [а > О, Ь > 0], (сравни 3.723 5. и 3.723 11.). БХ [16Ц (17) 5 [а>0, Ь>0]. БХ [160] (26) и — Ь [ 2я1п(аЬ) с'(а ха а(п (ах) ах ! Г о — 2 соя (аЬ) ( я! (аЬ) + — ) — е аь Е( (а Ь) + е"ь ЕЦ вЂ” а Ь) ~ 2,/ [а > О, Ь > 0], (сравни 3.723 1. н 3.723 8.). БХ[16Ц(14) О 4 (я1п(аЬ) — е ) [ > О, Ь > О], о (сравни 3.723 2. и 3.723 9.). БХ [16Ц (18) 10. ~ „, Ыв= — ехр( — ~ соя= хая)в (ах) к Г аЬ 1 аЬ о [а>0, Ь>0]. БХ [160] (24) О Ь' — ' !Ьт 4 е" +соя(аЬ)] [а>О Ь>0] о (сравни 3.723 4.
и 3.723 10.). БХ [ЫЦ (19) 3.728 соя (ах) ах а (()О От — уа "Я) (()'+х') (у'+х') фу (()' — уа) о [а > О, Ко 3 > О, Ке у > О]. БХ [175](1) БХ [16Ц (15) СО 12. ] ь,, = 4 [2соя(аЬ)с((аь)+2я1п(аЬ)(я)(аь)+ — )+ о -).е ОЕ[(аь)-'-е"'Е1( — аЬ)] [а, О, Ь>0], (сравни 3.723 5.
и 3.723 11.).  — 4. ОПРБДБЛБННЫБ ИНТБГРАЛЫ ОТ ЗЛБМБНТЛРНЫХ ЭРНКЦИИ 2. хвш(ах)ах и(е Оа — е От) а -» "е» -;. ) — — П»' — РГ- о [а ) О, )(ер) О, )(еу > О]. БХ [174] (1) 3. ассов(ах)ах я фа еа — Те а") (Рй+хй) (Ъй+ а) 2 Ф* — тй) [а > О, Бе [) > О, Ве у ) О]. »О 4. хйвш(ах)Их а(()йе ОЬ вЂ” уйе ат) (()й+хй) (уй+хе) 2(фй — уй) [а > О, Бе Р ) О, Кеу ) 0]. БХ [175] (2) БХ [174] (2) 5 ' (-)"х (Ьй — хй) ( сй — хй) ж (Ь в(п (ас) — с яп (аЬ)) 2Ьс (Ьй — сй) [а > О„Ь > О, с > 0]. БХ [175] (3) БХ [174] (3) ха(п (ах) Их л(сов (аЬ) — сею (ас)) (Ьй — хй) (сй — ай) 2 (Ьй — сй) о О» х' сов (ах) «(х (Ьй хй) (сй — хй! о л (с в(п (ас) — Ь в(п (аЬ)) 2 (Ь" — сй) [а>0, Ь>0, с)0].
БХ [175] (4) О» 8. хй в(п (ах) а»х и (Ь сов (ОЬ) — сй сов (ас)) (ь* — )(с — ) = 2 (Ьй — сй) [а>0, Ь>О„с>0]. БХ [174] (4) [а > О, Ь > О] БХ [170] (7) ОО В!и (ах) й)х и Ой (Ьй+х)й =Мое о СО +.' ! — хй ЛР ооа (рх),, е(х= —. е о ) в!о (ах) ~~ — л 2 аЬ» -ай (ей+хе)й 4 4 Обоаиачеиии: 2Ай=]/Ье+сй+Ьй, 2Бй=]/Ьа ( сй Ьв, О» сов (ах) ах»й е ~ (В сов (ОВ)+А вш (ОВ)) (хй+ Ьй)й + сй 2с Ь Ьй+с' о [а > О, Ь > О, с > 0].
БХ [170] (3) БХ [43] (10) и 3.731 БХ [176] (3) 1. 1 ( )~ = — (1+аЬ)е й (Ьй+хе)й 4Ьй Ь [а > О, Ь > 0]. БХ [170] (4) 425 з.в — ы тоигономвтгичяскив эвнкдии ,= — е- ~в(в(аВ) ]а> О, Ь > О, с > О]. БХ!176](1) о (хе+Ь') сов (ах) ах я е аа(А сов (аВ) — Вв(в (аВ)) (хе+о")а+ее 2 ро+' (а>0, Ь>0, с>Р]. БХ 1176] (4) (х ! Ь)в)о(ах)ах я — аа В = — е "'сов(аВ) о (а> О, Ь>0, с> 0]. БХ ]176] (2) 3.732 ! ! ) — ае [р,~ ~ р —,+ +, ] в(в(ах)е(х= — е — вв(п(ау) Ве)е > О, у+ е]) не является действительным числом]. ИП165 (16) (а> О, !а> О, ()в + )' ()' ( — )' , +, (, ~ сов(ах)е(в= не евв!и(ау) о ]а > О, ] 1ш а ] < Ве р]. Ли (176] (21) 3.733 1 сов (ах) ах хе-)-2Ь'хе сов 2е -(-Ье о = —, ехр ( — аЬ сов !) в(в (!+ аЬ в(в г) ]а>0, Ь>0, ]в] < — ] БХ(176] (7) хв)е(ах) е)х хе+ 2Ьаха сов 2!+ Ье о = — ехр ( — аЬ сов !) и в)в (аЬ в(в !) 2Ь* в)в 2( ~а > О, Ь > О, ]ю! < — ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
