И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1125149), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ВТФ1 155(3) и При надлежащем выборе однозначной ветви подынтегральной функции ата формула справсд.!ива для любых значений в в разрезанной от — 1 до -(-1 плоскости г, если только р < О; если же )ь> О, то эта формула перестает быть вернои для точов, в которых зкамснатель обращается в нуль. КГ 425, УВ11113 КЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКПИИ , = 2" ([)а — 1) Г(ч — 2(а) Г(9+1)Р'„' "(Р) ([)+сЬ-)'+' [йе( — р-ч) > йер > — 1, [) не лежит иа луче ( — '1, + со) действительной оси]. ВТФ1 155 (1) «Ь2" 'хсЬ а 1 = — а — «Б(р„ч — )ь) [йе ч > йер > О, а>Р]. (1+а сЬа х) ВТФ1 11 (22) -а+а / )а «ч 1 — () '~ ( ч ~~ 2 х)~~[а Π— 2' +О 4 2~: 2 ) ) ([)+ сЬ х)а В с — ".1+ —" —" 2 4 2) ~йе29>йерй йе(1 ) 4) >йеС2)] ' ВТФ1115(11) аЬ« ' х (сЬ х — 1)" ' ах (()+сЬ х)а ВТФ1 115 (10) 3.519 3.52 — 3.53 Гиперболические фупкции и алгебраические функции 3.521 ГХ [352] (2Ь) Ло Г11 225 ( 103а), БХ [841 (1) и — = — 2 ~ Е) [ — (2й+1) а].
Ли [104] (14) а=О 2-' -«-"+е),Р, [ Е, 2 — «- -(-С: (+ Е- 2, — ) В (2 — М вЂ” +ь — 1+ч+ М ) 2 / [йе (1+ 9) > йе(р+ ч), йе (49+ 2ч+ р) > О]. , Р, (С. 1+Š—; 1+с —: [)) «+ч ч Нх— Р) 2В ~)1, 1+а — )— ~2' 2 ) [2йе(1+9) > йе ч, 2йе(1+()) >Бе(р+ч)]. «Ь ((х Р) 18 х) ~~ 1 . рйа ь-1 ), =2: [а>01. хах аа СО ) * — х = 2О = и 1п 2 — 4Г Я = 1,831931188... ~4) ВТФ1 115 (9) БХ [274] (13) 362 Я вЂ” Я ОПРЕЙГЛГННЫР ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУННЦИЙ = 2 '~~' ( — 1) +' Е1 [ — (21+1)а].
Ли (104) (13) 3.522 Ь )) (Ь+ 2) [Ь> О]' БХ [97] (4) 1 =1п 2 — —.. 2 БХ [97] (7) БХ [97] (1) БХ [97] (8) БХ [97] (2) =1п 2. ==[я+ 2 )п Д/2+ 1)]-2. У'2 БХ [97] (9) ОЪ 10, ~ = = [л — 2 1и (]/ 2+ 1)]. (1+. ) сЬ вЂ” "* ЬГ2 БХ [97] (3) 3.523 — 1(х= „Г(6) Ь([)) [Вер > 1. а > О]. УШ146 и х(1 1 2о — 1 2О с" СО * — о(х=* ( — ) [В „[ [а > 0]. УВ1 169 и, ГХ [352](2а) — 1(х= — О Г(р)1Р1 ( — 1; [); 2) = о = — Г(Р) ~~~~ ( — 1)Ь ( „+ ) [КЭ3 > О, а > О].
1=О ВТФ135, ИП)322(1) СО хох (ЬЯ+хо) яЬ ах о х бх (Ь'+х') яЬ хх о Сх Дх (Ь+х )сЬ (Ья+ . ) сЬ лх о х хх (1+хо) яЬ лх хх (1+х') сЬ лх хах (1+ ) яЬ вЂ”, сс О+ ') сЬ вЂ”, 2 х ах (1-(-хя) яЬ— 4 — +ЛЯ~ Ь [а>0, Ь>0]. В=1 = — — р(Ь+1) [Ь > О]. БХ[97](16), ГХ [352](8) = ь х' 2хь 2й — 1 [а>0, Ь>О]. БХ[97](5) А=! с — 4 опгкдклкннык инткгвалы от алкмкнтагных санкции БХ [113] (17) +сит~)~. ~ ) [Ь>[а!,, С1].
аса 1 [а > О]. БХ [83] (11) БХ [84] (18) [Ь> ~а~]. БХ[82](17)и ОЭ 12. х' — с(х =16 ~ —." вес — 1 в1п —, ( 45 — 30совв — + 2совс л ~1 спьа (2Ь 26,/ 2Ь ( [Ь > [а ] ]. БХ Щ2] (21) и БХ [84] (15) и [Ь > [ а ~ ]. БХ [82] (14) и 15. х — Нх= ( — вес — ) в1п —,~ 120 — 60сов — +сова — ) впав / л ап'~с . ал/ в ап а ап~ ЫЬ* = [,26 2Ь ) 26~ 26 26 ) [Ь>]а~], БХ[82](18)и ( вьаа л ал с . ап х' — с(х=( — вес — ) в1п — Х сЫЬ вЂ” ~.26 26) 2Ь 16. 17. БХ [84] (16) и сЫ аа и асп ал х* — Ых = — —, вес — [Ь > ~ а ~]. 2Ь (Ю СΠ— — Г 1 — а — 1 сЫ Ьа аа ( 'П) ~ ( ) ((Ь(26+1) — а)~а+ ~ хв "сВЫахах= ( — ) [Вд с 10.
хв — ~Кх = — в1п — вес* — [Ь > ~ а ~ ]. ввпаа лс . ал а ал вЫ6а 46с ' 2Ь ' 2Ь 11. ~ х" — Их = 8 ( — вес — ) вьп — (2+ в(пв — )' Н 13. х — ах= — вьп — веса —, [Ь> [а]]. вьаа л' . ал вал сЫ Ьа 4Ьс 2Ь 2Ь ввьаа / л ап ~с . ал / вал~ 14. хв — дх=( —,вес — ) в1п-,—.(6 — сова — ) сЫЬа (2Ь 2Ь) 2Ь ~. 26) Х (5040 — 4200сов †+5 сов — †с †) в ап сал сап~ 2Ь 26 26) (Ю х — с(х = ( — вес — ) [Ь > ~ и ~ ]. СЫаа / Л ап~с вЫЬа 26 2Ь ) БХ [131] (1) и БХ [112] (19) и [Ь> ~а~]. БХ [82] (22) и 365 з,б ГипиРБолияеские осъ'нкпии сЬ ах / а аи'са/ в хи~ 18.
хв ЫхОО2( — вес —,) (1+2вшв — ) вЬ~ ~ 2О 2о) 2О) [Ь> [а: []. БХ [82! (15) и СО 19. х' — 44х=8( —,зес — ) (15 — 15соз — +2сов4 —, сЬах / и ая в/ в аи аи '~ в Ь ~2Ь 2О) ~ 2Ь 2Ь) [Ь > [а []. БХ [82] (19) и ОО ( сЬ Г и ап 4 х' — 44хОО 16( — вес — ) Х вЬ Ьх ~. 2Ь 2Ь ) х (315 — 420 ~' — '+ 126 ~м' —. — 4 ыУ вЂ” '" 1) 2а 2Ь 2О ~ [Ь>!а[]. БХ[82](23)и СО 1 ".~': -б хв — 4(х= — (2 веса — — вес ~ ~ [Ь > [а[]. БХ [84](17) и о 20. 21. СО ( 4 сЬах Г а ап ''с4 l' в ал х' — Нх=( — зес —,) (720 840сов' —, + сЬ Ьх ~ 2О 2Ь,) (. 2О -)-182сова — — сова — 1 [Ь> [а[]. 2с 2Ь / БХ [82] (20) и БХ [95] (3) и 24. 1 в1 .~ 1В $8( — + ~ ) [Ь > [а[]. о ОО вЬах ОЪ а вЬи.
'1+а* г — = — — сова+ — вЬв а 1и[2(1+сова)] 2 о [вв > [ а [ ]. БХ [97] (10) и вЬах 41х и . 1 1 — в1а а и 1+а' 2 2 —,= — ища+ — сова1а 1+вш а о "2 вЬ вЂ”, [я > 2 ~ а ~ ]. БХ [97] (11) и сЬах хс1х 1 вЬ кх 1+хо 2 — = — (азша — 1)+ — сова1и[2(1+сова)] 2 о [юв > [ а []. БХ [97] (12) а СО ая'Ог 22. х' — Нх=1 —,вес — ) (24 — 20сов' — +сова — 11 1 Ь* ( 2Ь 2Ь ) ~ 2О 2Ь „с [Ь> [а!]. БХ[82](16)и <о сЬах хах л 1 . 1+в1л а л 1+ха 2 — = — сова- 1+ — вша 1п 2 1 — в1л а В 2 вЬ вЂ” х Я>~ ]) вЬах хах .
а л а+и сЬ лх 1+ха = — 2 в1п —, + — вш а — сов а 1п Ьи— 2 2 4 БХ [97] (13) и ГХ [352] (12) [л>]а~). се сЬ* Ь а л а4-л —.— 4=2сов — — — сева — вша1п49- сЬлх 1+х 2 2 Ь [л> ~а]]. ГХ [352) (11) БХ [97] (18) Ое ввл ( )л вЬ ах ~Ь л Ь вЬ Ьх ее+хе е Х Ье+Ьл Ь 1 ОЭ вЂ” —,+л~~ вЬЬ ев+ 2Ье +Иа2 Ь +ЬЛ о 4=1 [Ь>)а~). БХ[97)(19) 3,526 впахсЬЬх вх 1 1 (а+Ь+е)л (Ь+е — а)л~ сЬах в 2 [ 4е а 4е [с > ~а]+ ~Ь]). БХ [93] (10) и БХ [95] (5) и — — = — 1п вес — л [Ь > ~2а]]. вЬв ах йю 1 а вЬох х 2 Ь о (- еР 1 1' )в' 1 (1 ()В [йеу>]йеф~, йе)в> О]. ИП 1 323(11) 3.527 1.
4 4(х — л Г(14)Ь()в — 1) [йеа > О, йе(4 > 2). БХ[86](7) и БХ [86] (5) и 3 ! ;„", Ь= — '„(1-2'-") Г(Р) ~(9 — 1) [йе а > О, йе (в > О). БХ [86] (6) и 3. 66 в 4. ОЦРеделенные интеГРАлы От элементаРных Функций В.В ГИПВРВОЛИЧВСКИВ ФУНКЦИИ о ЛО 111 396 [а > О]. БХ [86! (2) а вЬ ах „2Г (р) у ( — 0» сь»ах а» а..1 (2» ( Би-» »-о [Бе(в > О, а > О]. БХ [86](15) а Бх [861 (8) и а\ БХ [86] (12) и ОЭ БХ [86] (13) а аа сЬах 2ща — 1 Х л ~впВ 10.
х -Ь, с(х= — [ — ] ~Вд ] [а > О]. БХ [86] (14) и са хвЬах ~'~ Г9») ~+1 с(х ха ~„,з а 1 [(» > 01. и. О\ Ли [86] (9) о ао 14 в вЬах у 1л2 х сЬ» 2,»' БХ [86] (10) и 1Ь— 2 Их — — = 1В2. сЬх х БХ [93] (17») а 3.528 БХ [87] (8) о(х=( — 1)"'в 2]Ю»а(+2. О вЬ— 2 БХ [87] (7) 00 хвл (2ах — 2) ла'" о аа хвЬах л сЬв ах 2ав о (1+х1)аа» (1 х0»а в о о(х = 2. лх овЬ— 2 БХ [102] (2) ц БХ [86] (11) ц 3 — 1 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКПИЙ 3.529 ОЪ 1. ~ — — — ) — = — !и 2.
Г1 1~,Ь сох х х БХ [94] (10) и 2. ~ „— = — 1п сов~- [Ь > [а[]. о ГХ [352] (66) с' а с ~ ах 3. ~ ~ — — — / — =(Ь вЂ” а)1п2. ~, 8Ь ах 8Ь Ьх / х и 3.531 БХ [94] (11) и н» ,х = 1,1719536194 .. Ли [88] (1) н» х Ех с!в 2 — Х. (1) со 2х4-88821 ооа1 сов с Ло 1Г1 402 хн ах Ф ах — сн сЪх+ 3 М ю [0<~<И] о БХ [88] (3) и хн Ех с (ин сн) (7ан 3~8) сы х+со81 Б 81в с о БХ [88] (4) и нн СО = 2. (2иг)! соеес 2аж ~Я А 1 БХ [88] (5) со = — '. ~~~ [е — ",Р, (е-"; )8; 1) — е11,Р, (е1'. (А; 1)] о [йе р, > О, 0 < 1 < 2л].
ИП1 323(5) 3.532 х" ах (2а)1 Х~ 1 ~Π— а ~А а ейх+ 'сьЬх а+Ь ~1 (2й+1)"'а ~ Ь+а./ [а > О, Ь > О, л > — 1]. ГХ [352](5) н хах 1 = — соеес 28 (й (В + 1) — Ь (6 — 1) — 2Е (Ю)] [Онн а6(аисте), Ю~ ]. ЛоШ402 372 3.547 2 3 , „,4 5 9. 10 з — и опгндвлвннык интжггллы от эдвмвнтляных ч уннпии ЮО ,ехр( —.[)сЬх),сЬух~х=Кч(6) [Ве[1 > О]. ИП1168(16)и, В201(5).
юч ехр( — рвЬх)вЬухсЬх4х= У Яа ф) [йер> О]. ИП1 168 (7), ВТФП 85 (51). ехр( — рвЬх) яЬ [(2и+-1) х] сЬ хЫх= О,„,„ф) [йе 9 > О]. ИП1 167 (5) ~ ехр(-ряЬх) сЬ ухсЬхих= — Б~,чф) [Вер > О]. я ИП1 168 (8), ВТФП 85 (52) ОФ елр( — [1вЬх) сЬ 2ихсЬхНх= О,„ф) [Ве Д > О]. 4ч ехр (- р сЬ х) яЬач х сЬ = = ( — ] Г (ч + —.) Кч ф) [ Вер>0, Веч> — —,), ехр[ — 2фс1Ьх+рх)]вЬ хих= 4 р Г(р — ч) х 1 ' —,' а Х [И' ~ (4р) — (р — 'ч) (ч' я (4р)] [йе[1 > О, Ве р > Ве ч].
2' 2* ИП1 165 (31) ИП1 168 (6) ВТФП 82 (20) ОФ ехр( — р вЬх) вЬух ~Ь= гв ся8 У," [У ф) — Лч (р)]— — [Еч(р)+Лчф)] = уЯ и чф) [Вер > О]. В 341(5), ИП1168(14) и ехр( — 9сЬх) яЬухяЬхал = ХК ф). ИВ)168(9) и ехР( — [)вЬх) сЬ Ух их= — 18 —, [Лч ф) — Учф)]— — — ", [Ечф)+Л'ч(8)] =Ба,чф) [йе р > О, у не равно целому числу]. ИП1 168(16) и, В 341(4), ВТФП 84(50) сч 11. ~ ехр ( — — вЬ х ~ яЬ х сЬ х Ых = ч-! ч г а М 1 = — иРчфеЯ)Р,фе Я) [ Веч > О, [аг8Р[~< а~ ]. ВТФП 120(10) Ф 374 ИП1 166 (42) ИП1 166 (43) 3.549 1. ИП1 167 (5) ОЪ е-о' сЬ (2п АгвЬ х) 4х = О „ф) ИП1 168 (6) 3.547 5.). ИП1 168 (7) 3.547 7.).
ИП1 168 (8) Ряд других интегралов, в которые входят гиперболические и экспоневциальная функции, зависящие от АгвЬх илп АгсЬх, молоко найти в справочнике, сделав предварительно подстановку х = вЬ ~ или х = сЬ |. 3.55-3.56 Гиперболические, показательные и степенные функции 3.551 ИП1 164 (18) ИП1 164 (19) ИП1 164 (21) Ли [81] (4) 3.548 1.
2. 3. 4. Π— $ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕИЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 4 $~ ' ехр(8 )7~ (8 ) [Ке)А > 0]. 1 е- 'сЬях'а = —, ~~ —,„ехр(~~)1 1( — ) о 4 [Кер > О]. ОЪ ~ е О" вЬ [(2л + 1) АгвЬ х] е(х = О „, ф) о [Вер > 0] (сравни 3.547 6.). [Вер > 0] (сравни 3.547 8.). ОФ е В" ЕЬ(УАгвЬх) Нх= — Яо,оф) [ВеР> 0] (сРавни е-о" сЬ(ТАгвЬх)Ых= — Юыуф) [Кер > 0] (сравни 1 о ха-1е — О вЬухах= 1 Г(р) [ф у)-а ($ ! у)-а] о [Ве р — 1, Ке р > ! Ке у !]. Ха-'Š— Ва СЬ уХ <1Х =- —, 1' (!А) [ф — у) — а+ ф -1- у)-а] 1 [Кер > О, Ке[1 > [Кеу!].
ОЭ ха-~е-васСЬхох=Г(р) [ 2' а1,()г, Р) — [1-а~ о [Ке р > 1, Ке р > 0], Ф т х"е-о'+ ~'"вЬ дхдх=2 и! ~ ( ) (,$) (Р+Е„,)И.1 о=о [р > О, е > О, ло < р+ дт]. Π— О ОПР1ДЪЛПННЪ|Ь ИНТВГРАЛЫ ОТ ИЛСИВНТАРНЫХ ФУННПИИ 376 ° [[ ~ = 2 1п Г ф) — 1п ж + 1п (з1п яД) ВТФ1 21 (7) [О < Ке р < Ц. 4 ~ е-се ( — — съЬ х ) с(х = 1р ( Р ) — 1п — + — [йе ер > О].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
