Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.1.1)Ïðåäñòàâëåíèå ÷èñëîâîãî ìàññèâà ìîæíî ñäåëàòü åùå áîëåå íàãëÿäíûì ïðè ïîìîùè åãî ãðóïïèðîâêè è ïîñòðîåíèÿ(, ðèñ. 1.1.2). Îñü àáñöèññ â äèàïàçîíå íàáëþäåííûõ çíà÷åíèé ðàçáèâàþò íà íåêîòîðîå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâà-histogramãèñòîãðàìì13ëîâ (îáû÷íî ðàâíûõ). Íàä êàæäûì èíòåðâàëîì "íàäñòðàèâàþò"ïðÿìîóãîëüíèê, ïëîùàäü êîòîðîãî ïðîïîðöèîíàëüíà ÷èñëó ïîïàâøèõ â åãî îñíîâàíèå íàáëþäåíèé.  ñëó÷àå ðàâíûõ èíòåðâàëîâ âûñîòû ïðÿìîóãîëüíèêîâ ïðîïîðöèîíàëüíû ýòèì ÷èñëåííîñòÿì (÷àñòîòàì èíòåðâàëîâ). èñ.
1.1.2 ïîêàçûâàåò ãèñòîãðàììû ñ ðàçíûìèäëèíàìè èíòåðâàëîâ.2060= 0.01= 0.0315451030515013.0013.113.213.313.413.513.613.713.814013.0= 0.0710513.213.313.413.513.613.713.813.713.8= 0.11165701103555013.013.1220013.113.213.313.413.513.613.713.813.013.113.213.313.413.513.6èñ. 1.1.2. èñòîãðàììû äèàìåòðîâ ãîëîâîê çàêëåïîê ïðè ðàçíûõäëèíàõ èíòåðâàëîâ ãðóïïèðîâêèÏî ýòèì ðèñóíêàì ìîæíî ïîíÿòü, êàê äëèíà èíòåðâàëà ãðóïïèðîâêè âëèÿåò íà îðìó ãèñòîãðàììû. Åñëè äëèíà èíòåðâàëàãðóïïèðîâêè ìàëà, òî ñëó÷àéíûå êîëåáàíèÿ îêàçûâàþò ñèëüíîåâëèÿíèå íà îðìó ãèñòîãðàììû (çóá÷àòóþ), òàê êàê ïðè ýòîì êàæäûé èíòåðâàë ñîäåðæèò ëèøü íåáîëüøîå ÷èñëî èçìåðåíèé. Åñëèæå äëèíà èíòåðâàëà âåëèêà, òî ñêðàäûâàþòñÿ õàðàêòåðíûå ÷åðòûðàñïðåäåëåíèÿ. èñòîãðàììû è òî÷å÷íàÿ äèàãðàììà íàâîäÿò íàñíà: äàííûå â òàáë.
1.1.1 ýòî íåçàâèñèìûå ðåàëèçàöèè êàêîé-òî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Áîëåå ïîäðîáíûéàíàëèç (íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ âûáîðî÷íîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è íîðìàëüíîé âåðîÿòíîñòíîé áóìàãè ñì. 3) ïîêàçûâàåò,÷òî ýòî ãàóññîâñêàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (óïîìÿíóòîå ÷èñëî 14.56â ðàìêàõ ãàóññîâñêîé ìîäåëè ïîÿâèòüñÿ íå ìîæåò è, äåéñòâèòåëü-ñòàòèñòè÷åñêóþ ìîäåëü14íî, äîëæíî ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ãðóáàÿ îøèáêà íàáëþäåíèÿ, êàêâûáðîñ). ñòàòèñòèêå ñîâîêóïíîñòü íåçàâèñèìûõ ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû òàêæå íàçûâàþò âûáîðêîé èç íåêîòîðîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Íàçâàíèå âûáîðêè ÷àñòî ïåðåíîñÿò è íà ñîâîêóïíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Èòàê, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ ýòîãî ïðèìåðà: 200 ÷èñåëòàáë.
1.1.1 ýòî âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ñîäåðæàùàÿ îäèí âûáðîñ, åñëè íå èñïðàâëÿòü óïîìÿíóòóþ îïå÷àòêó). Êàêåùå ãîâîðÿò, âûáîðêà èç íîðìàëüíîé (ãåíåðàëüíîé) ñîâîêóïíîñòèN a; 2 . Ïàðàìåòðû a è 2 ýòîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âìîäåëè íå óòî÷íÿþòñÿ, îíè îñòàþòñÿ íåîïðåäåëåííûìè.Ñòàòèñòè÷åñêèå çàäà÷è äëÿ ìîäåëè âûáîðêè:âûáîðêîé()îöåíèòü ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ, â äàííîì ñëó÷àå ãàóññîâñêîãî, ò.å. íàéòè äëÿ a è 2 ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ;ïðîâåðèòü ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî äàííàÿ âûáîðêà èçâëå÷åíà èçíîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè (ïðîâåðèòü ñîãëàñèå ãàóññîâñêîãîðàñïðåäåëåíèÿ ñ ðàñïðåäåëåíèåì âûáîðêè).1.2. Ïðîñòàÿ ëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿàññìîòðèì äàííûå èç ñòàòüè Ý.
Õàááëà [Hubble E. A relationbetween distane and radial veloity among extra-galati nebulae//Astronomy. -1929.- v.15. - p. 168-173℄, ãäå âïåðâûå áûëà ïîäòâåðæäåíà ìûñëü î ðàñøèðåíèè Âñåëåííîé (î "ðàçáåãàíèè ãàëàêòèê").Ýòè äàííûå ñâÿçûâàþò ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî áëèæàéøèõ òóìàííîñòåé ñ ëó÷åâûìè ñêîðîñòÿìè ýòèõ òóìàííîñòåé.èñóíîê ïðèâîäèò íàñ ê ìûñëè (òàê æå, êàê è Ý.
Õàááëà áîëååñåìèäåñÿòè ëåò íàçàä), ÷òî ëó÷åâûå ñêîðîñòè "â öåëîì" ïðîïîðöèîíàëüíû óäàëåíèÿì, è ê ñëåäóþùåé ìîäåëè:yi = xi + "i ; i = 1; 24:Çäåñü:xi ðàññòîÿíèå äî i-îé òóìàííîñòè (óäàëåíèå),yi å¼ ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü,"i îòñòóïëåíèå îò ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè. Èõ íàçûâàþò îøèáêà-ìè.
Ýòè îòñòóïëåíèÿ, âîçìîæíî, îáúÿñíÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè äâèæåíèÿìè òóìàííîñòåé â ïðîñòðàíñòâå, à òàêæå îøèáêàìè â èçìåðåíèè ñêîðîñòåé è óäàëåíèé.15/1400y,12001000800600400200x0-200:-4000.00.51.01.5y = 404.80 x2.02.5,èñ. 1.1.3. Äàííûå èç ñòàòüè E. Hubble 1929 ãîäà, ñâÿçûâàþùèåóäàëåíèÿ è ëó÷åâûå ñêîðîñòè 24 òóìàííîñòåé.Êîýèöèåíò , îïðåäåëÿþùèé ñêîðîñòü ðàñøèðåíèÿ Âñåëåííîé, ñåé÷àñ íàçûâàþò.Âåëè÷èíû óäàëåíèé è ñêîðîñòåé äëÿ òåõ òóìàííîñòåé, êîòîðûå îòðàæåíû íà ðèñ. 1.1.3, âïîñëåäñòâèè áûëè ïåðåñìîòðåíû èóòî÷íåíû, ïîýòîìó ÷èñëåííîå çíà÷åíèå ñèëüíî èçìåíèëîñü ïîñðàâíåíèþ ñ òåì, êîòîðîå íàøåë ñàì Õàááë (ñì. ðèñ. 1.1.4).Áûëè òàêæå èçìåðåíû óäàëåíèÿ è ñêîðîñòè äëÿ ìíîãèõ äðóãèõ òóìàííîñòåé, íàõîäÿùèõñÿ íà ãîðàçäî áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõîò Çåìëè, ÷åì ïåðâûå äâàäöàòü ÷åòûðå, î êîòîðûõ íàïèñàë Õàááë.Ëèíåéíûé õàðàêòåð çàâèñèìîñòè, òåì íå ìåíåå, ñîõðàíèëñÿ, áûëóáåäèòåëüíî ïîäòâåðæäåí è, â íàñòîÿùåå âðåìÿ, ñîñòàâëÿåò îäèíèç îñíîâíûõ çàêîíîâ àñòðîíîìèè.
Âïðî÷åì, ÷èñëåííîå çíà÷åíèå âîïðîñ âñå åùå äèñêóññèîííûé (è ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûé äëÿòåîðèé âîçíèêíîâåíèÿ è ýâîëþöèè Âñåëåííîé).Êàæäîå èç ïîñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèé èëè èõ ñî÷åòàíèÿ ïîçâîëÿþò äåëàòü áîëåå ñîäåðæàòåëüíûå è îïðåäåëåííûå âûâîäû îñâîéñòâàõ ìîäåëè, å¼ ïàðàìåòðàõ, å¼ àäåêâàòíîñòè, î ïðåäñêàçàíèÿõ íà å¼ îñíîâå è ò. ä. Îäíîâðåìåííî ïðèíÿòèå áîëåå ñîäåðæàòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé î ìîäåëè äåëàåò ýòè âûâîäû áîëåå ïîäâåðæåí-ïîñòîÿííîé Õàááëà161400/y,12001000800600400200x0-200:-400024681012y = 67.97 x141618,èñ. 1.1.4.
Ñîâðåìåííûå äàííûå, ñâÿçûâàþùèå óäàëåíèÿ èëó÷åâûå ñêîðîñòè òóìàííîñòåé.íûìè ðèñêó îøèáêè, åñëè ñäåëàííûå ïðåäïîëîæåíèÿ íåâåðíû.Ïðèâåäåì â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âàæíîñòè ïðåäïîëîæåíèÿîá îøèáêàõ, êîòîðûå äåëàåò ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà."1 ; : : : ; "n(1) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (â òîì ñìûñëå, êîòîðûéäàåò ýòîìó ïîíÿòèþ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé). Ïðåäïîëîæåíèåî ñëó÷àéíîñòè îøèáîê ãëàâíîå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.(2)"1 ; : : : ; "n íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
Ýòî î÷åíüâàæíîå ïðåäïîëîæåíèå. Ñîäåðæàòåëüíî îíî îçíà÷àåò, ÷òîîøèáêè, ñäåëàííûå â îäíîì èçìåðåíèè, íå âëèÿþò íà îøèáêè äðóãèõ èçìåðåíèé, ò.å. êàæäîå èçìåðåíèå äåëàåòñÿ íàíîâî. Íà ïðàêòèêå âñòðå÷àþòñÿ çàäà÷è, ãäå ïðåäïîëîæåíèå îíåçàâèñèìîñòè îøèáîê íåïðèåìëåìî.
Íî òîãäà íàäî óêàçàòü,êàêîâà ñòðóêòóðà èõ çàâèñèìîñòè (ò.å. óòî÷íèòü ñòàòèñòè÷åñêóþ ìîäåëü).(3)  èçìåðåíèÿõ íåò ñèñòåìàòè÷åñêèõ îøèáîê. Ìàòåìàòè÷åñêèýòó ìûñëü âûðàæàþò ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Íàèáîëåå óïîòðå17áèòåëüíî ïðåäïîëîæåíèå(a)E"1 = E"2 = : : : = E"n = 0:Äðóãàÿ âîçìîæíàÿ îðìà: äëÿ êàæäîãî(b)iP f"i > 0g = P f"i < 0g = 0:5:Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû ïîçâîëÿþò óìåíüøèòü âëèÿíèå ñëó÷àéíûõ îøèáîê (ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà íàáëþäåíèé) ëèøüòîãäà, êîãäà ñèñòåìàòè÷åñêèå îøèáêè îòñóòñòâóþò.
åàëüíî,â ïðèëîæåíèÿõ, ïðåäïîëîæåíèå îá îòñóòñòâèè ñèñòåìàòè÷åñêèõ îøèáîê îçíà÷àåò, ÷òî òàêèå îøèáêè ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àéíûìè.(4)(5)"1 ; : : : ; "n îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.Åñëè ýòî ïðåäïîëîæåíèå íåïðèåìëåìî, æåëàòåëüíî óêàçàòü,êàê òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ â îïûòå i ñâÿçàíà ñ äðóãèìè ïåðåìåííûìè ìîäåëè (ñ xi , íàïðèìåð).
Ò.å. óòî÷íèòü ìîäåëü."1 ; : : : ; "nñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàñïðåäåëåííûå ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó N ; 2 . Äèñïåðñèþ 2îáû÷íî ñ÷èòàþò íåèçâåñòíîé. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå îá îøèáêàõ äîëãîå âðåìÿ äëÿ ñòàòèñòèêè áûëî îñíîâíûì. Åãî ìîæíî íàçâàòü êëàññè÷åñêèì. Ïðåäïîëîæåíèå î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè îøèáîê õîðîøî îïèñûâàåò õàðàêòåð òàêèõ îøèáîê â ãåîäåçèè, àñòðîíîìèè è äðóãèõ íàóêàõ ñ âûñîêîé êóëüòóðîé èçìåðåíèÿ.(0 )=+Âñå âìåñòå îðìóëà yixi "i è ïðåäïîëîæåíèÿ îáîøèáêàõ îáðàçóþò ñòàòèñòè÷åñêóþ ìîäåëü äëÿ íàáëþäåíèéxi ; yi ; i ; : : : ; n. Åñëè, íàïðèìåð, ìû ïðèíèìàåì ïðåäïîëîæåíèå (5), ìû ïîëó÷àåì ò.í.
ãàóññîâñêóþ ìîäåëü. À, ñêàæåì, ïðåäïîëîæåíèÿ (1) è (3b) äàþò îäíó èç ò.í. íåïàðàìåòðè÷åñêèõ ìîäåëåé.Íà ýòîì ïðèìåðå ìîæíî ïåðå÷èñëèòü è îñíîâíûå çàäà÷è, êîòîðûå ñòîÿò ïåðåä ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêîé. Î ö å í è â à í è å. Íàäî ïðåäëîæèòü òàêîé ìåòîä îáðàáîòêèíàáëþäåíèé xi ; yi ; i; : : : ; n, ò.å. òàêóþ óíêöèþ f : , ÷òîáûf x1 ; y1; x2 ; y2 ; : : : ïðèáëèæåííî ðàâíÿëîñü íåèçâåñòíîìó . Âåëè÷èíó f x1 ; y1 ; : : : íàçûâàþòïàðàìåòðà .
Îöåíêîéíàçûâàþò è ñàìîþ óíêöèþ f : . Ôóíêöèþ f : íàäî âûáèðàòüòàê, ÷òîáû ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî áûëî êàê ìîæíî áîëåå() =1(18(^= ()) =1)()()îöåíêîé^()^()òî÷íûì. Êàê èçìåðèòü áëèçîñòü ê è êàê âûáðàòü óíêöèþ f : ïðåäìåòû äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿ. Ò î ÷ í î ñ ò ü î ö å í è â à í è ÿ. Íàäî äàòü êîëè÷åñòâåííóþ õàðàêòåðèñòèêó äëÿ òî÷íîñòè ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà . Ýòà çàäà÷à ðåøàåòñÿ â ðàìêàõ ò.í.() îöåíèâàíèÿ.
Ï ð î â å ð ê à ñ ò à ò è ñ ò è ÷ å ñ ê è õ ã è ï î ò å ç. Âîçìîæíî, ÷òî î âåëè÷èíå íåèçâåñòíîãî ñóùåñòâóþò êàêèå-òî ïðåäïîëîæåíèÿ (íå îñíîâàííûå íà íàáëþäåíèÿõ x1 ; y1 ; : : : ; xn ; yn ).Íàïðèìåð, ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî 0 èëè 0 , ãäå 0 çàäàííîå çíà÷åíèå.  òàêîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî ïîñòàâèòü âîïðîñ îïðîâåðêå ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ïî èìåþùèìñÿ íàáëþäåíèÿì.Ç à ì å ÷ à í è å î ò å ð ì è í î ë î ã è è. Ïðè îðìèðîâàíèèñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ äåëàòü òå èëè èíûåïðåäïîëîæåíèÿ î ñâîéñòâàõ íàáëþäåíèé, ñâÿçè ïåðåìåííûõ è ïàðàìåòðîâ, ñâîéñòâàõ ñëó÷àéíûõ îøèáîê è ò.ä. ×òîáû âûäåëèòü òåïðåäïîëîæåíèÿ, êîòîðûå ìû ñîáèðàåìñÿ ïðîâåðèòü ïî íàáëþäåíèÿì, ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ãèïîòåçàìè, òî÷íåå ñòàòèñòè÷åñêèìè ãèïîòåçàìè.^âàëüíîãîäîâåðèòåëüíîãî èíòåð-=()()2018y16141210864y = 5.87 + 0.275 (t - 1944)2t0194019501960197019801990èñ.
1.1.5. Äèíàìè÷åñêèé ðÿä óðîæàéíîñòè çåðíîâûõ êóëüòóð âÑÑÑ çà 19451989 ãã.19Âòîðîé ïðèìåð ëèíåéíîé ðåãðåññèè: óðîæàéíîñòü çåðíîâûõ âÑÑÑ, ïî äàííûì À. Ìàíåëëè. Ìîäåëü: yta bt "t , t êàëåíäàðíûé ãîä.= + +1.3. Ôèíàíñîâûå äàííûå 11.3.1. ×òî òàêîå èíàíñîâûå äàííûå?Âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû, ïî ñâîåìó èñòîðè÷åñêîìó ïðîèñõîæäåíèþ ýòîîïðåäåëåííàÿ ãðóïïà ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Âïðî÷åì,è ïðè ñàìîì èõ âîçíèêíîâåíèè ñîâåðøàëèñü ïîïûòêè ïðèìåíåíèÿâ îáëàñòÿõ ãîðàçäî áîëåå øèðîêèõ, ÷åì óíäàìåíòàëüíàÿ èëè ïðèêëàäíàÿ èçèêà. Ñòðàõîâàíèå, äåìîãðàèþ è äàæå âåðîÿòíîñòèñóäåáíûõ ïðèãîâîðîâ ìîæíî íàéòè â ñòàðèííûõ òðàêòàòàõ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
