Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ä.) è îñíîâíûå ìåòîäû (íàèìåíüøèå êâàäðàòû, ìàêñèìàëüíîåïðàâäîïîäîáèå, íåïàðàìåòðè÷åñêèé ïîäõîä è ò. ä.) ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ìû çíàêîìèì ñ íèìè íàøèõ ñëóøàòåëåé íà ïðèìåðå ëèíåéíîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè êàê â ãàóññîâñêîé, òàê èâ íåïàðàìåòðè÷åñêîé ïîñòàíîâêàõ. Ïåðâàÿ ÷àñòü êóðñà ïîñâÿùåíà îïòèìàëüíûì ñòàòèñòè÷åñêèì âûâîäàì äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëàíàáëþäåíèé. Íåñêîëüêî îñîáíÿêîì â íåé ñòîÿò äâå ëåêöèè, ãäåðàññêàçàíî îá óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèÿõ (ïî Êîëìîãîðîâó).
Ýòà òåìà îòíîñèòñÿ, ñêîðåå, ê òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, íî ïîîñîáåííîñòÿì ó÷åáíîãî ïëàíà ïåðåíåñåíà â êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîéñòàòèñòèêè. Óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ íåîáõîäèìû äëÿèçëîæåíèÿ íåñìåùåííîãî îöåíèâàíèÿ ñ ìèíèìàëüíîé äèñïåðñèåé òåîðåòè÷åñêîãî îñíîâàíèÿ äëÿ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ,è äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé òåîðèè U-ñòàòèñòèê.Âî âòîðîé ÷àñòè íà ïðèìåðå âûáîðêè èçëîæåí àñèìïòîòè÷åñêèé ïîäõîä ê àíàëèçó äàííûõ, êîãäà îáúåì âûáîðêè íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò.Áîëüøèì íåäîñòàòêîì êóðñà, êîòîðûé åãî àâòîð ïîëíîñòüþ ñîçíàåò, ÿâëÿåòñÿ êàê îòñóòñòâèå çàäà÷ ñ ÷èñëîâûìè (ðåàëüíûìè)äàííûìè, òàê è îòñóòñòâèå ïðèìåðîâ, ãäå áû òàêèå äàííûå îáðàáàòûâàëèñü. Íî îïûò ïðåïîäàâàíèÿ óáåäèë àâòîðà â òîì, ÷òî ñðåäèñòóäåíòîâ àêóëüòåòà òåîðåòè÷åñêîé ìàòåìàòèêè (êàêîâ ìåõ-ìàò)ïîäîáíûå çàäà÷è íå íàõîäÿò ìíîãî ïðèâåðæåíöåâ.Àâòîð è ðåäàêòîð áëàãîäàðÿò Å.
Ñàîíîâó çà ïîìîùü â ïîäãîòîâêå ýëåêòðîííîãî âàðèàíòà ðóêîïèñè.7Ïðîãðàììà êóðñà ëåêöèéI. Íà÷àëà òåîðèè îöåíèâàíèÿ.1. Ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè. Ïðèìåðû: âûáîðêà, ëèíåéíàÿãàóññîâñêàÿ ìîäåëü.2. Òåîðåìà ëèâåíêî.3. Íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ òåîðèè îöåíèâàíèÿ: óíêöèè óùåðáà è ðèñêà, äîïóñòèìûå è áàéåñîâñêèå îöåíêè. Íåñìåùåííîå îöåíèâàíèå,êâàäðàòè÷íûé ðèñê.4. Íåðàâåíñòâî èíîðìàöèè (íåðàâåíñòâî Êðàìåðà-àî) äëÿ ðåãóëÿðíûõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ: íåïðåðûâíûå è äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ.5.
Ýåêòèâíûå îöåíêè, ýêñïîíåíöèàëüíûå ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé.6. Ìíîãîìåðíîå íåðàâåíñòâî Êðàìåðà-àî.7. Äîñòàòî÷íûå ñòàòèñòèêè: îïðåäåëåíèå, ïðèìåðû.8. Äîñòàòî÷íûå ñòàòèñòèêè â ñëó÷àå íîðìàëüíîé âûáîðêè. Âûáîðî÷íûå êîýèöèåíòû àñèììåòðèè è ýêñöåññà.9. Òåîðåìà àêòîðèçàöèè (äîêàçàòåëüñòâà äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ñëó÷àåâ).10. Óëó÷øåíèå íåñìåùåííûõ îöåíîê ïóòåì èõ óñðåäíåíèÿ ïî äîñòàòî÷íûì ñòàòèñòèêàì: îäíîìåðíàÿ òåîðåìà Áëåêâåëëà-àî.11. Ìíîãîìåðíàÿ òåîðåìà Áëåêâåëëà-àî.12. Ïîëíûå äîñòàòî÷íûå ñòàòèñòèêè: îïðåäåëåíèå, ïðèìåðû, åäèíñòâåííîñòü íàèëó÷øåé íåñìåùåííîé îöåíêè.II.
Óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè.13. Íàïîìèíàíèÿ: âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà, ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü ìåð, ïðîèçâîäíàÿ àäîíàÍèêîäèìà.14. Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îòíîñèòåëüíî ñèãìà-àëãåáðû: îïðåäåëåíèå.15. Íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ.16. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè, óñëîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ.17.
Ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé: E X jY äëÿ ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y .18. Íåêîòîðûå äàëüíåéøèå ñâîéñòâà óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõîæèäàíèé.  ÷àñòíîñòè: E ' Y X jY' Y E X jY ; óñëîâíàÿ((( )8))= ( ) ()äèñïåðñèÿ, íàèëó÷øèé êâàäðàòè÷íûé ïðîãíîç.19. Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ E X jY .()Ø. Îöåíèâàíèå â ëèíåéíîé ìîäåëè.20. åãðåññèîííûå è àêòîðíûå (ñ îäíèì è äâóìÿ àêòîðàìè) ëèíåéíûå ìîäåëè.21. Äîñòàòî÷íûå ñòàòèñòèêè â ëèíåéíîé ãàóññîâñêîé ìîäåëè.22. Ëåììà îá îðòîãîíàëüíûõ ðàçëîæåíèÿõ ñëó÷àéíîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà. àñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò (öåíòðàëüíûå è íåöåíòðàëüíûå).23. Íàèëó÷øèå íåñìåùåííûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ â ëèíåéíîé ãàóññîâñêîé ìîäåëè, èõ ðàñïðåäåëåíèÿ.24.
Âû÷èñëåíèå îöåíîê íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ â ìîäåëè ëèíåéíîéðåãðåññèè.25. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè äëÿ ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîé âûáîðêè.àñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà (öåíòðàëüíîå è íåöåíòðàëüíîå).26. Äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû äëÿ âåðîÿòíîñòè óñïåõà â èñïûòàíèÿõÁåðíóëëè.27. Äîâåðèòåëüíûå ýëëèïñîèäû äëÿ ïàðàìåòðîâ ëèíåéíîé ãàóññîâñêîé ìîäåëè. Ý-îòíîøåíèÿ è ý-ðàñïðåäåëåíèÿ.IV. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç.28.
Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç: îáùèå ïðèíöèïû è îñíîâíûåïîíÿòèÿ (êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî, óðîâåíü çíà÷èìîñòè, àëüòåðíàòèâû, îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäîâ, óíêöèÿ ìîùíîñòè).29. Ëåììà Íåéìàíà-Ïèðñîíà.30. Ïîíÿòèå î ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûõ êðèòåðèÿõ è ïðèìåð:ïðîâåðêà ãèïîòåçû 0 ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû > 0 (ïî ðåçóëüòàòàì èñïûòàíèé Áåðíóëëè, çäåñü âåðîÿòíîñòü óñïåõà).31. Ñâÿçü ìåæäó ïðîâåðêîé ãèïîòåç è äîâåðèòåëüíûì îöåíèâàíèåì.32. Ïðîâåðêà ëèíåéíûõ ãèïîòåç â ãàóññîâñêèõ ëèíåéíûõ ìîäåëÿõñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèé.33.
Îäíîàêòîðíûé äèñïåðñèîííûé àíàëèç: ïðîâåðêà íóëåâîé ãèïîòåçû (î ðàâåíñòâå ýåêòîâ îáðàáîòêè).34. Äâóõàêòîðíûé äèñïåðñèîííûé àíàëèç (àääèòèâíàÿ ìîäåëü,îäíî íàáëþäåíèå â êëåòêå): ïðîâåðêà íóëåâîé ãèïîòåçû (î ðàâåíñòâå ýåêòîâ îáðàáîòêè).35. Äâå ãàóññîâñêèå âûáîðêè, ìîãóùèå îòëè÷àòüñÿ ñäâèãîì: ïðî9âåðêà ãèïîòåçû î èõ îäíîðîäíîñòè. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿïàðàìåòðà ñäâèãà.36. àíãè íàáëþäåíèé. Ñòàòèñòèêà ðàíãîâûõ ñóìì Wm;n (Óèëêîêñîí) äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû îá îäíîðîäíîñòè äâóõ âûáîðîê. Âû÷èñëåíèå EWm;n è DWm;n ïðè ãèïîòåçå.37. Òî÷å÷íûå è èíòåðâàëüíûå îöåíêè äëÿ ñäâèãà îäíîé âûáîðêèîòíîñèòåëüíî äðóãîé ïîìîùüþ ñòàòèñòèêè ðàíãîâûõ ñóìì Óèëêîêñîíà.38.
Ñòàòèñòèêà Ìàííà-Óèòíè Um;n è åå ñâÿçü ñ Wm;n .39. Òåîðåìà Ñëóöêîãî.40. Òåîðåìà îá àñèìïòîòè÷åñêîé íîðìàëüíîñòè äâóõâûáîðî÷íûõU - ñòàòèñòèê.41. Àñèìïòîòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèê Ìàííà-Óèòíè Um;nè Óèëêîêñîíà Wm;n ïðè m; n ! 1.V. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû îöåíèâàíèÿ è ïðîâåðêà ãèïîòåç.42.
Ìåòîä íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Íåðàâåíñòâà òåîðèè èíîðìàöèè.43. Ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíîê íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ (âûáîðêà, îäíîìåðíûé ïàðàìåòð).44. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü îöåíîê íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ (âûáîðêè èç ðåãóëÿðíûõ ñåìåéñòâ ðàñïðåäåëåíèé).45. Óñòîé÷èâîñòü îöåíîê, óíêöèè âëèÿíèÿ, ïðèìåðû.46.
Ì-îöåíêè è èõ óíêöèè âëèÿíèÿ.47. Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà Ì-îöåíîê ýâðèñòè÷åñêèé âûâîäñ ïîìîùüþ óíêöèé âëèÿíèÿ.48. Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ê.Ïèðñîíà äëÿ ïðîñòîé ãèïîòåçû; òåîðåìàÊ.Ïèðñîíà.49. Êðèòåðèè òèïà Ïèðñîíà-Ôèøåðà äëÿ ñëîæíûõ ãèïîòåç (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ ïîòàáëèöå ñîïðÿæåííîñòè.10Ëåêöèÿ 1. Âñòóïëåíèå: ÷åì è êàê çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêàÌàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó ìîæíî îïèñàòü êàê íàóêó î òîì,êàê äåëàòü âûâîäû èç íàáëþäåíèé (èçìåðåíèé, ñîîáùåíèé è ò.ï.),êîòîðûå ïîäâåðæåíû äåéñòâèþ ñëó÷àÿ, à òàêæå è î òîì, êàê ñîáèðàòü òàêèå ñâåäåíèÿ (ò. å. íàáëþäàòü, èçìåðÿòü è ò.
ä.). Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, áóäó÷è íàóêîé ìàòåìàòè÷åñêîé, îðèåíòèðîâàíàíà ïðèëîæåíèÿ. Èç ïðèëîæåíèé ïðèõîäÿò çàäà÷è, êîòîðûìè çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà è äëÿ êîòîðûõ îíà ñîçäàåò ñâîèòåîðèè. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû íóæíû âñþäó, ãäå åñòü èçìåðåíèÿ(â øèðîêîì ñìûñëå) è ãäå åñòü íåîáõîäèìîñòü äåéñòâèé ñ íèìè (èõîáðàáîòêà).  ïåðâóþ î÷åðåäü ýòî åñòåñòâåííûå íàóêè è òåõíèêà,íî òàêæå ìåäèöèíà, ïñèõîëîãèÿ, íàóêè î ñåëüñêîì õîçÿéñòâå, ýêîíîìèêà è ò.ä.
Ýêîíîìåòðèÿ, áóäó÷è ÷àñòüþ ýêîíîìè÷åñêîé íàóêè,ïî ñóòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïåöèàëèçèðîâàííûé ðàçäåë ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. 1. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè è çàäà÷è ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðîñòûõ ïðèìåðîâ.Íà ýòèõ ïðèìåðàõ ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ òåì, êàêèì ìîæåò áûòü ñòàòèñòè÷åñêèé ìàòåðèàë (óïîìÿíóòûå âûøå íàáëþäåíèÿ), êàê ñòàâÿòñÿ çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè è êàêèìè îíè áûâàþò.Òàê ìû ïðèäåì ê îáùåé (àáñòðàêòíîé) ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè.
Ïîïóòíî ìû óâèäèì, êàêèì îáðàçîì ñòàòèñòè÷åñêèé ìàòåðèàë ìîæíîïðåäñòàâèòü íàãëÿäíî.1.1. Ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü: âûáîðêàÝòîò ïðèìåð ÿ çàèìñòâóþ èç ñòàðîé êíèãè À. Õàëüäà [Õàëüä À.Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ñ òåõíè÷åñêèìè ïðèëîæåíèÿìè. Ì.:Èçä-âî Èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1956. 664 ñ.℄. Õàëüä ïðèâîäèòðåçóëüòàòû èçìåðåíèé 200 çàêëåïîê, ñëó÷àéíî îòîáðàííûõ äëÿýòîãî â ïðîöåññå ïðîèçâîäñòâà.Ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ, âûáðàííûõ èç îáùåé ñîâîêóïíîñòèäëÿ ïîñëåäóþùåãî èçó÷åíèÿ, íàçûâàþò(). (Ó ýòîãî ñëîâà íåñêîëüêî çíà÷åíèé.
Äðóãèå íàì âñòðåòÿòñÿ ïîçæå). Ñîâîêóïíîñòü, èç êîòîðîé èçâëå÷åíà âûáîðêà, íàçûâàþòâûáîðêîé sampleãåíåðàëüíîé11ñîâîêóïíîñòüþ, ïîïóëÿöèåé (population) è ò. ä. Ñòàòèñòèêà óïîòðåáëÿåò ýòè òåðìèíû êàê äëÿ êîíå÷íûõ, òàê è äëÿ áåñêîíå÷íûõñîâîêóïíîñòåé, êàê ðåàëüíî ñóùåñòâóþùèõ, òàê è ïðèìûñëèâàåìûõ ê âûáîðêàì. Õàëüä ïðèâîäèò äàííûå â òîì ïîðÿäêå, êàê îíèïîñòóïàëè. Ïåðâè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå äàííûõ òàáëèöà.Òàáëèöà 1.1.1.13.3913.4213.3813.5313.5113.3013.4013.4013.2813.4313.4613.5313.5513.2913.2413.3413.5413.6613.4313.4213.3813.3413.5713.2613.33Äèàìåòðû13.43 13.5413.50 13.3213.44 13.5213.53 13.3913.48 13.6213.48 13.4013.34 13.2313.36 13.4513.59 13.4713.35 13.5613.44 13.4213.34 13.4513.33 13.3213.25 13.4413.28 13.5813.49 13.5013.33 13.3613.26 13.4013.26 13.5013.55 13.3713.54 13.3013.37 13.5013.31 13.4013.37 13.2813.33 13.31200 ãîëîâîê çàêëåïîê,13.64 13.40 13.5513.31 13.28 13.5213.53 13.37 13.3313.57 13.51 13.3413.58 13.57 13.3313.57 13.51 13.4013.37 13.48 13.4813.48 13.29 13.5813.46 13.62 13.5413.51 13.47 13.4013.29 13.41 13.3913.42 13.29 13.3813.69 13.46 13.3213.60 13.43 13.5113.31 13.31 13.4513.38 13.48 13.4313.46 13.23 13.4413.52 13.59 13.4813.38 13.43 13.3413.41 13.38 13.1413.18 13.32 13.4613.61 13.42 13.3213.36 13.28 13.5813.39 13.32 13.2013.45 13.39 13.45ìì13.4013.4613.2413.3913.5113.5213.6213.4413.2013.2913.5013.4513.3213.4313.4313.3713.3813.4613.4113.4213.3913.3513.5813.4313.4113.2613.6313.1313.4713.4014.5613.3513.5613.3813.2013.4813.5013.4813.3813.4413.2913.2713.4013.2413.5213.3513.4013.3813.3413.45Òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå äàííûõ íå äàåò î íèõ áûñòðîãî è ÿñíîãî ïîíÿòèÿ.
Äëÿ ýòîãî íóæíû èíûå îðìû áîëåå íàãëÿäíûå èîáîáùåííûå. Ïðèåìû òàêîãî ðîäà îáðàçóþò òàê íàçûâàåìóþ îïèñàòåëüíóþ ñòàòèñòèêó. Êîå-êàêèå èç íèõ ìû ñåé÷àñ èñïîëüçóåì.(, ðèñ. 1.1.1) â íàøåì ñëó÷àåñòðîèòñÿ òàê. Íà îñè àáñöèññ âûáèðàåì òàêîé ìàñøòàá, ÷òîáû íàÒî÷å÷íàÿ äèàãðàììà satter diagram12ëèñòå áóìàãè (íà ýêðàíå) ìîæíî áûëî óäîáíî ðàçìåñòèòü âñå (èëèïî÷òè âñå ñì.
íèæå) íàáëþäåíèÿ. Êàæäîå íàáëþäåííîå çíà÷åíèåäàëåå ïðåäñòàâëÿåì òî÷êîé ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ ðàñïîëàãàåòñÿ íàäîñüþ àáñöèññ è àáñöèññà êîòîðîé ðàâíà ýòîìó çíà÷åíèþ. èñ. 1.1.1,ïîëó÷åííûé òàêèì ñïîñîáîì, äàåò î äàííûõ òàáëèöû ãîðàçäî áîëååÿñíîå ïðåäñòàâëåíèå. Ïðè ïîñòðîåíèè ìû îáíàðóæèâàåì, ÷òî îäíîèç ÷èñåë âûáîðêè èìåííî, 14.56 äàëåêî îòñòóïàåò îò îñíîâíîéìàññû íàáëþäåíèé.
Ýòî ÷èñëî ÿâíûé "âûáðîñ". Íà íåãî ñëåäóåòîáðàòèòü âíèìàíèå. Íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî âûáðîñîâ ïðèñóòñòâóåòâ âûáîðêàõ äîâîëüíî ÷àñòî. Ïîðîé îíè ñòîëü âåëèêè, ÷òî ïðè ðàçóìíî âûáðàííîì ìàñøòàáå èì íå îñòàåòñÿ ìåñòà íà ãðàèêå (êàêýòî ñëó÷èëîñü è ó íàñ). Î òîì, êàê îòíîñèòüñÿ ê âûáðîñàì, ìûáóäåì ãîâîðèòü â ñâîåì ìåñòå.  äàííîì ñëó÷àå âûáðîñ ÿâíàÿîïå÷àòêà. Åå íàäî ëèáî èñïðàâèòü (íà 13.56, ïî-âèäèìîìó), ëèáîýòî ÷èñëî ïðîñòî óäàëèòü.1412108642013.013.113.213.313.413.513.613.713.8èñ. 1.1.1. Òî÷å÷íàÿ äèàãðàììà äèàìåòðîâ ãîëîâîê çàêëåïîê (ïîäàííûì òàáë.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
