Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ñëåäîâàòåëüíî,n fsupjFn (x) F (x)j < "g:x32Äëÿ íåïðåðûâíûõ F () äîêàçàòåëüñòâî îêîí÷åíî, ïîñêîëüêóP fng > 1 Æ äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n (äëÿ n>N = N ("; Æ)).Äëÿ óíêöèé ñ ðàçðûâàìè òî æå äîêàçàòåëüñòâî ïðîõîäèò ñíåêîòîðûìè èçìåíåíèÿìè. Âçàìåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (a0 ; a1 ;: : :;aR ,ðàññìîòðèì êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü)1 = b0 < b1 < : : : < bK = 1òàêóþ, ÷òî ïðèðàùåíèå F () íà êàæäîì èíòåðâàëå (bk 1 ; bk ) ,k = 1; K , íå ïðåâîñõîäèò "=2:jF (bk 0) F (bk 1 + 0)j 2" :(Ïèøåì ïðåäåëû ñëåâà è ïðåäåëû ñïðàâà âìåñòî òîãî, ÷òîáû âîäíîì ñëó÷àå íàïèñàòü çíà÷åíèå óíêöèè â òî÷êå, ñ òåì, ÷òîáûâûêëàäêà ãîäèëàñü äëÿ îáîèõ îïðåäåëåíèé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: äëÿ P fxi xg è äëÿ P fxi < xg).Êàê ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ïîêàçàíî íàðèñ. 1.2.3.y = F(x){_2bk,/2{x_2bkbk-1èñ.
1.2.3. Ôðàãìåíò ãðàèêà óíêöèèíåñêîëüêî òî÷åê ðàçáèåíèÿ bkbk+1y = F (x). Îòìå÷åíû1 ; bk ; bk+1 . ÷àñòíîñòè, â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (b0 ; b1 ; : : : ; bK ) âîéäóò âñåòî÷êè ñêà÷êîâ óíêöèè F , â êîòîðûõ ñêà÷îê ïðåâîñõîäèò "=(èõ êîíå÷íîå ÷èñëî).()233Ñîáûòèå n , êîòîðîå ðàíåå áûëî ñâÿçàíî ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ (a1 ; a2 ; : : : ; aR 1 ), òåïåðü îïðåäåëèì òàê:n0)j< 2"oÏî òåîðåìå Áåðíóëëè (êàê è ðàíüøå), äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõnn =max1kK 1 jFn (bk +0)F (bk +0)j; jFn (bk0)F (bk:P fn g > 1 Æ:Ñ ýòèì èçìåíåíèåì äîêàçàòåëüñòâî ïðîõîäèò òàê æå, êàê èðàíüøå.
(Äëÿ êðàéíèõ îòðåçêîâ 1 è R â âûêëàäêè âõîäÿò çíà÷åíèÿ óíêöèé Fn : è F : â òî÷êàõ a01 è aR 1. Äëÿ ýòèõçíà÷åíèé àðãóìåíòà îðìàëüíî ïîëàãàåì Fn 1F 1,Fn 1 F 1). Ìû äîêàçàëè, ÷òî Fn ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê F ïî âåðîÿòíîñòè.Áîëåå ñèëüíàÿ îðìà ýòîé òåîðåìû (êîòîðàÿ è áûëà äîêàçàíà ååàâòîðàìè: ëèâåíêî äëÿ íåïðåðûâíîãî ñëó÷àÿ, Êàíòåëëè äëÿîáùåãî) óòâåðæäàåò ñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýòèìè äâóìÿ òåîðåìàìè î ñõîäèìîñòè Fnê F òàêîå æå, êàê ìåæäó ïðîñòî çàêîíîì áîëüøèõ ÷èñåë è óñèëåííûì çàêîíîì áîëüøèõ ÷èñåë.
(Òåîðåìà ëèâåíêî-Êàíòåëëè è åñòüçàêîí áîëüøèõ ÷èñåë â óíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå).Âïðî÷åì, äëÿ ïðàêòèêè, èìåþùåé äåëî ñ êîíå÷íûìè âûáîðêàìè, ñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 äàåò íå áîëüøå, ÷åì ñõîäèìîñòüïî âåðîÿòíîñòè: åñëè n ! (ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ëè, ïî âåðîÿòíîñòè ëè), òî äëÿ äàííîé íàì âûáîðêè (äëÿ äàííîãî n) ýòî îçíà÷àåòëèøü, ÷òî n ïðèáëèæåííî ðàâíà (åñëè, ê òîìó æå, "n äîñòàòî÷íî âåëèêî"). Ïîýòîìó â êóðñå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî"ñëàáûå" ïðåäåëüíûå òåîðåìû, óòâåðæäàþùèå ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè, äàæå åñëè èçâåñòíû èõ óñèëåííûå âàðèàíòû.()( )= ( )=1() =(=)= ()=0 3. ëàçîìåðíàÿ ïðîâåðêà ïðåäïîëîæåíèé î òèïåðàñïðåäåëåíèÿÒåîðåìà ëèâåíêî ïîçâîëÿåò ïî âûáîðî÷íîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (îáúåêòó íàáëþäàåìîìó) ñóäèòü î óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êîòîðûå îáðàçóþò ýòó âûáîðêó.
Ýòó èñòèííóþ óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ èíîãäà â ïðîòèâîïîëîæíîñòüâûáîðî÷íîé íàçûâàþò(õîòÿ ÷àñòî íèêàêîé òåîðèè çà íåé íå ñòîèò). Òàê â ïðèìåðå èç 1.1, åñëè ðàçìåðû çàêëå-òåîðåòè÷åñêîé34ïîê ñîñòàâëÿþò âûáîðêó èç íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, òî âûáîðî÷íàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ y Fn x (çäåñü n) äîëæíà áûòüáëèçêàêíåêîòîðîéíîðìàëüíîéóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ= ()y=x a, ãäåaè= 200 êàêèå-òî ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî çà-êîíà, íåèçâåñòíûå íàáëþäàòåëþ (a ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå).
Ê ñîæàëåíèþ, íåâîçìîæíî ñêàçàòü,òàê ëè ýòî, ïðîñòî ãëÿäÿ íà ãðàèê yFn x (ñì. ðèñ. 1.2.1à)).Äëÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðîâåðîê îáñóæäàåìîãî ïðåäïîëîæåíèÿ åñòüðàçëè÷íûå òî÷íûå ìåòîäû, íî î íèõ ëó÷øå ãîâîðèòü íå ñåé÷àñ. Àñåé÷àñ ñòîèò ïîçíàêîìèòüñÿ ñ õîðîøèì ãëàçîìåðíûì ñïîñîáîì äëÿïðîâåðêè íîðìàëüíîñòè. Äëÿ ýòîãî íàäî èçîáðàçèòü çàâèñèìîñòè= ()y = Fn (x)èxy=aâ èíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Âçàìåí ïåðåìåííîé y ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ z , ïîëîæèâ z 1 y .
Çäåñü 1 : îáîçíà÷àåò óíêöèþ, îáðàòíóþ óíêöèè Ëàïëàñà : . (Òàê êàê : ìîíîòîííîâîçðàñòàþùàÿ óíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê íåé ñóùåñòâóåò). ż òàêæåíàçûâàþòñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. ż òàáëèöû åñòü, êàê ïðàâèëî, âî âñÿêîì ñáîðíèêå ñòàòèñòè÷åñêèõòàáëèö.  íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óíêöèÿ=()()()()óíêöèåé êâàíòèëåéy=x a=x aïåðåõîäèò â ëèíåéíóþ óíêöèþ z, à å¼ãðàèê â ïðÿìóþ ëèíèþ. Ïðè ýòîì âñÿêîå îòñòóïëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ y F x îò íîðìàëüíîãî ïîðîæäàåò îòêëîíåíèå ãðàèêà z 1 F x îò ïðÿìîé ëèíèè.
ëàçíåìåäëåííîýòè îòêëî== ()( ( ))íåíèÿ çàìå÷àåò. ÏîñêîëüêóFn (x) x a, ãðàèê óíêöèèy = Fn (x) íà ïëîñêîñòè (x; z ), îñòàâàÿñü ñòóïåí÷àòîé ëîìàíîé ëè-íèåé, äîëæåí ïîäõîäèòü áëèçêî ê ýòîé ïðÿìîé. (Ñì. ãðàèê íàðèñ. 1.2.1b). Ýòîò ãðàèê ïîäòâåðæäàåò, ÷òî ÷èñëà òàáëèöû 1.1.1ìîæíî ñ÷èòàòü íîðìàëüíîé, èëè ãàóññîâñêîé âûáîðêîé).Îïèñàííûé ìåòîä, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ñîïîñòàâëÿòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íîðìàëüíûìè ñ ïîìîùüþ íîðìàëüíîé âåðîÿòíîñòíîé áóìàãè, ìîæåò áûòü ïîëåçåí è â äðóãèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ. Ïðèìåíèìåãî, ÷òîáû ñîñòàâèòü ïðåäñòàâëåíèå î õàðàêòåðå ñõîäèìîñòè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ê íîðìàëüíîìó.Í î ð ì à ë ü í à ÿ à ï ï ð î ê ñ è ì à ö è ÿ äëÿ áèíîìèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé.
Íà ðèñ. 1.3.1 èçîáðàæåíû óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíîãî ÷èñëà óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè.351.00I0.75IIIII0.500.25n = 10p = 0.2p = 0.5S100.00051015202530354045501.000.75II0.50IIII0.250.00n = 25p = 0.2p = 0.5S25051015202530354045501.000.75IIII0.50n = 50p = 0.2p = 0.5II0.25S500.0005101520253035404550èñ. 1.3.1. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíîãî ÷èñëà óñïåõîââ n èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè ïðè ðàçíûõ n= 10; 25; 50; äëÿ âåðîp = 0;2 è p = 0; 5.×èñëî èñïûòàíèé n ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ nÿòíîñòè óñïåõà ðàññìîòðåíû äâå âîçìîæíîñòè:y npP fSn < yg p, ènpqòî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ðîñòîì n.
Âèäíî, ÷òî ïðèóâåëè÷åíèè n ãðàèêè óíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñòåïåííî ïðèîáÑîãëàñíî òåîðåìå Ìóàâðà-Ëàïëàñà,ðåòàþò îðìó, íàïîìèíàþùóþ óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîãî çàêîíà ñ òîé îãîâîðêîé, ÷òî óíêöèè áèíîìèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñòóïåí÷àòûå, à íîðìàëüíûå óíêöèè íåïðåðûâíû.Âïðî÷åì, íà-ãëàç òðóäíî ñóäèòü, âåëèêî ëè ýòî ñõîäñòâî.Ïðè ïîñòðîåíèè òåõ æå ãðàèêîâ íà âåðîÿòíîñòíîé áóìàãå(ðèñ. 1.3.2) ñõîäñòâî ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñòàíîâèòñÿ ÿâíûì ýòè ãðàèêè "âûïðÿìëÿþòñÿ".Ñòîëü æå ÿñíûì ñòàíîâèòñÿ è õàðàêòåð îòñòóïëåíèé îò íîðìàëüíîãî çàêîíà, ñâÿçàííûé ñ äèñêðåòíîñòüþ áèíîìèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé. ßñíî âèäíî, íàïðèìåð, ÷òî äëÿ öåëûõ y âåëè÷èíó36%I99.997I97.700II50.000II2.3000.003S05p = 0.2p = 0.5n = 1010101520253035404550%99.997II97.700IIII50.0000.003p = 0.2p = 0.5n = 252.300S0510152025253035404550%III99.997n = 5097.70050.0002.300I0.003II0510152025p = 0.2p = 0.53035S50404550èñ.
1.3.2. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ÷èñëà óñïåõîâ â nèñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè íà íîðìàëüíîé âåðîÿòíîñòíîé áóìàãå y np P fSn yg ñëåäóåò ïðèáëèæàòü íå ñ ïîìîùüþ p, à ñ ïînpq y + 0:5 np 5 npìîùüþ pnpq , èáî ðàçíîñòü P fSn yg y +p0:npq y np ìíîãî ìåíüøå, ÷åì P fSn y g p. Ïîñëåäíÿÿ âåëè÷ènpq íà, â ñèëó ëîêàëüíîéïðåäåëüíîé òåîðåìû Ìóàâðà-Ëàïëàñà, èìååòïîðÿäîê1O pn, ò.å. óáûâàåò âåñüìà ìåäëåííî ïðè óâåëè÷åíèèn. Ïåðåõîä îò àðãóìåíòà y ê y + 0:5 ïðè âû÷èñëåíèè P fSn yg ñïîìîùüþ íîðìàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ p = q =0:5 óëó÷1 . Ýòó ïîïðàâêó â àðãóìåíòåøàåò ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè äî Oníàçûâàþò ïîïðàâêîé íà íåïðåðûâíîñòü. Çàìåòèì, ÷òî ïî òåì æåïðè÷èíàì äëÿ âû÷èñëåíèÿ P fSn y g íàäî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ1y5 npp0:npq.Ïðèåì, êîòîðûé âûøå áûë èñïîëüçîâàí äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñ37ïðåäåëåíèÿ, èìååò âåñüìà îáùèé õàðàêòåð è ïîäõîäèò äëÿ âñåõò.í. ìàñøòàáíî-ñäâèãîâûõ ñåìåéñòâ ðàñïðåäåëåíèé.Òàê íàçûâàþòðàñïðåäåëåíèÿ ñ óíêöèÿìè âèäàGx a, ãäåG(:) íåêîòî-ðàÿ çàäàííàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ("ñòàíäàðòíàÿ"), à ÷èñëà aè > ïàðàìåòðû ñäâèãà è ìàñøòàáà.
Äëÿ âûÿâëåíèÿ ñõîäñòâàçàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (íàïðèìåð, âûáîðî÷íîãî) ñ êàêèì-ëèáî÷ëåíîì óêàçàííîãî ìàñøòàáíî-ñäâèãîâîãî ñåìåéñòâàíàäî ðàññìàò0ðèâàòü ãðàèêè óíêöèé y(x; z), ãäå z = G 1 (y).= Fn (x) è y = Gx aíà ïëîñêîñòèàññìîòðèì êàê ïðèìåð ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñîñðåäîòî÷åíî íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè, åãî óíêöèÿ F xx= (äëÿ x ) ñîäåðæèò ìàñøòàáíûéïàðàìåòð > .
Îïèñàííûé ïðèåì ïðåâðàùåíèÿ çàâèñèìîñòè âëèíåéíóþ â ýòîì ñëó÷àå óäîáíî ïðèìåíèòü íå ê óíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ, à ê èõ äîïîëíåíèÿì äî åäèíèöû:( ) = 1 exp(0)0R(x) = 1 F (x); Rn (x) = 1 Fn (x):()óíêöèåé äîæèòèÿ survival funtionÔóíêöèþ R x íàçûâàþò().Åñëè ñëó÷àéíîå âðåìÿ ðàáîòû (æèçíè) èçäåëèÿ, òîRxP f xg åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èçäåëèå ïðîñëóæèò íå ìåíüøåå âðåìÿ, ÷åì x > . Rn x âûáîðî÷íàÿ óíêöèÿäîæèòèÿ.
Ïî òåîðåìå ëèâåíêî óíêöèè R x è Rn x äîëæíûáûòü áëèçêè, êîãäà n âåëèêî.Äëÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ R xx= äëÿ x .Åñëè ââåñòè ïåðåìåííóþ zy, òî ãðàèê óíêöèè yx=ïðåâðàòèòñÿ â ïðÿìóþ ëèíèþ: z x=. Åñëè âûáîðêà èçâëå÷åíà èçïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ãðàèê óíêöèè zRn xòîæå äîëæåí ïîõîäèòü íà ïðÿìóþ ëèíèþ (ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò).
Ñõîäñòâî (èëè íåñõîäñòâî) ãðàèêà ñ òàêîé ïðÿìîéïðè íåáîëüøîì íàâûêå ëåãêî îïðåäåëèòü íà-ãëàç.()=00= ln38=()()( )=exp(())0=exp( )= ln ( )Ëåêöèÿ 2. Íà÷àëà îöåíèâàíèÿ 1. Àáñòðàêòíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëüÈìååòñÿ íàáëþäåíèå X (òàê ìû îáîçíà÷àåì èìåþùèéñÿ ñòàòèñòè÷åñêèé ìàòåðèàë). Åãî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïðèðîäà íå âàæíà:ýòî ìîæåò áûòü íàáîð ÷èñåë; ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü; çàïèñü, ñäåëàííàÿ ñàìîïèñöåì, è ò.ï.). Ê èìåþùåìóñÿ íàáëþäåíèþX ìû ïðèìûñëèâàåì ìíîæåñòâî X , X 2 X , íàçûâàåìîå. ýòî ñîâîêóïíîñòü òàêèõ èñõîäîâ, êîòîðûå ìîãëè áû ïîÿâèòüñÿ â íàøåì îïûòå âìåñòî X . Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ýëåìåíò X áûë âûáðàí èçìíîæåñòâà X ñëó÷àéíî (ñëó÷àéíûé âûáîð), ñîãëàñíî íåêîòîðîìóðàñïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé íà X .Ýòî âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå P íà ìíîæåñòâå X íàì, êàêïðàâèëî, íå èçâåñòíî.
Èñõîäÿ èç óñëîâèé îïûòà, ìû ìîæåì óêàçàòüëèøü íåêîòîðûå ñâîéñòâà P . Èíà÷å ãîâîðÿ, ìû ìîæåì óêàçàòüñîâîêóïíîñòü P âåðîÿòíîñòíûõ ìåð íà X , êîòîðîé ïðèíàäëåæèòðàñïðåäåëåíèå P . ýòîé ñõåìå çàäà÷åé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ÿâëÿþòñÿ âûâîäû î ðàñïðåäåëåíèè P , êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü íà îñíîâàíèèíàáëþäåíèÿ X .Âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àÿõ (íå âñåõ!) ìíîæåñòâîP èìååò åñòåñòâåííóþ ïàðàìåòðèçàöèþ, òàê ÷òî P fP 2 g,ãäå çàäàííîå ïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî ïðèíàäëåæèò êîíå÷íîìåðíîìó (àðèìåòè÷åñêîìó) ïðîñòðàíñòâó.Ñòàòèñòè÷åñêèå çàäà÷è ÷àñòî ïðåäñòàâëÿþò â ïàðàìåòðè÷åñêîéîðìå.
 ýòîì ñëó÷àå íàñ èíòåðåñóþò âûâîäû î çíà÷åíèè .âûáîðî÷-íûì ïðîñòðàíñòâîì Âûáîðî÷íîå ïðîñòðàíñòâî=: 2. Îöåíèâàíèå: ïîñòàíîâêà çàäà÷è2.1. òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ëåêöèé ìû áóäåì îáñóæäàòü çàäà÷óîöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðà è/èëè óíêöèé îò . "Îöåíèòü" çäåñüîçíà÷àåò "Óêàçàòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå, îïèðàÿñü íà íàáëþäåíèå X ". åøàÿ ýòó çàäà÷ó, íå áóäåì îãðàíè÷èâàòü ñåáÿ åäèíñòâåííî èìåþùèìñÿ íàáëþäåíèåì X . Ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî âäðóãîì, íî àíàëîãè÷íîì îïûòå ìû ìîæåì âñòðåòèòü èíîå çíà÷åíèå X èç X .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
