Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 7
Текст из файла (страница 7)
À ïîòîìó áóäåì èñêàòü ïðàâèëî Æ , ïî êîòîðîìóêàæäîå âîçìîæíîå íàáëþäåíèå X èç X ïåðåñ÷èòûâàåòñÿ â çíà÷åíèå Æ X , êîòîðîå äàëåå âûñòóïàåò êàê ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå()( )39: ( )íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà Æ X . (Ëèáî êàê ïðèáëèæåííîåçíà÷åíèå äëÿ , åñëè íàñ èíòåðåñóåò íå ñàì ïàðàìåòð , à íåêîòîðàÿ óíêöèÿ îò íåãî.  ýòîì ñëó÷àå óíêöèÿ äîëæíà áûòüçàäàíà). Ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Æ X íàçûâàþò. Çàäà÷àñòàòèñòèêè: âûáðàòü ïðàâèëî Æ òàê, ÷òîáû îöåíèòü êàê ìîæíîëó÷øå (òî÷íåå).
Ïðè ýòîì ïðèäåòñÿ äàòü ïîíÿòèþ ñõîäñòâà (èëèîòëè÷èÿ) êàêóþ-ëèáî ðàçóìíóþ êîëè÷åñòâåííóþ ìåðó.()()îöåíêîé( )()2.2.Îáðàòèìñÿ ê íåêîòîðûì èç ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ïðèìåðîâè îáñóäèì, êàêèå çàäà÷è îöåíèâàíèÿ è êàêèå îöåíêè òàì âîçíèêàþò. Äëÿ äàííûõ èç ïðèìåðà ðàçäåëà 1.1 â êà÷åñòâå ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè ìû ïðèíÿëè âûáîðêó èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, âîçìîæíî, ñ çàñîðåíèåì. Ïàðàìåòðû ýòîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè, ïîêà îáîðóäîâàíèå ðàáîòàåò èñïðàâíî. Ïðè âûõîäå ýòèõ ïàðàìåòðîâ çà òåõíè÷åñêè ðàçðåøåííûå ãðàíèöû, ïðîèçâîäñòâî íàäî îñòàíîâèòü (è ïðîèçâåñòè åãî íàëàäêó).Äëÿ êîíòðîëÿ çà õîäîì ëþáîãî ìàññîâîãî ïðîèçâîäñòâà (â êîòîðîìñïëîøíàÿ ïðîâåðêà ïðîäóêöèè íåâîçìîæíà) íàäî âðåìÿ îò âðåìåíè áðàòü âûáîðêè ïðîäóêöèè, ïî êîòîðûì îöåíèâàòü ïàðàìåòðûðàñïðåäåëåíèÿ (â äàííîì ñëó÷àå ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî çàêîíà).Èòàê, ïóñòü x1 ; : : : ; xn âûáîðêà èç N a; 2 .
Ïîïóëÿðíûåîöåíêè äëÿ a:nX:xx.n i=1 i(âûáîðêè): med x1 ; : : : ; xn . Ïî îïðåäåëåíèþ,÷èñëîâîé ñîâîêóïíîñòè, íàçûâàþò òàêîå ÷èñëî (ñêàæåì, ), êîòîðîå äåëèò ýòó ñîâîêóïíîñòü ïîïîëàì: ÷èñëî ýëåìåíòîâ, êîòîðûåìåíüøå , ðàâíî ÷èñëó ýëåìåíòîâ, êîòîðûå áîëüøå . ×òîáû òî÷íåå (ñêîðåå, áîëåå îïåðàöèîííî) îïðåäåëèòü ìåäèàíó êîíå÷íîé ñîâîêóïíîñòè x1 ; : : : ; xn , óïîðÿäî÷èì åå ýëåìåíòû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ.
Äàäèì ýëåìåíòàì ýòîé óïîðÿäî÷åííîé ïî-íîâîìó ñîâîêóïíîñòè îáîçíà÷åíèÿ x(1) x(2) : : : x(n) . Âåëè÷èíû x(1) ; : : : ; x(n)íàçûâàþò, à âñþ èõ ñîâîêóïíîñòü. Åñëè èñõîäíóþ ñîâîêóïíîñòü x1 ; : : : ; xnñîñòàâëÿëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ è ïîðÿäêîâûå ñòàòèñòèêè. Äëÿ íå÷åòíîãî nm(m íàòóðàëüíîå ÷èñëî) med x1 ; : : : ; xnx(m) .
Äëÿ nm ìåäèàíîé ìîæíî íàçâàòü ëþáîå ÷èñëî èç èíòåðâàëà x(m) ; x(m+1) . Äëÿ(Ñðåäíåå àðèìåòè÷åñêîå = 1Ìåäèàíà()íîé)ìåäèà-ïîðÿäêîâûìè ñòàòèñòèêàìèâàðèàöèîííûì ðÿäîì(40)==2 1=2()îïðåäåëåííîñòè, â êà÷åñòâå ìåäèàíû áåðóò åãî ñåðåäèíó:(x1 ; : : : ; xn ) = x(m) +2x(m+1) :medÓñå÷åííîå ñðåäíåå n ìîæíî îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ ïîðÿäêîâûõñòàòèñòèê: äëÿk 2x+ : : : + x(n k) :x(k) = (k+1)n 2kÏðè âû÷èñëåíèè x(k) èç èñõîäíîé âûáîðêè èñêëþ÷àþò k ñàìûõìàëûõ è k ñàìûõ áîëüøèõ ÷ëåíîâ; ïî îñòàâøåéñÿ ñîâîêóïíîñòèâû÷èñëÿþò ñðåäíåå àðèìåòè÷åñêîå.
Ê óñå÷åííîìó ñðåäíåìó êàêê îöåíêå öåíòðà âûáîðêè èç ñèììåòðè÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèáåãàþò, ÷òîáû èñêëþ÷èòü âëèÿíèå êðàéíèõ ýëåìåíòîâ íàáëþäåííîé ñîâîêóïíîñòè. Äëÿ çàñîðåííîé íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ýòîòïðèåì ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî ñíèçèòü (èñêëþ÷èòü) âëèÿíèå âûáðîñîâ íà âåëè÷èíó îöåíêè. Âûáðîñû, åñëè îíè âåëèêè, ìîãóò âûçâàòü çíà÷èòåëüíîå îòêëîíåíèå ñðåäíåãî àðèìåòè÷åñêîãî x îòèñòèííîãî çíà÷åíèÿ a, èíòåðåñóþùåãî ñòàòèñòèêà. Ìåäèàíà, êàêîöåíêà öåíòðà, òîæå äàåò "óñòîé÷èâóþ" ïî îòíîøåíèþ ê âûáðîñàì (robust) îöåíêó öåíòðà.È óñå÷åííîå ñðåäíåå, è ìåäèàíà âõîäÿò â òàê íàçûâàåìîå ñåìåéñòâî L-îöåíîê: ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê âèäànnPPi x(i) , ïðè÷åì i .
(Ñëîâî "îöåíêà" â íàçâàíèè ýòèõ ñòài=1i=1òèñòèê íàäî âîñïðèíèìàòü ñ íåêîòîðîé îñòîðîæíîñòüþ, ïîñêîëüêóíå âñåãäà ÿñíî, ÷òî èìåííî îöåíèâàåò äàííàÿ L-îöåíêà).Êëàññè÷åñêîé îöåíêîé äëÿ äèñïåðñèè 2 ïî âûáîðêå èç N a; 2ñëóæèònXxi x 2 :s2ni=1=1(= 11())Ïîñêîëüêó âëèÿíèå âûáðîñîâ íà âåëè÷èíó s2 âåëèêî, îöåíèâàíèå2 òîæå íóæäàåòñÿ â ïîïðàâêàõ â äóõå òåõ, ÷òî áûëè ñäåëàíûâûøå â îòíîøåíèè x êàê îöåíêè a. Ñåé÷àñ ìû î íèõ ãîâîðèòü íåáóäåì.Ëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ âèäàyi = a + bxi + "i ; i = 1; n(2:2:1)41áûëà ïðèíÿòà â êà÷åñòâå ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè äëÿ äàííûõÝ.
Õàááëà è äëÿ èçìåíåíèÿ óðîæàéíîñòè çåðíîâûõ â ÑÑÑ. (Âïîñëåäíåì ñëó÷àå ðîëü àêòîðà x è åãî çíà÷åíèé x1 ; x2 ; : : : èãðàëè êàëåíäàðíûå ãîäû t;; : : :). Îöåíêè äëÿ ïàðàìåòðîâa; b íóæíû, â ÷àñòíîñòè, ÷òîáû ïðåäñêàçûâàòü áóäóùèå çíà÷åíèÿîòêëèêîâ ïðè áóäóùèõ çíà÷åíèÿõ àêòîðà. Îñîáåííî âàæåí êîýèöèåíò íàêëîíà b: îí ïîêàçûâàåò, êàêîâî âëèÿíèå x íà y .àöèîíàëüíûå ñïîñîáû îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ëèíåéíîé ìîäåëè ñâîäÿòñÿ ê ìèíèìèçàöèè (â òîì èëè èíîì ñìûñëå) ñîâîêóïíîñòè íåâÿçîê yi a bxi ; i; n. ( ýòîé îðìóëå a; b âûñòóïàþòâ êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ.
Èñòèííûå (è íåèçâåñòíûå) çíà÷åíèÿ ýòèõïàðàìåòðîâ â îðìóëå (2.2.1) íàäî áûëî áû îáîçíà÷èòü êàê-òîèíà÷å, íàïðèìåð, êàê a0 ; b0 íî òàê îáû÷íî íå äåëàþò, è ìèðÿòñÿñ âîçíèêàþùåé äâóñìûñëåííîñòüþ).:nXjyi a bxi j ! a;b :i=1= 1945 1946=1Ìåòîä íàèìåíüøèõ ìîäóëåéminÌåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ:nXi=1Òàê íàçûâàåìîåa bxi )2 ! min:a;b(yiM-îöåíèâàíèå:nXi=1(yi a bxi ) ! mina;b()îáîáùàåò ïðåäûäóùèå ìåòîäû. Ôóíêöèþ : ìîæíî âûáèðàòü,ðóêîâîäñòâóÿñü ðàçëè÷íûìè ñîîáðàæåíèÿìè. Íàïðèìåð, ñòðåìÿñüóìåíüøèòü âëèÿíèå âûáðîñîâ.Íàçâàííûå îáùèå ìåòîäû ïðèìåíèìû è ê âûáîðêå (ê îöåíèâàíèþ öåíòðà).
Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ:nXxi a 2 ! ai=1(äàåòmina^ = x (÷òî ëåãêî ïðîâåðèòü). Ìåòîä íàèìåíüøèõ ìîäóëåé:nXi=142)jxi aj ! mina^=()äàåò a med x1 ; : : : ; xn , ÷òî òîæå íåòðóäíî ïîäòâåðäèòü.Íà ñëó÷àé ëèíåéíîé ðåãðåññèè ìîæíî îáîáùèòü è L îöåíèâàíèå (ñäåëàâ åãî ðåêóððåíòíûì).2.3.Âåðíåìñÿ ê îáùåé çàäà÷å, ïîñòàâëåííîé â íà÷àëå ýòîãî ðàçäåëà: ïî íàáëþäåíèþ X , ïîëó÷åííîìó ïóòåì ñëó÷àéíîãî âûáîðà,óïðàâëÿåìîãî ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé P , ãäå 2 , îöåíèòü ïàðàìåòð . ×òî îçíà÷àåò: òàê âûáðàòü èçìåðèìóþ óíêöèþÆ : , îïðåäåëåííóþ íà X , ÷òîáû Æ X è áûëè áëèçêè.Ìîæíî ïðåäëîæèòü î÷åíü ìíîãî ñïîñîáîâ, èçìåðÿþùèõ áëèçîñòü Æ X è . Ñëîæèëàñü îáùàÿ òî÷êà çðåíèÿ: åñòü óíêöèÿïîòåðü L ; d , ïðèíèìàþùàÿ îïðåäåëåííîå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå, êîãäà â êà÷åñòâå îöåíêè èñòèííîãî âûñòóïàåò âåëè÷èíà d. ñëó÷àå íàáëþäåíèÿ X è ïðàâèëà îöåíèâàíèÿ Æ âåëè÷èíà ïîòåðü ñîñòàâëÿåò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó L ; Æ X .
Íàïðèìåð, êàê âðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ, ìîæåò áûòü()( )( )( )0( ( ))()L(; Æ(X )) = j Æ(X )jèëèL(; Æ(X )) = j Æ(X )j2è ò.ä: êàæäîì îòäåëüíîì îïûòå âåëè÷èíà ïîòåðü ñëó÷àéíà.  ñòàòèñòèêå ïðèíÿòî õàðàêòåðèçîâàòü ñòàòèñòè÷åñêèå ïðàâèëà ñðåäíèìèðåçóëüòàòàìè, äîñòèãàåìûìè ïðè ìíîãîêðàòíîì ïðèìåíåíèè. Ïîçàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ýòî:E L(; Æ(X )):àçúÿñíåíèå îáîçíà÷åíèé: òàê êàê ìû äîëæíû äåðæàòü â óìåâñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà 2 , íàì ñëåäóåò óêàçûâàòü,ïî êàêîé èìåííî ìåðå P ìû ïðîèçâîäèì îñðåäíåíèå ò.å.
âû÷èñëÿåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Èíäåêñ îêîëî ñèìâîëà îñðåäíåíèÿ E èëè âåðîÿòíîñòè P ÿâíî óêàçûâàåò íà ýòî. Òàêèì îáðàçîì, òî÷íîñòü (à, ñêîðåå, íåòî÷íîñòü) ïðàâèëà Æ îïèñûâàåò òåïåðüóíêöèÿ ðèñêàßñíî, ÷òî ïðàâèëîR(; Æ) = E L(; Æ(X )):Æ1 () ëó÷øå, ÷åì ïðàâèëî Æ2 (), åñëèR(; Æ1 ) R(; Æ2 )(2:2:2)43ïðè âñåõ 2 (à äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé ýòî ñîîòíîøåíèå åñòüñòðîãîå íåðàâåíñòâî). Íàèëó÷øèì ñëåäóåò íàçâàòü òàêîå ïðàâèëîÆ , êîòîðîå ïðåâîñõîäèò ëþáîå äðóãîå ïðàâèëî.Ê ñîæàëåíèþ, íàèëó÷øåãî â ýòîì ñìûñëå ïðàâèëà îáû÷íî íåñóùåñòâóåò, èáî çäåñü ðå÷ü èäåò î ñðàâíåíèè óíêöèé.  ìíîæåñòâå óíêöèé îò âèäà R ; Æ (ãäå Æ óíêöèÿ îò íàáëþäåíèé)îáû÷íî íåò ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà. (Õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî ïðàâèëîÆ X 0 , ãäå 0 èêñèðîâàííîå çíà÷åíèå, íåëüçÿ óëó÷øèòü âòî÷êå 0 .
Õîòÿ, ïðè äðóãèõ , ýòî ïðàâèëî íèêóäà íå ãîäèòñÿ).Äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ýòîãî çàòðóäíåíèÿ åñòü äâå ãëàâíûå âîçìîæíîñòè. Ïåðâàÿ ýòî èçó÷åíèåïðàâèë.()( )( )=()=äîïóñòèìûõÎ ï ð å ä å ë å í è å 2.2.1. Ïðàâèëî Æ1 () íàçûâàþò äîïóñòèìûì, åñëè íåò ïðàâèëà ëó÷øåãî, ÷åì Æ1(:), ò.å. åñëè íå ñóùåñòâóåòïðàâèëà Æ2 (), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ (2.2.2).Äîïóñòèìûå ïðàâèëà, ïî ñóùåñòâó, ñîâïàäàþò ñ òàê íàçûâàåìûìè áàéåñîâñêèìè ïðàâèëàìè.Î ï ð å ä å ë å í è å 2.2.2.
Áàéåñîâñêèå ïðàâèëà ýòî îïòèìàëü-íûå ïðàâèëà â ñèòóàöèè, êîãäà íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð ïîëó÷åíïóòåì ñëó÷àéíîãî âûáîðà. ýòîì ñëó÷àå ðèñê R ; Æ åñòåñòâåííî îñðåäíèòü åùå è ïî ïî òîé (âåðîÿòíîñòíîé) ìåðå, êîòîðàÿ óïðàâëÿëà âûáîðîì . èñêïðàâèëà Æ ïîñëå ýòîãî ïðåâðàùàåòñÿ â ÷èñëî. Ïîýòîìó çàäà÷à îìèíèìóìå èìååò ðåøåíèå.Âçãëÿä íà êàê íà ñëó÷àéíûé âåêòîð íàçûâàþòê ñòàòèñòèêå. Îí èìååò êàê ãîðÿ÷èõ ñòîðîííèêîâ, òàê èïðîòèâíèêîâ. Ìû íå áóäåì êàñàòüñÿ åãî â ëåêöèÿõ.Äðóãàÿ âîçìîæíîñòü ïðîäîëæåíèå ïîèñêà(ò.
å. ðàâíîìåðíî íàèëó÷øèõ ïðàâèë) Æ , íî â áîëåå óçêîì ìíîæåñòâå âîçìîæíîñòåé. Ñóæåíèå ïîëÿ âûáîðà äîñòèãàåòñÿ ïóòåìíàëîæåíèÿ íà îöåíêó Æ êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ (è åñòåñòâåííûõ) òðåáîâàíèé. Íàèáîëåå âàæíûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíûäëÿïðàâèë.Î ï ð å ä å ë å í è å 2.2.3. Îöåíêà Æ ïàðàìåòðà (ëèáîóíêöèè ) íàçûâàåòñÿ, åñëè E Æ X (ëèáîE Æ X ) äëÿ âñåõ 2 .Äëÿ âàæíîé ñ ïðèêëàäíîé òî÷êè çðåíèÿ ëèíåéíîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè óäàåòñÿ íàéòè íàèëó÷øèå íåñìåùåííûå îöåíêè,åñëè âûáðàòü êâàäðàòè÷íóþ óíêöèþ ïîòåðü L ; dj dj2(èëè äàæå óíêöèþ ïîòåðü ñ ìàòðè÷íûìè çíà÷åíèÿìè L ; d( )()áàéåñîâñêèìïîäõîäîìîïòèìàëüíûõ()()íåñìåùåííûõ()( )= ( )íåñìåùåííîé()( )=( )=44( )=( d)( d)T ñ÷èòàÿ è d âåêòîðàìè-ñòîëáöàìè).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
