Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1.1.6a).(Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ÷åðòåæè âûïîëíåíû â ðàçíîì ìàñøòàáå ïî îñè îðäèíàò). Ìû âèäèì òèïè÷íóþ êàðòèíó áåëîãî øóìà,ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ðàçíîñòè=1Æt = 1 ln St = ln(St+1 =St )(1:1:4)ïîõîæè (ïðè ðàçëè÷íûõ t) íà íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. êàêîì ñìûñëå òðóäíî ïîéòè äàëüøå ýòîé äîâîëüíî òðèâèàëüíîé ìîäåëè? Òåîðåòè÷åñêè ïðåäëîæèòü êàêèå-ëèáî ìîäåëè ñ çàâèñèìûìè âåëè÷èíàìè Æt , ðàçóìååòñÿ, âïîëíå âîçìîæíî. Íî íóæíîíà êîíêðåòíîì ìàòåðèàëå äîêàçàòü ïîëüçó ýòèõ òåîðåòè÷åñêè ìûñëèìûõ ìîäåëåé äëÿ ëó÷øåãî ïîíèìàíèÿ àêòè÷åñêèõ äàííûõ (àæåëàòåëüíî òàêæå è äëÿ êàêèõ-òî ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé). È âîòýòî îêàçûâàåòñÿ î÷åíü òðóäíûì, êàê ìû ÷àñòè÷íî óâèäèì íèæå.Äîïóñòèâ, ÷òî ÆtSt+1 =St íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ìû ïîëó÷èì, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå ñòàöèîíàðíîñòè ïî t ñâåäåòñÿ ïðîñòî ê òîìó, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå Æt ïðè âñåõ t îäèíàêîâî. òàêîì ñëó÷àå= ln()EÆt = a; DÆt = E (Æt a)2 = 2íå çàâèñÿò îò t.
Äëÿ ïðèðàùåíèÿhxt = ln St+h ln St = Æt + + Æt+hïîëó÷àåìE h xt = ah; Dh xt = h2 :1(1:1:5)Ïîêà ÷òî åäèíèöåé âðåìåíè ó íàñ ÿâëÿëñÿ îäèí (òîðãîâûé)äåíü, t è h ïðèíèìàëè öåëûå çíà÷åíèÿ. Íî ìîæíî âðåìÿ âûðàæàòü â äðóãèõ åäèíèöàõ, íàïðèìåð â ãîäàõ, è òîãäà t è h áóäóò26ìåíÿòüñÿ íà ðåøåòêå ñ øàãîì 1/250.
Ïñèõîëîãè÷åñêè åñòåñòâåííîïåðåéòè â òàêîì ñëó÷àå ê ìîäåëè ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì: ñ÷èòàòü, ÷òî St è xtSt îïðåäåëåíû äëÿ íåïðåðûâíîãî âðåìåíè,ïðè÷åì xt ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, àðàâåíñòâà (1.1.5) ñîõðàíÿþòñÿ. Ïðîñòåéøèì èç òàêèõ ïðîöåññîâÿâëÿåòñÿ ïðîöåññ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ñ êîýèöèåíòîì ñíîñàa è êîýèöèåíòîì äèóçèè 2 .
Âîò ìû è ïðèøëè ê çíàìåíèòîé ìîäåëè ãåîìåòðè÷åñêîãî (èëè ýêîíîìè÷åñêîãî) áðîóíîâñêîãîäâèæåíèÿ, êîòîðóþ ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:= lnln St ln S0 = at + w(t);()w t âèíåðîâñêèé ïðîöåññ.Ç à ì å ÷ à í è å. Ôîðìóëû (1.1.5) ñ÷èòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè äëÿíå ñëèøêîì áîëüøèõ çíà÷åíèé h.  êàêîé èìåííî îáëàñòè çíà÷åíèé h ñïðàâåäëèâ ëèíåéíûé ðîñò äèñïåðñèè ïðèðàùåíèÿ, ñëåäóåòâûÿñíÿòü ïî àêòè÷åñêèì äàííûì.ãäå1.4.
Îáùàÿ (àáñòðàêòíàÿ) ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëüàäè åäèíîîáðàçèÿ áóäåì äàëåå ãîâîðèòü, ÷òî èìåþùèéñÿ âíàøåì ðàñïîðÿæåíèè ñòàòèñòè÷åñêèé ìàòåðèàë îáðàçóåò îäíî íàáëþäåíèå X .  ïðèìåðå èç ðàçäåëà 1.1 X ýòî äâåñòè ÷èñåë èçòàáë. 1.1.1, ÷òî ìîæíî çàïèñàòü êàê Xx1 ; : : : ; xn , ãäå n. ïåðâîì ïðèìåðå èç ðàçäåëà 1.2 â êà÷åñòâå åäèíîãî íàáëþäåíèÿâûñòóïàþò nïàðû xi ; yi óäàëåíèÿ è ëó÷åâûå ñêîðîñòè.Âî âòîðîì ïðèìåðå èç ðàçäåëà 1.2 ýòî äàííûå îá óðîæàéíîñòè X åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë xt , ãäå t (êàëåíäàðíàÿ äàòà)èçìåíÿåòñÿ îò T1äî T2, ïðîáåãàÿ 45 ëåò.
 ïðèìåðåèç ðàçäåëà 1.3 íàáëþäåíèå X ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåí àêöèéäàííîé êîìïàíèè çà ïåðèîä íàáëþäåíèÿ. Íà ðèñ. 1.1.6a) èçîáðàæåíû äâå òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (äâå òðàåêòîðèè), ò.å. èìåþòñÿäâà íàáëþäåíèÿ.Ôîðìèðîâàíèå îáùåé ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè íà÷íåì ñ òîãî,÷òî ñêàæåì, ÷òî ìû ðàñïîëàãàåì íàáëþäåíèåì X .
Ýòî íàø. Âñå âûâîäû ìû áóäåì äåëàòü, îñíîâûâàÿñüíà íàáëþäåíèè X . Åãî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïðèðîäà íå ñóùåñòâåííà: Xìîæåò áûòü ñîâîêóïíîñòüþ ÷èñåë, âåêòîðîì, ìàòðèöåé, óíêöèåé âðåìåíè (íàïðèìåð, êðèâîé, çàïèñàííîé ñàìîïèñöåì) èëè ïðîñòðàíñòâà è ò.ä.=(= 24= 1945ñòè÷åñêèé ìàòåðèàë()= 200)= 1989ñòàòè-27Ìû ðàññìàòðèâàåì X êàê òî÷êó íåêîåãî ìíîæåñòâà X , íàçûâàåìîãî,,è ò. ä.Âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ â êà÷åñòâå âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà X ìîæíî âçÿòü n-ìåðíîå àðèìåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâîRn (ñ ðàçíûìè n), õîòÿ â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî áûëî áû îãðàíè÷èòüñÿ îïðåäåëåííûìè ïîäìíîæåñòâàìè Rn .Êëþ÷åâîå ïðåäïîëîæåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî äàííîå çíà÷åíèåX ïîÿâèëîñü êàê ðåçóëüòàò íåêîåãîýëåìåíòà èçX .
Ýòîò ñëó÷àéíûé âûáîð áûë ïðîèçâåäåí â ñîîòâåòñòâèè ñ íåêîòîðûì ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé P íà X . Êàê ïðàâèëî, ýòîêîíêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå P íàì íå èçâåñòíî. Îäíàêî ìû ìîæåìóêàçàòü êàêèå-òî ñâîéñòâà, êîòîðûìè P îáëàäàåò. Èíà÷å ãîâîðÿ,íàì èçâåñòíî (ìû ìîæåì óêàçàòü) íåêîòîðîå ìíîæåñòâî P âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé íà X , êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò íåèçâåñòíîåèñòèííîå ðàñïðåäåëåíèå P . íàøèõ ïðèìåðàõ P ýòî ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íà Rn .Äëÿ ìîäåëè âûáîðêè, êîãäà íàáëþäåííûå çíà÷åíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ðåàëèçàöèè íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P ýòî ïðîèçâåäåíèå nîäíîìåðíûõ îäèíàêîâûõ ðàñïðåäåëåíèé.
Ìíîæåñòâî P ýòî ñîâîêóïíîñòü òàêèõ n-ìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Çà ñ÷åò äàëüíåéøèõïðåäïîëîæåíèé îá îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ýòà ñîâîêóïíîñòüìîæåò áûòü ñäåëàíà áîëåå óçêîé. Åñëè, íàïðèìåð, ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî óïîìÿíóòîå îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ãàóññîâñêîå(ñ íåîïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè), òî â êà÷åñòâå P ìû ïîëó÷èìäâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî n-ìåðíûõ ãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé. ðåãðåññèîííûõ ìîäåëÿõ íàáëþäåííûå îòêëèêè y1 ; : : : ; yn òîæå ðàññìàòðèâàþò êàê ðåàëèçàöèè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ, òàê ÷òî P ñíîâà ïðîèçâåäåíèå ìåð. Íî çäåñü îäíîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ íå îäèíàêîâû: êàæäîå èç íèõ çàâèñèò îò ñîîòâåòñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ àêòîðà x (è îò ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõîøèáîê, åñëè ïîñëåäíèå íå ïðåäïîëàãàþòñÿ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè).Íàêîíåö, â ïðèìåðå èç ðàçäåëà 1.3 öåíû àêöèé â ïîñëåäîâàòåëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,íå ÿâëÿþùèåñÿ íåçàâèñèìûìè.
Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå P â ýòîìñëó÷àå óñòðîåíî áîëåå ñëîæíî, ÷åì ïðîèçâåäåíèå ìåð. Èññëåäîâàíèåì òàêèõ ìîäåëåé çàíèìàåòñÿ ñòàòèñòèêà âðåìåííûõ ðÿäîâ. Ìûïðîñòðàíñòâîì íàáëþäåíèé âûáîðî÷íûì ïðîñòðàíñòâîìãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþñëó÷àéíîãî âûáîðà28æå â êóðñå áóäåì çàíèìàòüñÿ ëèøüíàáëþäåíèé.ñòàòèñòèêîé íåçàâèñèìûõÇàäà÷à ñòàòèñòèêè âûâîäû î P èëè ñâîéñòâàõ P íà îñíîâàíèè X . Íàïðèìåð, îñíîâûâàÿñü íà X , íàäî âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ óíêöèîíàëîâ îò P èëè îòâåòèòü, ñîâìåñòèìû ëè ñíàáëþäåííûì X ïðåäïîëîæåíèÿ î òåõ èëè èíûõ ñâîéñòâàõ P .Ìíîæåñòâî P â ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðèçîâàííûì ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà , êîòîðûéìåíÿåòñÿ â çàäàííîé îáëàñòè .
Îáû÷íî èíòåðâàë ÷èñëîâîéïðÿìîé (åñëè îäíîìåðíûé ïàðàìåòð) èëè îáëàñòü êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà (êîãäà ìíîãîìåðíûé ïàðàìåòð).  ïàðàìåòðè÷åñêîì ñëó÷àå:P fP ; 2 g:= ýòîé îáñòàíîâêå íàñ îáû÷íî èíòåðåñóåò çíà÷åíèå , îòâå÷àþùåå èñòèííîìó ðàñïðåäåëåíèþ P (èñòèííîå çíà÷åíèå ) ëèáîçíà÷åíèÿ òåõ èëè èíûõ óíêöèé ïðè èñòèííîì , è ò.ï. Îñíîâûâàÿñü íà X , ìû äîëæíû íàéòè äëÿ íèõ ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ.() 2. Òåîðåìà ëèâåíêî(Ïðèìåð òîãî, êàê ïî âûáîðêå óñòàíàâëèâàþòñÿ ñâîéñòâà ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé).Ïóñòü x1 ; x2 ; : : : ; xn íåçàâèñèìûå, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (âûáîðêà). Èõ (îáùóþ) óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ îáîçíà÷èì ÷åðåç F x :()F (x) = P fxi xg:Îáîçíà÷èì ÷åðåç Fn (x) òàê íàçûâàåìóþ ýìïèðè÷åñêóþ óíê-öèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ïî âûáîðêå.
Äëÿ ýòîãî âêàæäóþ èç òî÷åê x1 ; x2 ; : : : ; xn ïîìåñòèì âåðîÿòíîñòü, ðàâíóþ n1 .Òàê íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé âîçíèêàåò íîâîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, ñëó÷àéíîå. Åãî óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷èì ÷åðåçFn x . Ïîýòîìó Fn x íàçûâàþò åùå è. Ñ ïîìîùüþ èíäèêàòîðîâ ñîáûòèé I xi x , óíêöèþFn x ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:()âûáîðêè()óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ()()Fn (x) =n1XI (xi x):n i=1291.00F( x )0.75a)0.500.250.0013.013.113.213.313.413.513.613.7x13.813.213.313.413.513.613.7x13.899.90%97.7084.10b)50.0015.902.300.1013.013.1èñ.
1.2.1. à) Ýìïèðè÷åñêàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äàííûõèç òàáë. 1.1.1; b) ż èçîáðàæåíèå íà íîðìàëüíîé áóìàãåÇ à ì å ÷ à í è å. ×àñòî óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿþò÷óòü èíà÷å, ÷åì ñêàçàíî âûøå, ïîñðåäñòâîì ñòðîãèõ íåðàâåíñòâ:F (x) = P fxi < xg: ýòîì ñëó÷àå àíàëîãè÷íî èçìåíÿåòñÿ è îïðåäåëåíèå óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè. àçëè÷èå ìåæäó ýòèìè äâóìÿ îïðåäåëåíèÿìè íåñóùåñòâåííû: äëÿ íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé îíè ñîâïàäàþò; äëÿ äðóãèõ ðàçëè÷èå ñîñòîèò ëèøü â òîì, ñ êàêîé ñòîðîíû(ñëåâà èëè ñïðàâà) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îêàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé.Ñëåäóþùàÿ íèæå îðìóëèðîâêà òåîðåìû ëèâåíêî íå çàâèñèòîò òîãî, êàêîé âàðèàíò îïðåäåëåíèÿ ìû ïðèíèìàåì.Ò å î ð å ì à ë è â å í ê î.DnjFn x F x j (n ; ; : : :)xÏîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõâåëè÷èí = sup ( ) ( ) = 1 2 ñõîäèòñÿ ê íóëþïî âåðîÿòíîñòè ïðè n ! 1.
Äðóãèìè ñëîâàìè: äëÿ ëþáûõ " > 0,30Æ > 0 íàéäåòñÿ íîìåð N = N ("; Æ) òàêîé, ÷òîP fsup jFn (x) F (x)j < "g > 1 Æ äëÿ âñåõ n N:xÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ: äëÿâñÿêîãî xFn x P! F x :Ýòî âñåãî ëèøü ïåðåîðìóëèðîâêà òåîðåìû Áåðíóëëè (î ñõîäèìîñòè ÷àñòîòû ñîáûòèÿ ê åãî âåðîÿòíîñòè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòèíåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé) äëÿ ñîáûòèÿ fxi xg.Ñíà÷àëà äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ íåïðåðûâíîé óíêöèèF . Ñ íåáîëüøèìè èçìåíåíèÿìè ýòî äîêàçàòåëüñòâî îêàæåòñÿñïðàâåäëèâûì è äëÿ ðàçðûâíûõ óíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, î ÷åìáóäåò ñêàçàíî íèæå.Ïóñòü " > è Æ > çàäàíû. Âûáåðåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî R òàê,÷òîáû =R < "= . àçîáüåì îòðåçîê [0,1℄ îñè îðäèíàò íà R ðàâíûõ÷àñòåé.
Îäíîâðåìåííî, íà R îòðåçêîâ 1 ; : : : ; R , áóäåò ðàçäåëåíàè îñü àáñöèññ òî÷êàìè 1a0 < a1 < a2 < : : : < aR 1; ãäåak 1 ; ak , F ak k=R, k ; : : : ; R.k()()()1 =[002=℄ ( )=1==1yy = F(x)a01ak-1kakèñ. 1.2.2. ðàèê óíêöèèaR-1y = F (x)Ââåäåì ñîáûòèån =x"jF (a ) F (ak )j < 2 :1maxkR 1 n k31= ( )Ïî óæå óïîìÿíóòîé òåîðåìå Áåðíóëëè, ñóùåñòâóåò NN "; Æòàêîå, ÷òî P f n g >Æ äëÿ âñåõ n N "; Æ . (Äðóãèìè ñëîâàìè: ñëåäñòâèåì ñõîäèìîñòè â êàæäîé òî÷êå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíàÿñõîäèìîñòü íà êàæäîì êîíå÷íîì ìíîæåñòâå òî÷åê).Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå n , òî ïðè óêàçàííîì âûáîðå R1( )sup jFn (x)F (x)j < ":1<x<1ßñíî, ÷òîsup jFn (x)F (x)j = k=1max;:::;R1<x<1sup jFn (x)x2kF (x)j:Ïîýòîìó, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèåòî äëÿ êàæäîãî k;R=1sup jFn(x)x2kÏîñêîëüêó äëÿ ëþáîé óíêöèèF (x)j < ":n,(1:2:1)f ()sup jf (x)j = max[sup f (x); sup( f (x))℄;äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (1.2.1) äîñòàòî÷íî îöåíèòü ñâåðõó ïîðîçíüsup [Fn(x)x2kF (x)℄ èsup [F (x)x2kFn (x)℄:Îöåíèì òîëüêî ïåðâîå èç äâóõ âûðàæåíèé, ïîñêîëüêó âòîðàÿ îöåíêà ïîëó÷àåòñÿ àíàëîãè÷íî. ñèëó òîãî, ÷òî óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F è Fn ìîíîòîííî íå óáûâàþò, ïðè x 2 kak 1 ; ak :() () =[℄Fn (x) F(x) Fn (ak ) F(ak 1)=[Fn (ak ) F(ak)℄+[F(ak ) F(ak 1)℄== [Fn (ak ) F (ak )℄ + R1 :Åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå n , òî öåïî÷êó ìîæíî ïðîäîëæèòü èíàïèñàòü:" "Fn (x) F (x) + = ";2 2ïðè÷åì ýòî âåðíî äëÿ êàæäîãî îòðåçêà k .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
