Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Âñå êîîðäèíàòû m-ìåðíîãî âåêòîðà ~xj ðàâíû 0, çà èñêëþ÷åíèåì îäíîé, êîòîðàÿ ðàâíà 1. Åäèíèöàñòîèò íà òîì ìåñòå, íîìåð êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåò îñóùåñòâèâøåìóñÿ â j -îì èñïûòàíèè èñõîäó èç ðÿäà A1 ; : : : ; Am . ßñíî, ÷òî=2=()=1~ =nXj =1~xjè ÷òî ñëó÷àéíûå âåêòîðû ~x1 ; : : : ; ~xj ; : : : íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû.
Ñîãëàñíî öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå äëÿíåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ ñëàãàåìûõ,ïðè n ! 1nXpn ~xj E~xj d! N ; ;j =11ãäå()(0 ) = E~xj ~xjT (E~xj )(E~xj )T :185Î÷åâèäíûé ïîäñ÷åò äàåòÇàìåòèì, ÷òî ìàòðèöàE~xj = ~p; D~xj = P ~p~p T :P p~~p T âûðîæäåíà. ż ðàíã ðàâåí(m 1). Åñëè áû íå ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèåõè-êâàäðàò äëÿ íîðìû âåêòîðàn d! N (0; B )ìû ìîãëè áû ïîëó÷èòü íåìåäëåííî. Èáî î÷åâèäíî, ÷òînT B 1 n d! 2 (m):Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î òåîðåìû Êàðëà Ïèðñîíà. Ââåäåì âðàññìîòðåíèå âåêòîðpn := n P 1=2Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðèn!11 ~~p :nn d! N (0; I zz T );p ppãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, z = ( p1 ; p2 ; : : : ; pm )T .Ââåäåì îðòîãîíàëüíóþ ìàòðèöó V , ïåðâàÿ ñòðîêà êîòîðîé åñòü(pp1; pp2; : : : ; ppm), à ïðî÷èå ñòðîêè ïðîèçâîëüíû. Çàìåòèì, ÷òîïðè n ! 1V n d! N (0; I1 );ãäå I1 ìàòðèöà (m m), êîòîðàÿ ïîëó÷åíà èç åäèíè÷íîé çàìåíîéëåâîé âåðõíåé åäèíèöû íóëåì:0BI1 = BB0 00 1.
..010CC::::::.....0 0.. C :. A.1:::Ýòî äîêàçûâàåò ïðîñòàÿ âûêëàäêà:D(V n ) = V (Dn )V TVVT186(V z)(V z)T = I= V (I zzT )V T =01 0 ::: 0 1B 0 0 ::: 0 CBCB . .....0 0...:::.. C ;. A0èáîV z = (1; 0; : : : ; 0)T . Òåïåðüjn j2 =mXi=1p p1 n 1 ipinpi2=mX(ii=1npi )2;npià òàêæåjn j2 = jV n j2 d! jN (0; I1 )j2 = 2 (m 1):Çäåñü ÷åðåç jN (0; I1 )j2 ìû îáîçíà÷èëè êâàäðàò äëèíû, ò. å.
ñóììóêâàäðàòîâ êîîðäèíàò ãàóññîâñêîãî âåêòîðà(0; 2; : : : ; m)T ;ãäå 2 ; : : : ; m ñóòü íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû N ; . Ïî îïðåäåëåíèþ,(0 1)2 = 2 (m 1): 22 + : : : + m 3. Ñëîæíûå ãèïîòåçûÇäåñü ìû ðàññìîòðèì ãèïîòåçû îp~ âèäàH : p~ 2 Q;Q íåêîòîðîå çàäàííîå ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, ïðèíàäëåæàmPùåå ñèìïëåêñó fp~ :pi ; p1 0; : : : ; pm 0g. "ëàäêîå" çäåñüi=1îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå p~ 2 Q ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíîå ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå. àçìåðíîñòü p~ îáîçíà÷èì ÷åðåç r.Ò å î ð å ì à 16.3.1. (J.
Neyman, E. Pearson, 1928). Ïðè n ! 1mX(i npi)2 d! 2(m r 1):min(16:3:1)p~2Q i=1npiãäåÇàìåòèì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ñòàòèñòèêè èç (16.3.1) îáû÷íîíàõîäÿò è òî çíà÷åíèå p~ 2 Q, ïðè êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì â(16.3.1). Ýòî ìèíèìèçèðóþùåå çíà÷åíèå ÷àñòî íàçûâàþòp~ 2 Q, ïîëó÷åííîé ïî "".Äðóãàÿ îðìóëèðîâêà òîé æå òåîðåìû âîçíèêàåò, êîãäà ìíîãîîáðàçèå Q çàäàíî ïàðàìåòðè÷åñêè, ò.å. êîãäà ãèïîòåçà p~ 2 Qïðåäñòàâèìà â âèäåìåòîäó ìèíèìóìà õè-êâàäðàòîöåíêîép~ = p~ ();187^ãäå r-ìåðíûé ïàðàìåòð. Ïóñòü n îöåíêà íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ íåèçâåñòíîãî , îñíîâàííàÿ íà ÷àñòîòàõ 1 ; : : : ; m .(Ëèáî èíàÿ îöåíêà, íî ñ òåìè æå àñèìïòîòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè,÷òî è n ).
Òîãäà ñïðàâåäëèâàÒ å î ð å ì à 16.3.2.n!1m np 2Xiid 2^i=1Ïðè( ^)npi (^)! (m r 1):(16:3:2)Ýòè òåîðåìû è äðóãèå, ïîäîáíûå, ÷àñòî ñâÿçûâàþò ñ èìåíåì. Ôèøåðà (R.A. Fisher). Ôèøåð äåéñòâèòåëüíî áûë ïåðâûì, êòîçàìåòèë óìåíüøåíèå ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò, êîãäà ïàðàìåòðû îöåíèâàþòñÿ ïî âûáîðêå, èðîâíî íàñòîëüêî, ñêîëüêî íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ ïðèøëîñü îöåíèòü. Îí îáíàðóæèë ýòî ïðè ïðîâåðêå ãèïîòåçû î íåçàâèñèìîñòèïðèçíàêîâ â òàáëèöàõ ñîïðÿæåííîñòè. Ìû áóäåì ãîâîðèòü îá ýòîìâx .À ñåé÷àñ, ÷òîáû îêîí÷èòü, ñîðìóëèðóåì ïðàâèëî ïðîâåðêèH ~p 2 Q, îñíîâàííîå íà ïðèâåäåííûõ âûøå òåîðåìàõ. À òàêæåíà òîì àêòå, ÷òî ñòàòèñòèêè (16.3.1) èëè (16.3.2) íåîãðàíè÷åííîâîçðàñòàþò ïðè n ! 1, åñëè èñòèííîå çíà÷åíèå p~ 2= Q.Ïðàâèëî ïðîâåðêè H p~ 2 Q ïðîòèâ H p~ 2= Q.4:::0Îòâåðãàåì H íà (ïðèáëèæåííîì) óðîâíå " > , åñëè ñòàòèñòèêà (16.3.1) èëè (16.3.2) ïðåâîñõîäèò 21 " m r" -êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò ñ m rñòåïåíÿìè ñâîáîäû.(1 )((1)1)Ýòî ïðàâèëî ïðèìåíèìî äëÿ "äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n".
Îñòîðîæíàÿ (êîíñåðâàòèâíàÿ) ïðàêòè÷åñêàÿ ðåêîìåíäàöèÿ: i .(Âïðî÷åì, ðàçíûå àâòîðû ãîâîðÿò íåñêîëüêî ðàçëè÷íîå íà ýòó òåìó).5 4. Òàáëèöû ñîïðÿæåííîñòèÏðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäûé îáúåêò íåêîòîðîé (áåñêîíå÷íîé) ñîâîêóïíîñòè ìîæåò áûòü êëàññèèöèðîâàí ïî äâóì ïðèçíàêàì A èB . Ïðèçíàê A ïðè ýòîì èìååò r çíà÷åíèé, ïðèçíàê B s çíà÷åíèé, ñîîòâåòñòâåííî A1 ; : : : ; Ar è B1 ; : : : ; Bs . Êàæäûé îáúåêò îáëàäàåò íåêîòîðîé êîìáèíàöèåé Ai Bj çíà÷åíèé ïðèçíàêîâ A è B ,ãäå i; r; j ; s.=1188=1Ïóñòü pij îáîçíà÷àåò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàóäà÷ó âçÿòûéîáúåêò îáëàäàåò êîìáèíàöèåé ïðèçíàêîâ Ai Bj .
Ïóñòü ij ýòî÷èñëî êîìáèíàöèé Ai Bj , çàðåãèñòðèðîâàííîå ïðè ñëó÷àéíîì âûáîðå n îáúåêòîâ èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè (ij âûáîðî÷íûå÷àñòîòû). Òàáëèöó ÷àñòîò kij ; i;r j; sk íàçûâàþòïðèçíàêîâ A è B . Âàæíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿãèïîòåçà ãèïîòåçà î íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ A è B .  ýòîìñëó÷àå äëÿ âñåõ i;r j ;sòà-=1 ; =1áëèöåé ñîïðÿæåííîñòè=1 ; =1pij P fAi Bj g = P fAi g P fBj g:Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ Ai è âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ Bj îáîçíà÷èì ÷åðåç pi è pj ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîìpi =sXj =1pij ; pj =rXi=1pij :èïîòåçà î íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ òåïåðü ìîæåò áûòü âûðàæåíà òàê:H pij pi pj äëÿ âñåõ i ; r; j ; s::=1==1Êàæäîå èçâëå÷åíèå îáúåêòà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ýòî èñïûòàíèå Áåðíóëëè, êîòîðîå îêàí÷èâàåòñÿ îäíèì èç m rsèñõîäîâ Ai Bj .
Ïðè ãèïîòåçå H pij pi pj âåðîÿòíîñòè ýòèõ èñõîäîâ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïàðàìåòðû pi , pj . Ïîýòîìó âåêòîð âåðîÿòíîñòåé (â äàííîì ñëó÷àå ìàòðèöà p~ kpij k ðàçìåðà (r s)) ïðèíàäëåæèò (r s)-ìåðíîìó ìíîãîîáðàçèþ. (àçìåðíîñòü èìåírPíî r s, òàê êàê ïàðàìåòðû ïîä÷èíÿþòñÿ ñâÿçÿìpi,j =1sPpj ).i=1Ïîñêîëüêó ìû èìååì äåëî ñ èñïûòàíèÿìè Áåðíóëëè è ãèïîòåçîé î âåðîÿòíîñòÿõ â ýòèõ èñïûòàíèÿõ, ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿðåçóëüòàòàìè ïàðàãðàà 2.
Äëÿ ýòîãî íàéäåì îöåíêè íàèáîëüøåãîïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ pi è pj , è çàòåì ïðèìåíèì òåîðåìó 16.3.2.Ïðàâäîïîäîáèå kpij k, îñíîâàííîå íà òàáëèöå kij k, ðàâíî:+2+===2=1=1n!1 (pij )ij :(i=1 j =1 ij )!r YsY189Ïðè ãèïîòåçå íåçàâèñèìîñòè ïðàâäîïîäîáèå óïðîùàåòñÿ: ïðàâäîïîäîáèå k pi ; pj ; i; r; j ; s k ðàâíîrsYYConstpi ipj j ;i=1j =1srPPãäå iij , jij , Const îçíà÷àåò ìíîæèòåëü, íåj =1i=1ñîäåðæàùèé ïàðàìåòðîâ pi , pj (è ïîýòîìó íå âëèÿþùèé íà îöåíêèíàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ).Äàëåå ëåãêî íàõîäèì îöåíêè íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ:ijpi; r; j ; s:; pjäëÿ i=1=1( )=( )=^ =^ ==1=1nn2Ñòàòèñòèêà Xn èç òåîðåìû 16.3.2 çäåñü2r Xs ij n i jXn n :Xn2 =i jn i=1 j =1n nÏðè ãèïîòåçå î íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâXn2 d! 2 rs;( +2) 1 = (( 1)( 1)1)(s 1).èáî rsr srèïîòåçó î íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ ñëåäóåò îòâåðãàòü, åñëèíàáëþäåííîå (âû÷èñëåííîå) çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Xn2 ñëèøêîì âåëèêî.
Òî÷íåå: ãèïîòåçó î íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ A è B ñëåäóåòîòâåðãíóòü íà óðîâíå ", åñëè ñòàòèñòèêà Xn2 ïðåâîñõîäèò"êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò ñ rsñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Ç à ä à ÷ à. Ñîãëàñíî ãèïîòåçå Ô. Áåðíøòåéíà, íàëè÷èå ó ëþäåé÷åòûðåõ ãðóïï êðîâè O (I ãðóïïà), A (II ãðóïïà), B (III ãðóïïà)è AB (IV ãðóïïà) âûçâàíî òðåìÿ ãåíàìè A, B è O, ïðè÷åì A è Bäîìèíèðóþò íàä O. Åñëè èíäèâèäóóì èìååò ãåííóþ ïàðó OO, åãîêðîâü îòíîñèòñÿ ê ãðóïïå O; ãåííûå ïàðû AO è AA ïðèâîäÿò êãðóïïå êðîâè A; ïàðû BO è BB ê ãðóïïå B.
Íàêîíåö, ãåííàÿïàðà AB ïðèâîäèò ê ãðóïïå AB. Èç ïîïóëÿöèè ñëó÷àéíî âûáðàíà áîëüøàÿ ãðóïïà èñïûòóåìûõ è ó êàæäîãî îïðåäåëåíà ãðóïïàêðîâè. Òàê ïîëó÷åíû ÷àñòîòû äëÿ ãðóïï êðîâè O, A, B è AB â âûáîðêå. Êàê ïî ýòèì ÷àñòîòàì ìîæíî ïðîâåðèòü ãåííóþ ãèïîòåçóÁåðíøòåéíà?( 1)( 1)190(1)Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Áåëÿåâ Þ.Ê., Íîñêî Â.Ï.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ì.: èçä-âî ÌÓ, 1998.[2℄ Áèêåë Ï., Äîêñàì Ê. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Âûï. 1 è 2:ïåð. ñ àíãë. Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1983. 278 ñ. è 254 ñ.[3℄ Èâ÷åíêî .Í., Ìåäâåäåâ Þ.È. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà:Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ âòóçîâ. Ì.: Âûñø. øê., 1992. 304 ñ.[4℄ ×èáèñîâ Ä.Ì., Ïàãóðîâà Â.È. Çàäà÷è ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ì.: èçä-âî ÌÓ, 1990.[5℄ Øèðÿåâ À.Í. Âåðîÿòíîñòü. Ì.: Íàóêà, 1989. 576 ñ.Äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà[1℄ Áîëüøåâ Ë.Í., Ñìèðíîâ Í.Â. Òàáëèöû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.
Ì.: Íàóêà, 1983. 416 ñ.[2℄ Áîðîâêîâ À.À. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Íîâîñèáèðñê.:Íàóêà, èçä-âî Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè, 1997. 772 ñ.[3℄ Âåðîÿòíîñòü è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà: Ýíöèêëîïåäèÿ./ë. ðåä. Þ.Â. Ïðîõîðîâ Ì.: Áîëüøàÿ îññèéñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, 1999. 910 ñ.[4℄ Ëåìàí Ý. Òåîðèÿ òî÷å÷íîãî îöåíèâàíèÿ: Ïåð. ñ àíãë.Þ.Â. Ïðîõîðîâà.
Ì.: Íàóêà, 1991. 448 ñ.[5℄ àî Ñ.. Ëèíåéíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû è èõ ïðèìåíåíèÿ:ïåð. ñ àíãë. Ì.: Íàóêà, 1968. 548 ñ.[6℄ Õàìïåëü Ô., îí÷åòòè Ý., àóññåó Ï., Øòàýëü Â. îáàñòíîñòüâ ñòàòèñòèêå. Ïîäõîä íà îñíîâå óíêöèé âëèÿíèÿ: Ïåð. ñ àíãë.ïîä ðåä. Â.Ì. Çîëîòàðåâà.
Ì.: Ìèð, 1989. 512 ñ.191Òþðèí Þðèé Íèêîëàåâè÷Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà.Çàïèñêè ëåêöèé.Ì.: Èçä-âî ÖÏÈ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãîàêóëüòåòà ÌÓ, 2003. 192 ñ.Ïîäïèñàíî â ïå÷àòüÔîðìàòÇàêàç60 90. .2003 ã.Îáúåì 12 ï.ë.Òèðàæ 600 ýêç.Èçäàòåëüñòâî Öåíòðà ïðèêëàäíûõ èññëåäîâàíèé ïðèìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì àêóëüòåòå ÌÓ.Ëèöåíçèÿ íà èçäàòåëüñêóþ äåÿòåëüíîñòü ÈÄ Â04059îò 20.02.2001Îòïå÷àòàíî ñ îðèãèíàë-ìàêåòà íà òèïîãðàñêîìîáîðóäîâàíèè ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî àêóëüòåòàè Ôðàíêî-ðóññêîãî öåíòðà èì. À.Ì. Ëÿïóíîâà.192.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
