Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ì-îöåíêèÌû óáåäèëèñü, ÷òî åñëè åñòü îïàñíîñòü çàñîðåíèÿ íàáëþäåíèé,òî ëó÷øå ïîëüçîâàòüñÿ óñòîé÷èâûìè îöåíêàìè. Êàê òàêèå îöåíêèïîëó÷èòü? Äî ñèõ ïîð ìû ìîãëè òîëüêî, óæå èìåÿ íåêîòîðóþ îöåíêó, îïðåäåëèòü, óñòîé÷èâà îíà èëè íåò, íî íå ïðåäëîæèòü óñòîé÷èâóþ îöåíêó. Äà è âîîáùå, íàì ïîêà ÷òî èçâåñòåí òîëüêî îäèí óíèâåðñàëüíûé ìåòîä îöåíèâàíèÿ ìåòîä íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ.
(Ê ñëîâó: êàêîâû óíêöèè âëèÿíèÿ äëÿ îöåíîê íàèáîëüøåãîïðàâäîïîäîáèÿ, ìû ñêîðî óçíàåì). Ñåé÷àñ ìû ââåäåì ìåòîä îöåíèâàíèÿ, ïðè êîòîðîì óíêöèþ âëèÿíèÿ îöåíêè ìîæíî óêàçàòüçàðàíåå (ïî êðàéíåé ìåðå ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ). Ýòîò ìåòîä íàçûâàåòñÿ Ì; îöåíêè, ïîëó÷åííûåïî ýòîìó ìåòîäó Ì.
Äëÿ Ì-îöåíèâàíèÿ óïîìÿíóòûéìåòîä íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì.àññìîòðèì ýòîò ìåòîä íà ïðèìåðå âûáîðêè x1 ; : : : ; xn èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ óíêöèåé F x; è ïëîòíîñòüþ (âåðîÿòíîñòüþ)f x; , ãäå 2 , çàäàííîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî, R1 .Èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà îáîçíà÷èì ÷åðåç 0 ; 0 2 .Ì-îöåíêè ââåäåì ïî àíàëîãèè ñ îöåíêàìè íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Âñïîìíèì, ÷òî îöåíêó íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ (òî÷íåå,îöåíèâàíèåìîöåíêàìè( ) ( )177êàê îäíî èç åãî ðåøåíèé)n1Xl(xi ; ) = 0;ãäån i=1log f (x; ):l(x; ) =Ýòó îöåíêó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çíà÷åíèå íà âûáîðî÷íîéóíêöèè Fn óíêöèîíàëà T , ãäå T Ft ðåøåíèå óðàâíåíèÿZ( )=l(x; t) dF (x) = 0:(15:2:1)Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x; 0 óíêöèîíàë TíåíèÿZ(F ) åñòü ðåøåíèå óðàâ-()l(x; t )dF (x; 0 ) = 0:Ìû óæå çíàåì, ÷òî t 0 ÿâëÿåòñÿ åãî ðåøåíèåì, êàêîâî áû íèáûëî èñòèííîå çíà÷åíèå 0 2 . Èíà÷å ýòî ìîæíî ñêàçàòü òàê:=Zl(x; ) dF (x; ) = 0 2 :äëÿ âñÿêîãî(15:2:2)Óðàâíåíèå (15.2.1) ñëóæèò îáðàçöîì, ïî êîòîðîìó ââîäÿò Ìîöåíêè: ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé óíêöèè x; t îïðåäåëÿþò óíêöèîíàë T Ft êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ( )( )=Z(x; t) dF (x) = 0:(15:2:3)Åñëè ìû õîòèì, ÷òîáû Ì-îöåíêà îöåíèâàëà èìåííî ïàðàìåòð , òîïðè âûáîðå óíêöèè x; t , ïî ñõîäñòâó ñ (15.2.2), íàäî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû( )Z(x; ) dF (x; ) = 0äëÿ âñåõ 2 :(15:2:4) òàêîì ñëó÷àå ñðåäè ðåøåíèé óðàâíåíèÿZáóäåò è tñîâàí ñ F178(x; t) dF (x; 0 ) = 0= 0.
Èòàê, âûáîð óíêöèè (x; t) äîëæåí áûòü ñîãëà(x; ).Äëÿ ââåäåííîé âûøå âûáîðêè èçøåíèå óðàâíåíèÿnXxi ; i=1(F (x; 0 ) Ì-îöåíêà ýòî ðå-) = 0:Ô ó í ê ö è ÿ â ë è ÿ í è ÿ äëÿ Ì-îöåíêè. Ôóíêöèþ çàñîðåííîãîðàñïðåäåëåíèÿ (15.1.1) îáîçíà÷èì ÷åðåç F x ,()F (x) = (1 )F (x; ) + z (x):Çíà÷åíèå Ì-óíêöèîíàëà T (:) íà F , ò. å. T (F ) = , îïðåäåëèìêàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿt:Z(x; t) dF (x) = 0:  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ óíêöèÿ âëèÿíèÿ h z: Êàê =0óæå áûëî îäíàæäû, îïðåäåëåíà êàê íåÿâíàÿ óíêöèÿ.
Óïîìÿíóòóþ ïðîèçâîäíóþ ïî ïîëó÷èì, äèåðåíöèðóÿ ïî òîæäåñòâîZ( )=(x; ) dF (x) = 0è ïåðåõîäÿ çàòåì ê ïðåäåëó ïðè ! 0. Ïðîèçâîäíàÿ ïî :ZÏîëîæèâ h(z )Z(x; ) dF (x) + (x; ) [ dF (x); ℄ = 0:= 0 è çàìåòèâ, ÷òî =0 = ,t (x; ) dF (x; )0ZZF (x)(x; ) dF (x; )+Z=0= F , ïîëó÷èì(x; ) d z (x) = 0: ñèëó (15.2.4) ïîëó÷àåì îòñþäà, ÷òî:h(z ) =R(z; ):(x;) dF (x; )t0(15:2:5)Äëÿ îöåíêè íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ (15.2.5) äàåò:h(z ) =log f (z; );i()(15:2:6)179èáî çäåñüZZ t (x; ) dF (x; ) =02log f (x; ) dF (x; ) = i():2Âàæíîå ñâîéñòâî Ì-îöåíêè: å¼ óíêöèÿ âëèÿíèÿ ëèøü ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì îòëè÷àåòñÿ îò x; t .
Ì-îöåíêà îêàæåòñÿ óñòîé÷èâîé, åñëè óíêöèÿ x; t áóäåò îãðàíè÷åííîé ïî x.( )( ) 3. Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå T (Fn) íàâîäÿùèå ñîîáðàæåíèÿëàâíûì äëÿ íàñ â ýòîì ðàçäåëå áóäåò ñâÿçü ìåæäó âûáîðî÷íûì óíêöèîíàëîì T Fn è åãî âåðîÿòíîñòíûì àíàëîãîì T F .Pßñíî, ÷òî åñëè T : íåïðåðûâíûé óíêöèîíàë, òî T Fn!T F , òàê êàê Fn P! F ïðè n ! 1. Íàøà öåëü íàéòè àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå T Fn T F . Ñ èñïîëüçîâàíèåì óíêöèéâëèÿíèÿ ìû ïðèâåäåì ïðàâäîïîäîáíûå ñîîáðàæåíèÿ â ïîëüçó òîãî, ÷òî ïðè n ! 1()( )( )( )( )( )( )pn T (F ) T (F ) d! N (0; 2 );nãäå2 = Var IF (x1 ; T; F ).Íà÷íåì ñî ñâÿçè óíêöèé âëèÿíèÿ ñ äèåðåíöèðóåìîñòüþóíêöèîíàëîâ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàñîðåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ F ñîñðåäîòî÷åíî òåïåðü â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ z1 ; z2 ; : : : ; zp âåñàìèk1 > ; k2 > ; : : : ; kp > , ïðè÷åì k1 k2 : : : kp . Èíèíèòåçèìàëüíîå âëèÿíèå íà T F ýòîãî çàñîðåíèÿ ðàâíî:000( )+ + + =1ppZ1fT [(1 )F + X ki z ℄ T (F )g =X ki h(zi )= h(x)dK (x);limi!0i=1i=1K (x) =pP ( ) ()ki zi x , K : óíêöèÿ ðàñïðåäåëåi=1íèÿ çàñîðåíèé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî àíàëîãè÷íàÿ îðìóëà ñïðàâåäëèâà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàñîðåíèé:åñëè ïîëîæèòülim 1 fT [(1!0180)F + K ℄ T (F )g =Zh(x) dK (x):(15:3:1)Ëèíåéíûé óíêöèîíàë (15.3.1) íàçûâàþò ñëàáûì äèåðåíöèàëîì (äèåðåíöèàëîì àòî) óíêöèîíàëà T (:) â òî÷êå F . Çàìå-òèì, ÷òîZh(x) dF (x) = 0:(15:3:2)×òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, äîñòàòî÷íî â (15.3.1) ïîëîæèòü K = F .Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî óíêöèîíàë T (:) äèåðåíöèðóåì âêàêîì-ëèáî ñìûñëå.
 òàêîì ñëó÷àå, åñëèðàñïðåäåëåíèÿ, òî:GèF äâå óíêöèèT (G) = T F + (G F ) = T (F ) + dT + R;ãäå dT äèåðåíöèàë, R îñòàòîê, ò. å. ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà, ñòðåìÿùàÿñÿ ê íóëþ áûñòðåå, ÷åì (G F ). Çàìåòèì, ÷òî åñëèóíêöèîíàë T (:) äèåðåíöèðóåì è dT ñóùåñòâóåò, òî dT ñîâïàäàåò ñ äèåðåíöèàëîì àòî. Òàê ÷òî äëÿ äèåðåíöèðóåìîãîóíêöèîíàëà T :()ZT (G) = T (F ) + h(x) d(Gèëè:RT (G) = T (F ) +Z() ()=0F ) + R;h(x) dG(x) + R;(15:3:3)ïîñêîëüêó h x dF x, êàê óæå áûëî îòìå÷åíî.
Ôîðìóëà(15.3.3) ïðèîáðåòàåò òî÷íûé ñìûñë, åñëè ñíàáäèòü ïðîñòðàíñòâîóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ êàêîé-ëèáî íîðìîé è ïðåäïîëîæèòü, ÷òîïî îòíîøåíèþ ê ýòîé íîðìå óíêöèîíàë T : äèåðåíöèðóåì (âñèëüíîì ñìûñëå, èëè ïî Ôðåøå). Ýòîò ïóòü îêàçûâàåòñÿ ïðîäóêòèâíûì ëèøü äëÿ íåìíîãèõ óíêöèîíàëîâ èç òåõ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå (15.3.3) îáû÷íî èñòîëêîâûâàþò, êàê íàâîäÿùåå, ïðè÷åìïðèìåíÿþò åãî ëèøü äëÿ ñîïîñòàâëåíèÿ T F è T Fn .
Ôîðìàëüíîïðèìåíèì (15.3.3), ïîëîæèâ G Fn . Ïîëó÷èì, ÷òî()( )=T (Fn ) = T (F ) +Z( )h(x) dFn (x) + Rn :P!F ñî ñêîðîñòüþ1=pn ïðè n ! 1. Ïîýòîìó 1 ìîæíî îæèäàòü, ÷òî Rn = oP p . Äàëåå çàìåòèì, ÷òîn äàííîì ñëó÷àå FnZh(x) dFn (x) =n1Xh(xi ):n i=1181( ) ( )( )( )=0( )=()Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû h x1 ; h x2 ; : : : ; h xn íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, ïðè÷åì Eh xiâ ñèëó (15.3.2).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî< Dh x1 Var IF x1 ; T; F < 10è îáîçíà÷èì ýòó äèñïåðñèþ ÷åðåçäåëüíîé òåîðåìåp1nnXi=12 . Òîãäà ïî öåíòðàëüíîé ïðå-h(xi ) d! N (0; 2 ):Îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðèn!1pn T (F ) T (F ) d! N (0; 2 ):n(15:3:4)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (15.3.4) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî:npnT (F ) T (F ) 1 Xh(xi ) P! 0:nni=1(15:3:5)Îáû÷íî äëÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷ óòâåðæäåíèå (15.3.5) óäàåòñÿ äîêàçàòü áåç îáðàùåíèÿ ê êîíöåïöèè äèåðåíöèðîâàíèÿ óíêöèîíàëîâ â ñèëüíîì ñìûñëå.
Òàê, ìåæäó ïðî÷èì, ìû è äåéñòâîâàëèïðèìåíèòåëüíî ê îöåíêàì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.Ñïåöèàëüíî îòìåòèì çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî (15.3.4): âî âñåõèçâåñòíûõ ñëó÷àÿõ îöåíèâàíèÿ ýòà îðìóëà äàåò âåðíûé ðåçóëüòàò. Äëÿ ïðèìåðà íàéäåì ñ ïîìîùüþ (15.3.4) àñèìïòîòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ âûáîðî÷íîé ìåäèàíû n (ïî âûáîðêå îáúåìà n èçðàñïðåäåëåíèÿ ñ óíêöèåé F : , ïðè÷åì äëÿ ìåäèàíû ýòîãî ðàñ0ïðåäåëåíèÿ âûïîëíåíî F > ). Ôóíêöèÿ âëèÿíèÿ äëÿ ìåäèàíûèçâåñòíà:sign z ()() 0h(z ) =(2F ()0):Ôîðìóëà (15.3.4) óòâåðæäàåò, ÷òî:pn(n()=1) d! N 0;1 ;4[F ()℄20òàê êàê D sign x1 . Ýòî ïðàâèëüíûé ðåçóëüòàò.
Äîêàçàòüåãî ìîæíî ðàçíûìè ñïîñîáàìè, íî ìû ýòîãî äåëàòü çäåñü íå áóäåì.182Ëåêöèÿ 16. Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ òèïàÏèðñîíà-Ôèøåðà 1. Òåîðåìà Ê. ÏèðñîíàÓïîìÿíóòûå êðèòåðèè îòíîñÿòñÿ ê íåçàâèñèìûì èñïûòàíèÿìñ íåñêîëüêèìè èñõîäàìè è ê ãèïîòåçàì îá èõ âåðîÿòíîñòÿõ. àññìîòðèì íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ ñ m (m ) èñõîäàìè. Îáîçíà÷èì èñõîäû ÷åðåç A1 ; A2 ; : : : ; Am .
Âåðîÿòíîñòè ýòèõ èñõîäîâíåèçìåííû âî âñåõ èñïûòàíèÿõ. Îáîçíà÷èì ýòè âåðîÿòíîñòè ÷åmPpi . Îïèñàííûå èñïûòàíèÿ áóäåìðåç p1 ; p2 ; : : : ; pm , ïðè÷åìi=1íàçûâàòü(äàæå â ñëó÷àå m > ).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â n èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè áûëè çàðåãèñòðèðîâàíû ÷àñòîòû (êîëè÷åñòâà îñóùåñòâëåíèé) 1 ; 2 ; : : : ; m èñõîmPäîâ A1 ; A2 ; : : : ; Am ; ïðè ýòîìi n. Òåîðåìû, êîòîðûå ìû îái=1ñóäèì, êàñàþòñÿ ïðîâåðîê ãèïîòåç î ~p p1 ; : : : ; pm T ïî ÷àñòîòàìT~ 1 ; : : : ; m .Íà÷íåì ñ ïåðâîãî êðèòåðèÿ òàêîãî ðîäà, óñòàíîâëåííîãî Ê. Ïèðñîíîì (Karl Pearson) â 1900 ãîäó.
(Òåîðåìó Ïèðñîíà, êîòîðàÿ áóäåòñîðìóëèðîâàíà ÷óòü ïîçæå, ìîæíî ñ÷èòàòü ïåðâîé çíà÷èòåëüíîéòåîðåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè). Êðèòåðèé Ïèðñîíà îòíîñèòñÿ ê ïðîâåðêå ïðîñòîé ãèïîòåçû î âåðîÿòíîñòÿõ:2=1èñïûòàíèÿìè Áåðíóëëè2==()=()H0 : p~ = ~p 0 èëè, ïîäðîáíåå, H0 : p1 = p10 ; p2 = p20 ; : : : ; pm = pm0 ;0 çàäàííûå ïîëîæèòåëüíûå âåðîÿòíîñòè,ãäå p10 ; p20 ; : : : ; pmmP 0pi = 1. Àëüòåðíàòèâîé ê H0 ñëóæèò åå îòðèöàíèåi=1H 0 : p~ 6= ~p 0 :Ïðàâèëî Ïèðñîíà èìååò àñèìïòîòè÷åñêèé õàðàêòåð è ìîæåò êîððåêòíî ïðèìåíÿòüñÿ ïðè ÷èñëåííîñòÿõ èñïûòàíèé n "äîñòàòî÷íîáîëüøèõ" (÷òî ýòî îçíà÷àåò îáñóäèì ïîçæå).Ï ð à â è ë î Ê.
Ïèðñîíà.H0 p~ p~ 0 ()">Îòâåðãíóòü : =0, åñëèmX(i npi0 )2 > 2 (m 1):1 "np 0áëèæåííîì óðîâíåi=1íà ïðè-i183Çäåñü 21 " mîáîçíà÷àåò (1-")-êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ õèêâàäðàò ñ mñòåïåíüþ ñâîáîäû. Âîïðîñ î òîì, êàêèå ÷èñëåííîñòè n äîñòàòî÷íî âåëèêè äëÿ òîãî ÷òîáû ìîæíî áûëî îáðàùàòüñÿ êýòîìó ïðàâèëó, äîâîëüíî òåìåí, íåñìîòðÿ íà äîëãóþ åãî èñòîðèþ.Îñòîðîæíàÿ (êîíñåðâàòèâíàÿ) ðåêîìåíäàöèÿ: äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèÿ npi0 äëÿ âñåõ i; m.Ñêàçàííîå ïðàâèëî îñíîâàíî íà àñèìïòîòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõñòàòèñòèêè ÏèðñîíàmXi npi0 2Xn2npi0i=1( 1)1)(5=1:=()ïðè ãèïîòåçå (êîãäà èñòèííûå âåðîÿòíîñòè p~ ~p 0 ) è àëüòåðíàòèâå00(êîãäà p~ 6 p~ ). Íà÷íåì ñî ñëó÷àÿ p~ 6 p~ . Ïåðåïèøåì Xn2 â âèäå==mXi2Xn = ni=1 n=2pi0 =pi0 :Ïî çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë (â äàííîì ñëó÷àå ýòî òåîðåìà Áåðíóëëè)1 ~ ! p~:nÏîýòîìóm2X(pi pi0)2 :pi0 =pi0 P!pi0i=1 ni=1Ýòîò ïðåäåë ïîëîæèòåëåí, åñëè è òîëüêî åñëè p~ 6= p~ 0 .
Îòñþäàñëåäóåò, ÷òî ïðè àëüòåðíàòèâå ñòàòèñòèêà Xn2 íåîãðàíè÷åííî âîçmXiðàñòàåò:Xn2 P! 1 ïðè n ! 1:Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå Xn2 ïðè ãèïîòåçå p~ = p~ 0 :Ò å î ð å ì à 16.1.1. (Karl Pearson, 1900ã. ïðèìåðíî).íàÿ âåëè÷èíàÑëó÷àé-npi0 )2 d 2! (m 1) ïðè n ! 1:npi0i=1(Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Xn2 ïðè n ! 1 ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå õè-êâàäðàò ñ (m 1) ñòåïåíÿìè ñâîáîäû).mX184(iÒàêèì îáðàçîì, áîëüøèå çíà÷åíèÿ Xn2 , ìàëîâåðîÿòíûå ïðè ãèïîòåçå H0 , îêàçûâàþòñÿ â îáëàñòè áîëüøèõ âåðîÿòíîñòåé ïðè àëüòåðíàòèâå H 0 .
Íà ýòîì ñâîéñòâå Xn2 è îñíîâàíî ïðèâåäåííîå âûøåïðàâèëî ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 ~p p~ 0 .: = 2. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êàðëà ÏèðñîíàÒ å î ð å ì à 16.2.1. (Ìíîãîìåðíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà). îïèñàííîé âûøå ñõåìå èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ m èñõîäàìèpn 1 ~ p~ d! N (0; P ~p~p T ); ïðè n ! 1;nãäå P = diag(p1 ; : : : ; pm) äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ìîæíîïðîâåñòè ìåòîäîì õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ óíêöèé ïðàêòè÷åñêè òàêæå, êàê è äîêàçàòåëüñòâî êëàññè÷åñêîé òåîðåìû Ìóàâðà-Ëàïëàñà,êîãäà m.  ýòîì ïîñëåäíåì ñëó÷àå îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò íåâåñü âåêòîð ÷àñòîò (äâóìåðíûé), íî ëèøü îäíó åãî êîîðäèíàòó,èáî âòîðàÿ ïðè ýòîì ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâîé (èõ ñóììàðàâíà n).  ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå ýòîò ïðèåì íå îïðàâäàí.Ïðåäñòàâëÿåì âåêòîð ~ 1 ; : : : ; m T â âèäå ñóììû n íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ~xj ,j ; n, j íîìåð èñïûòàíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
