Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Ò. å. äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî îáðàçóþò òåçíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, êîòîðûå ñîâìåñòèìû ñ íàáëþäåíèåì X (òî÷íåå, ñ X ñîâìåñòèìû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé). Ëåãêî âèäåòü,÷òîP f 2 C X g ";èáî ñîáûòèå f 2 C X g îçíà÷àåò, ÷òî Æ X; t, ò. å. ãèïîòåçà,÷òî èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà åñòü , íå îòâåðãíóòà à ïðèïàðàìåòðå ýòà âåðîÿòíîñòü ".Ï ð è ì å ð. Îöåíêà (äîâåðèòåëüíàÿ) ñäâèãà îäíîé ãàóññîâñêîé âûáîðêè îòíîñèòåëüíî äðóãîé. Ïóñòü Xx1 ; x2 ; : : : ; xm âûáîðêà èç N a; 2 , Yy1 ; y2 ; : : : ; yn âûáîðêà èç N b; 2 .Çäåñü b a ñäâèã âûáîðêè Y îòíîñèòåëüíî X . Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0a b, ò.
å. H0 , ìû ðàñïîëàãàåìñòàòèñòèêîé: =: =( )( )=1( )=1: ( )=0( )( ): =1( )=01=(êîòîðàÿ ïðè()=(): =)=(()): =0mn (x y)2F= s2 ;m+nãèïîòåçå H0 : a = b ñëåäóåò ý-ðàñïðåäåëåíèþ ñ(1; m + n 2) ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. ÇäåñümniX1 hXs2 =(xi x)2 + (yj y)2 :m + n 2 i=1j =1àññìîòðèì ãèïîòåçó Ht : = t, t çàäàíî. Ìû ñâåäåì çàäà÷óê ïðåäûäóùåé, åñëè âûáîðêó Y ïðåîáðàçóåì â Z = (z1 ; z2 ; : : : ; zn ),145= yj t, j = 1; n. Êðèòåðèàëüíàÿ ñòàòèñòèêà äëÿ ïðîâåðêè: = t òåïåðü ðàâíà:mn (x y t)2:m+ns2ãäå zjHt (Çàìåòèì, ÷òî ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè Y â Z îöåíêà äèñïåðñèès2 íå èçìåíÿåòñÿ). åøàþùåå ïðàâèëî äëÿ ïðîâåðêè Ht t íàóðîâíå çíà÷èìîñòè ":: =íå îòâåðãàòüHt , åñëèrmn jx y tj s< t1m+n"=2 ;t1 "=2 ýòî (1 "=2)- êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ(m + n 2) ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. åøàÿ ýòî íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëü-ãäåíî t, ïîëó÷èì äëÿny x sr äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàëmntm+n 1"=2 < < y x + srmntm+n 1"=2o: 4.
Äîâåðèòåëüíîå îöåíèâàíèå ñäâèãàÄîâåðèòåëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà ñäâèãà îäíîé âûáîðêè îòíîñèòåëüíî äðóãîé ìîæíî ïîëó÷èòü è äëÿ âûáîðîê, ðàñïðåäåëåííûõíå ïî íîðìàëüíîìó, íî ïî ïðîèçâîëüíîìó çàêîíó (ëèøü áû íåïðåðûâíîìó). Äëÿ ýòîãî íàäî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì êðèòåðèåì, äåéñòâåííûì â ýòèõ óñëîâèÿõ. Ñêàæåì, êðèòåðèåì Óèëêîêñîíà. Êðèòåðèé Óèëêîêñîíà íàäî ïðèìåíÿòü äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû îá îäíîðîäíîñòè âûáîðîêx1 ; x2 ; : : : ; xm è y1 t; y2 t; : : : ; yn t;äëÿ ïðîèçâîëüíûõ t 2 R1 .Îáîçíà÷èì ñòàòèñòèêó Óèëêîêñîíà äëÿ (12.4.1) ÷åðåçWm;n (t) =()()nXj =1(12:4:1)Wm;n (t):R(yj t);ãäå R y1 t ; : : : ; R yn t ðàíãè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí y1 t; : : : ; yn tâ îáúåäèíåííîé ñîâîêóïíîñòè x1 ; : : : ; xm ; y1 t; : : : ; yn t. Òåïåðüäîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî äëÿ íåèçâåñòíîãî èñòèííîãî çíà÷åíèÿ146ïàðàìåòðà ñäâèãà) åñòü1 2(äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíàft : nN w(; m; n) < Wm;n (t) < w(; m; n)g:(12:4:2)Îñòàåòñÿ ðåøèòü ýòî íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî t, ò.
å. äàòü ÿâíûéâèä ýòîìó äîâåðèòåëüíîìó ìíîæåñòâó.max W.m,n.w (.,m,n)n N - w (,m,n)min Wm,nèñ. 12.4.1. ðàèê óíêöèèy = Wm;n (t), t 2 R1()àññìîòðèì ñòàòèñòèêó Wm;n t êàê óíêöèþ ïåðåìåííîãîÏðè t ! 1 (ò. å. äëÿ çíà÷åíèé t, áîëüøèõ ïî ìîäóëþè îòðèöàòåëüíûõ) êàæäîå çíà÷åíèå yj t, j; n ïðåâîñõîäèòëþáîå çíà÷åíèå xi , i; m.
Ïîýòîìó çäåñüt 2 R1 .=1=1Wm;n (t) = N + (N 1) + : : : + (N (n 1));n(n 1) 1ò. å. ðàâíî max Wm;n = nN2 = 2 n(n+2m+1). Ïðè t ! 1ïî ïðîòèâîïîëîæíûì ñîîòíîøåíèÿì ìåæäó yjWm;n (t) = 1 + 2 + : : : + n =()n(n + 1)2t è xiíàõîäèì= min Wm;n :Äàëåå îòìåòèì, ÷òî Wm;n t ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåò (óáûâàåò)êîãäà t ðàñòåò, è ÷òî êàæäîå óìåíüøåíèå âåëè÷èíû Wm;n ïðîèñõîäèò ñêà÷êîì íà åäèíèöó, êîãäà t ïåðåõîäèò ÷åðåç îäíî èç mn ÷èñåë147yj xi (i = 1; m; j = 1; n). (Äëÿ êîíòðîëÿ: max Wm;n +min Wm;n =2E0Wm;n, max Wm;n min Wm;n = mn, ò. å.
ðàçíèöà ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì çíà÷åíèÿìè Wm;n (t) ðàâíà êîëè÷åñòâóåäèíè÷íûõ ñêà÷êîâ).àäè íåêîòîðûõ äàëüíåéøèõ óäîáñòâ ïðè t yj xi ïîëîæèìWm;n t ðàâíûì ïîëóñóììå ïðåäåëîâ ñïðàâà è ñëåâà. Ýòî ðàâíîñèëüíî ñîãëàøåíèþ, ÷òî ïðè ðàíæèðîâàíèè ñîâïàäàþùèõ çíà÷åíèé ìû ïðèïèñûâàåì âñåì èì îäèíàêîâûå (ñðåäíèå) ðàíãè.Èç ñâîéñòâ óíêöèè Wm;n t è å¼ ãðàèêà ñëåäóåò, ÷òî äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî (12.4.2) åñòü èíòåðâàë; åãî êîíöàìè ñëóæàòíåêîòîðûå ýëåìåíòû èç ìíîæåñòâà fyj xi ; i;m j; ng,êîòîðûå íåòðóäíî óêàçàòü òî÷íî. Äëÿ ýòîãî ñêàçàííîå ìíîæåñòâîíóæíî óïîðÿäî÷èòü, è çàòåì âûáðàòü ïîðÿäêîâûå ñòàòèñòèêè ñíóæíûìè íîìåðàìè. (Èç ðèñóíêà 12.4.1 âèäíî, êàêèå ýòî íîìåðà).=()()=1 ; =1 5.
Òî÷å÷íàÿ îöåíêà ñäâèãà()Ñòàòèñòèêà Wm;n t êîëè÷åñòâåííî âûðàæàåò ñòåïåíü ñîãëàñèÿ(îäíîðîäíîñòè) äâóõ âûáîðîê: x1 ; x2 ; : : : ; xn è y1 t; y2 t; : : : ; yn t.×åì áîëåå îòêëîíÿåòñÿ Wm;n t îò E0 Wm;n (îò îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ Wm;n ïðè ïîëíîé îäíîðîäíîñòè), òåì áîëüøå (ñèëüíåå) ðàçëè÷àþòñÿ âûáîðêè. Îáðàòíî: äâå âûáîðêè òåì áëèæå ê îäíîðîäíûì (åñëè ìåðèòü ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòèêè Óèëêîêñîíà), ÷åì áëèæå Wm;n t ê E0 Wm;n . Îòñþäà âûòåêàåò ïðåäëîæåíèå: âûáðàòü âêà÷åñòâå òî÷å÷íîé îöåíêè íåèçâåñòíîãî ñäâèãà âåëè÷èíó òàêóþ, ÷òî Wm;n E0 Wm;n ; ò. å.
â êà÷åñòâå îöåíêè âçÿòü()()^( ^) =n(m + n + 1)Wm;n (t) =: Ïîíÿòíî, ÷òî2^ = med(xi yj ; i = 1; m; j = 1; n); ò. å. ìåäèàíà ñîâîêóïíîñòè, ñîñòîÿùåé èç mn ðàçíîñòåé âèäà yj xi äëÿ i = 1; : : : ; m; j = 1; : : : ; n.ðåøåíèå óðàâíåíèÿÝòó îöåíêó íàçûâàþòìåäèàíîé Õîäæåñà-Ëåìàíà. 6. ÑîâïàäåíèÿÅñëè íàáëþäàåìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ðàñïðåäåëåíû íåïðåðûâíî, òî ñðåäè èõ ðåàëèçàöèé íå ìîæåò áûòü îäèíàêîâûõ (âåðîÿòíîñòü ñîâïàäåíèé ðàâíà íóëþ). Íà ïðàêòèêå, îäíàêî, ñîâïàäåíèÿ âñòðå÷àþòñÿ íåðåäêî õîòÿ áû èç-çà îêðóãëåíèé ïðè çàïèñè ðåçóëüòàòîâ.
Ïåðâàÿ òðóäíîñòü, êîòîðàÿ ïðè ýòîì âîçíèêàåò 148êàê íàçíà÷èòü ðàíãè? Ïðèíÿòûé ñïîñîá òàê íàçûâàåìûå ñðåäíèå ðàíãè. Åãî ïðîùå ïîÿñíèòü íà ïðèìåðå. Ïóñòü x1, x2,x3 , x4 , x5 . Óïîðÿäî÷åííûå ïî âîçðàñòàíèþ, ýòè ÷èñëàäàþò âàðèàöèîííûé ðÿä ; ; ; ; . ×èñëî 2 â íåì âñòðå÷àåòñÿ äâàæäû, çàíèìàÿ âòîðîå è òðåòüå ìåñòà. Áóäü x3 è x4 ðàçëè÷íû, îíèïîëó÷èëè áû ðàíãè 2 è 3. Ñåé÷àñ êàæäîìó èç íèõ äàþò ñðåäíèéðàíã 2+3: . Ïîëó÷àþò R1 ; R2 ; R3 : ; R4 : ; R5 .2Íàçíà÷èâ ðàíãè (åñëè íàäî ñðåäíèå), äåéñòâóþò ïî îïèñàííûì ïðàâèëàì. Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ïðè íàëè÷èè ñîâïàäåíèéñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè (óðîâíè çíà÷èìîñòè, äîâåðèòåëüíûå âåðîÿòíîñòè è ò.
ä.) íå ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè: ñîâïàäåíèÿ óêàçûâàþò, ÷òî áàçîâîå ïðåäïîëîæåíèå î íåïðåðûâíîñòè îñíîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå âûïîëíÿåòñÿ. Âñå ðàíãîâûå âûâîäû ñòàíîâÿòñÿ ïðèáëèæåííûìè, è ÷åì âûøå äîëÿ ñîâïàäåíèé, òåì ìåíåå íàäåæíûýòè âûâîäû. Âïðî÷åì, åñëè äîëÿ ñîâïàäåíèé íåâåëèêà, òî íåâåëèêèè âîçìîæíûå îøèáêè, è ðàíãîâûìè ìåòîäàìè ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿáåç îïàñåíèé. Ê ñîæàëåíèþ, ãðàíèöó çäåñü ïðîâåñòè òðóäíî.=2=2=25=4=3=112234=4=1=2 5=2 5=5 7.
Äðóãèå ðàíãîâûå ïðàâèëààíãîâûå (øèðå: íåïàðàìåòðè÷åñêèå) ìåòîäû ìîæíî ïðèëàãàòü ê ðåøåíèþ ìíîãèõ çàäà÷.  ÷àñòíîñòè, òàê ìîæíî èññëåäîâàòü íå òîëüêî çàäà÷ó î äâóõ âûáîðêàõ, êàê ìû ñäåëàëè ýòîâûøå, íî è äðóãèå ëèíåéíûå ìîäåëè. Áîëüøîå äîñòîèíñòâî, ÷òîñëó÷àéíûå îøèáêè ïðè ýòîì ìîãóò èìåòü ïðîèçâîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (íåïðåðûâíîå). Êàê ïðèìåð, îáðàòèìñÿ ê óæå óïîìèíàâøåéñÿ (ëåêöèÿ 11) îäíîàêòîðíîé ìîäåëè, ãäå xijaj "ij ;; k; i; nj . Çäåñü xij íàáëþäåíèÿ, a1 ; : : : ; ak íåèçjâåñòíûå ïîñòîÿííûå, "ij íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå îøèáêè.
Äëÿ ýòîé ìîäåëè ïðèâåäåì è ãàóññîâñêîå,è íåïàðàìåòðè÷åñêîå ïðàâèëà äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû=1==1+H0 : a1 = : : : = ak :àóññîâñêàÿ ïîñòàíîâêà: ñëó÷àéíûå îøèáêè "ij íåçàâèñèìû èðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî N ; 2 , ïðè÷åì äèñïåðñèÿ 2 íå èçâåñòíà. Óïîìÿíóòóþ ãèïîòåçó ìîæíî ïðîâåðèòü, ñðàâíèâàÿ äâå îöåíêèäëÿ 2 , îáùóþ è ïðè ãèïîòåçå.
Îïèñàííûé â ëåêöèè 11 îáùèé ìå-(0 )149òîä ïðèâîäèò ê êðèòåðèàëüíîé ñòàòèñòèêå1kPnj (x:j x)21j =1F=:nj1 Pk P2(xij x:j )N kkj =1 i=1ÇäåñüN=kPj =1nj îáùåå ÷èñëî íàáëþäåíèé, x:jñðåäíåå ïî ñòîëáöó j ,x =njk PP=1njnjPi=1xijxij =N ãåíåðàëüíîå ñðåäíåå.j =1 i=1Ïðè ãèïîòåçå H0 ýòà ñòàòèñòèêà ñëåäóåò ý-ðàñïðåäåëåíèþ ñk ; N k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
èïîòåçó H0 îòâåðãàþò íà óðîâíåçíà÷èìîñòè , åñëè F ïðåâîñõîäèò -êâàíòèëü ñêàçàííîãî ýðàñïðåäåëåíèÿ. (Ïðîùå ãîâîðÿ, åñëè âû÷èñëåííîå F îêàçûâàåòñÿíåïðàâäîïîäîáíî áîëüøèì).Íåïàðàìåòðè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà: ñëó÷àéíûå îøèáêè "ij íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, ïðè÷åì ýòî ðàñïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîå.
àíãîâûé ìåòîä íà÷èíàåòñÿ ñ ïåðåõîäà îò íàáëþäåíèé xijê èõ ðàíãàì rij (â îáúåäèíåííîé ñîâîêóïíîñòè). àíãîâàÿ êðèòåðèàëüíàÿ ñòàòèñòèêà (îäíà èç âîçìîæíûõ) äëÿ ïðîâåðêè òîéæå ãèïîòåçû H0 âûãëÿäèò ñõîäíî ñ ÷èñëèòåëåì ý-îòíîøåíèÿ:nk12 P1 Pj rij ,nj r:j r 2 ; ãäå r:jîíà ðàâíà GN (N +1)njj =1i=1njk PPrij .  äàííîì ñëó÷àå r N2+1 . Ìíîæèòåëü N (N12+1)r N1j =1 i=1ïîñòàâëåí ðàäè óäîáíîãî ïåðåõîäà ê ïðåäåëó: ïðè ãèïîòåçå H0 :G d! 2 k, êîãäà n1 ; : : : ; nk ! 1.Ïðè ãèïîòåçå H0 , êîãäà âñå âîçìîæíûå ðàçìåùåíèÿ ðàíãîâèìåþò îäèíàêîâûå âåðîÿòíîñòè, ñòàòèñòèêà G ðàñïðåäåëåíà ñâîáîäíî.
Ïîýòîìó å¼ ðàñïðåäåëåíèå äëÿ êàæäîãî íàáîðà n1 ; : : : ; nkè k ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî. åàëüíî òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèé äëÿG ñîñòàâëåíû ëèøü äëÿ íåìíîãèõ òàêèõ íàáîðîâ. Ïî ñ÷àñòüþ, óïîìÿíóòàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ðàñïðåäåëåíèåì õè-êâàäðàò íåïëîõî äåéñòâóåò äàæå äëÿ îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèõ ÷èñëåííîñòåé n1 ; : : : ; nk .Áîëåå äåòàëüíûé ðàññêàç çäåñü íåóìåñòåí. Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãîïðèìåíåíèÿ ðàíãîâûõ ìåòîäîâ ðåêîìåíäóþ îáðàòèòüñÿ ê Ì. Õîëëåíäåð, Ä. Âóë, "Íåïàðàìåòðè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè". Ì.:Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1983. 518 ñ.( 1)(1 )=()===(1)(150)Ëåêöèÿ 13.
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòüñòàòèñòèêè ðàíãîâûõ ñóìì Óèëêîêñîíà 1. Ôîðìóëèðîâêè òåîðåìÌû ïðîäîëæàåì îáñóæäåíèå ñòàòèñòèêè ðàíãîâûõ ñóìì Wm;n .Íàì óæå èçâåñòíî ãëàâíîå: äëÿ îäíîðîäíûõ íåçàâèñèìûõ âûáîðîêðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Wm;n îäíî è òî æå äëÿ âñåõ íåïðåðûâíûõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé (ò. å. äëÿ ëþáîãî íåïðåðûâíîãîðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ íàáëþäåíèé). Ïîýòîìó äëÿ ïðîâåðêè ñïîìîùüþ Wm;n ãèïîòåçû îá îäíîðîäíîñòè äâóõ âûáîðîê ìîæíîäëÿ âñåõ íèõ èñïîëüçîâàòü îäíè è òå æå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿýòîé ñòàòèñòèêè. ðàçíûõ ñáîðíèêàõ òàáëèö (è ïàêåòàõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðîãðàìì) ñâåäåíèÿ î ðàñïðåäåëåíèè Wm;n ìîãóò áûòü äàíû ïîðàçíîìó. Óäîáíî äëÿ ïðèëîæåíèé, åñëè óêàçàíà, íàïðèìåð,P0 fWm;n xg(13:1:1)äëÿ ïåðâûõ íàòóðàëüíûõ m; n è ðàçëè÷íûõ x.
Òàê ñäåëàíî â êíè-ãå Ì. Õîëëåíäåð, Ä. Âóë "Íåïàðàìåòðè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè". Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1983. 518 ñ., òàáëèöà À.5. ×åðåçP0 f:g çäåñü îáîçíà÷åíà âåðîÿòíîñòü ïðè ãèïîòåçå, ò. å. êîãäà îáåíåçàâèñèìûå âûáîðêè èçâëå÷åíû èç îáùåãî íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íî êàê áû äàëåêî ïî m; n íè áûëè ðàññ÷èòàíû òàáëèöû,íåèçáåæåí âîïðîñ î âåðîÿòíîñòÿõ (13.1.1) äëÿ ÷èñëåííîñòåé âûáîðîê m; n çà èõ ïðåäåëàìè.  ýòîé ëåêöèè áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïðèáîëüøèõ m; n ñòàòèñòèêà Wm;n ðàñïðåäåëåíà ïðèáëèæåííî íîðìàëüíî, è íå òîëüêî ïðè ãèïîòåçå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
