Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Èíà÷å ãîâîðÿ, ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, ñêàæåì B , òàêàÿ÷òîBAB T I:=Çàìåòèì, ÷òîA 1 = B T B:àññìîòðèì ñëó÷àéíûé âåêòîð = B . ßñíî, ÷òî Np (Ba; BAB T ) = Np (Ba; I ):Ïîýòîìójj2 = 2 (p; );ãäå = jBaj2 = (Ba)T Ba = aT A1 a:Ñ äðóãîé ñòîðîíû:jj2 = T = (B )T B = T A 1 :Ëåììà äîêàçàíà. Ïðèìåíèì ýòó ëåììó ê ãàóññîâñêîìó âåêòîðó (8.5.2).
Ïîëó÷èì,÷òî T F T F 2 2 m :::(^ ) ()( ^ ) =( )(8 5 4)Ý - ð à ñ ï ð å ä å ë å í è å. Íàçûâàåìîå òàêæå ðàñïðåäåëåíèåìÑíåäåêîðà, ðàñïðåäåëåíèåì Ôèøåðà, ðàñïðåäåëåíèåì äèñïåðñèîííîãî îòíîøåíèÿ Ôèøåðà è ò. ä.Î ï ð å ä å ë å í è å 8.5.1. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 è X2íåçàâèñèìû è ðàñïðåäåëåíû ïî çàêîíàì õè-êâàäðàò:X1 = 2 (m1 ; ); X2 = 2 (m2 ; 0):Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàF= F (m1 ; m2; ) =-îòíîøåíèåìíûì ý-ðàñïðåäåëåíèåì11m2 X2m1 X1(8:5:5)íàçûâàåòñÿ F(ý-îòíîøåíèåì, äèñïåðñèîííûì îòíîøåíèåì Ôèøåðà).
àñïðåäåëåíèå (8.5.5) íàçûâàþòñ m1 è m2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è ïàðàìåòðîì íåöåíòðàëüíîñòè . Åñëè, ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàþòíåöåíòðàëü-=0115öåíòðàëüíûì. Ýïèòåò "öåíòðàëüíîå" ÷àñòî îïóñêàþò è ãîâîðÿòïðîñòî îá ý-ðàñïðåäåëåíèè ñ m1 è m2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è îñëó÷àéíîé âåëè÷èíå F (m1 ; m2 ).Ïëîòíîñòü ý-ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåì âûâåñòè èç îïðåäåëåíèÿ(8.5.5) è âèäà ïëîòíîñòè õè-êâàäðàò. Ìû íå áóäåì ê íåé îáðàùàòüñÿ, ïîëàãàÿñü íà òî, ÷òî íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ îá ýðàñïðåäåëåíèè (íàïðèìåð, êâàíòèëè) ìîæíî íàéòè â òàáëèöàõ.Âñå æå ïðèâåäåì ïëîòíîñòü F m1 ; m2 ; :(0)m 1m1 2 m21 1xm2 m1 +m2m m 2m112B;1+x2 2m2äëÿx 0:()Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé F m1 ; m2 ;ñòîõàñòè÷åñêè óïîðÿäî÷åíî ïî ïðè ëþáûõ m1 è m2 .
Äîêàçûâàþò ýòîòàêò òåì æå ñïîñîáîì, êîòîðûì áûëà äîêàçàíà óïîðÿäî÷åííîñòüñåìåéñòâà 2 m;ïî (m ëþáîå).Âåðíåìñÿ ê äîâåðèòåëüíîìó îöåíèâàíèþ â ìîäåëè (8.5.1). Èçäâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (8.5.3) è (8.5.4) ñîñòàâèìý-îòíîøåíèå( )F (m; n1 (^ )T (F T F )(^ )m) = m 1:jX F ^j2n m(8:5:6)1 , ñ ïîìîùüþ òàáëèöû)(1 )-êâàíòèëü, êîòîðóþ îáî)981>>=< (^ )T (F T F )(^ )< F1 (m; n m)> = 1 :P>m 1;:jX F ^j2Âûáðàâ äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòüêâàíòèëåé äëÿ F m; n m íàéäåìçíà÷èì êàê F1 m; n m .
Òåïåðü((n mÇàìåòèì, ÷òîs2 :=1 jXn m ýòî íåñìåùåííàÿ îöåíêà äëÿ1162 .F ^j2Òåïåðü âèäíî, ÷òîäàííîå íåðàâåíñòâîì(1)-äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî äëÿ , çà-f : (^ )T (F T F )(^ ) < m s2 F1 (m; n m)g;(8:5:7)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âíóòðåííþþ ÷àñòü (ñëó÷àéíîãî) ýëëèïñîèäà ñöåíòðîì â òî÷êå . Ýòà îáëàñòü (âíóòðåííîñòü ýëëèïñîèäà) íàêðûâàåò íåèçâåñòíîå (òî÷êó 2 Rm ) ñ âåðîÿòíîñòüþ.Ìîæíî óêàçàòü äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû è äëÿ îòäåëüíûõ ïàðàìåòðîâ i , 1 ; : : : ; m T .
Èç (8.5.2) ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ êîîðäèíàòà i âåêòîðà 1 ; : : : ; m T ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíî2ìó çàêîíó N i ; aii , åñëè ïîëîæèòü F T F 1 kaij k. Ñ ó÷åòîì(8.2.2) (è íåçàâèñèìîñòè i è s2 ) ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíài t::spaii^^=((1^ = (^)^)^):=ðàñïðåäåëåíà ïî Ñòüþäåíòó ñ (n(^) =(8 5 8))m ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Èñõîäÿèç ýòîãî, ìîæíî ñòðîèòü äëÿ i äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû òàê æå,êàê ìû äåëàëè ýòî â ïàðàãðàå 2.Îòìåòèì, ÷òî åñëè ìàòðèöà F T F íå îðòîãîíàëüíà, òî êîîðäèíàòû âåêòîðà îöåíîê íå íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè è äîâåðèòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ äëÿ îòäåëüíûõ1 ; : : : ; m , êîãäà ýòè óòâåðæäåíèÿ îñíîâûâàþòñÿ íà öåíòðàëüíûõâåëè÷èíàõ (8.5.8).  ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íåñêîëüêîäîâåðèòåëüíûõ óòâåðæäåíèé âûïîëíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî, íåëüçÿïîëó÷èòü, ïåðåìíîæàÿ èõ èíäèâèäóàëüíûå äîâåðèòåëüíûå âåðîÿòíîñòè. Îäíîâðåìåííûå äîâåðèòåëüíûå âûâîäû î 1 ; : : : ; m íàäîïîëó÷àòü èíà÷å.
Íàïðèìåð, ïî ìåòîäó Øåå (èëè Òüþêè).^117Ëåêöèÿ 9. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç 1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è, îñíîâíûå ïîíÿòèÿÍàáëþäåíèå X ïîëó÷åíî ñëó÷àéíûì âûáîðîì èç ãåíåðàëüíîéñîâîêóïíîñòè X ïî íåêîòîðîìó âåðîÿòíîñòíîìó çàêîíó P , êîòîðûé íàì íå èçâåñòåí. Îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèÿ P èçâåñòíîëèøü, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì íåêîòîðîãî çàäàííîãî ìíîæåñòâà P âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâåX . Îòíîñèòåëüíî èñòèííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ P âûñêàçàíî ïðåäïîëîæåíèå, êîòîðîå ìû õîòèì ïðîâåðèòü, îïèðàÿñü íà íàáëþäåíèå X :P îáëàäàåò íåêîòîðûìè îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè. Ýòè ñâîéñòâàâûäåëÿþò â ìíîæåñòâå P íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî P0 . Ïîýòîìóóïîìÿíóòîå ïîäëåæàùåå ïðîâåðêå ïðåäïîëîæåíèå H0 (â äàëüíåéøåì ãèïîòåçà H0 ) çâó÷èò òàê: P 2 P0 , ãäå P0 P .Êîãäà ìíîæåñòâî ðàñïðåäåëåíèé P ïàðàìåòðèçîâàíî ñ ïîìîùüþ êàêîãî-ëèáî ïàðàìåòðà , ïðè÷åì PfP 2 g, òîãäàãèïîòåçà H0 òîæå ïðèîáðåòàåò ïàðàìåòðè÷åñêóþ îðìó==: H0 : 2 0 ;:P0 fP 2 0 g, 0 çàäàíî è 0 .èïîòåçà H0 ëèáî âåðíà, ëèáî íåò.
 ïîñëåäíåì ñëó÷àå âûïîëíåíî àëüòåðíàòèâíîå ïðåäïîëîæåíèåî ðàñïðåäåëåíèè(àëüòåðíàTSòèâà): P 2 P1 . Ïðè ýòîì P0 P1 , P1 P0 P . (Ïîñëåäíåå,âïðî÷åì, íå îáÿçàòåëüíî: ãèïîòåòè÷åñêîå è àëüòåðíàòèâíîå ìíîæåñòâî ðàñïðåäåëåíèé íå âñåãäà â ñâîåì îáúåäèíåíèè ñîñòàâëÿþòâñå âîçìîæíûå âåðîÿòíîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ). ïàðàìåòðè÷åñêîé îðìå àëüòåðíàòèâà H1 èìååò âèäãäå==H1 : 2 1 ;ãäåP1 = fP : 2 1 g, 1 çàäàíî, 1 è 0 T 1 = .Ïî íàáëþäåíèþ X ìû äîëæíû ëèáî ïðèíÿòü H0 , ëèáî H0 îòâåðãíóòü (èíîãäà â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò:H1 ). Ìû ðàñøèðÿåì ýòó çàäà÷ó òàê: íà ìíîæåñòâå X ìû äîëæíû îïðåäåëèòüóíêöèþ îò x, x 2 X , çíà÷åíèÿìè êîòîðîé ìîãóò áûòü "îòâåðãíóòü H0 " èëè "íå îòâåðãàòü H0 ". Çàòåì ìû ïðèìåíèì ýòó óíêöèþ ê íàáëþäåííîìó çíà÷åíèþ X è â ðåçóëüòàòå ïðèìåì êîíêðåòíîå ðåøåíèå.ïðèíÿòü118= :êðèòåðèåìÏóñòü S fx x 2 X ; ïî íàáëþäàåìîìó x îòâåðãàåì H0 g:Ìíîæåñòâî S , S X , íàçûâàþòäëÿãèïîòåçû H0 , èëè.Ïîñêîëüêó ãèïîòåçû, î êîòîðûõ ìû ãîâîðèëè, êàñàþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, òàêèå ãèïîòåçû íàçûâàþòñÿ, à êðèòåðèè äëÿ èõ ïðîâåðêè .Ñ ëþáûìè ñòàòèñòè÷åñêèìè êðèòåðèÿìè íåðàçðûâíî ñâÿçàíûâîçìîæíûå îøèáêè:ñòàòèñòè÷åñòàòèñòè÷åñêèìè êðèòå-ñêèìèðèÿìèêðèòè÷åñêèì ìíîæåñòâîìH0 , êîãäà H0 âåðíà;îøèáêà ðîäà II: íå îòâåðãàåì H0 , êîãäà H0 íåâåðíà.îøèáêà ðîäà I: îòâåðãàåìÏî ñâîèì ïîñëåäñòâèÿì ýòè îøèáêè îáû÷íî íå ðàâíîçíà÷íû:îøèáêà I ðîäà îïàñíåå, ò.
ê. îíà çàñòàâëÿåò íàñ îòêàçàòüñÿ îò ïðàâèëüíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ.  òî æå âðåìÿ îøèáêà II ðîäà (íå îòâåðãíóòü ãèïîòåçó, êîãäà îíà íå âåðíà) íå çàêðûâàåò âîçìîæíîñòèâñå æå îòâåðãíóòü ëîæíóþ ãèïîòåçó H0 â ðåçóëüòàòå äàëüíåéøèõå¼ ïðîâåðîê. Ïîýòîìó ïðè ïðîâåðêå ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç âîçìîæíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà ñòàðàþòñÿ óìåíüøèòü. Æåëàòåëüíî, âïðî÷åì, èìåòü òàêèå ñòàòèñòè÷åñêèå êðèòåðèè, äëÿ êîòîðûõìàëû (áëèçêè ê 0) âåðîÿòíîñòè îáåèõ îøèáîê. Íî ïîñêîëüêó ýòîîáû÷íî íåâîçìîæíî, ê âûáîðó êðèòåðèÿ S âûäâèãàþò òàêèå òðåáîâàíèÿ:Âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà íå äîëæíà ïðåâîñõîäèòü âûáðàííîé (ìàëîé) âåëè÷èíû, íàçûâàåìîéS.ñòè êðèòåðèÿóðîâíåì çíà÷èìî-Ïðè ýòîì óñëîâèè âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà íàäî ñäåëàòüêàê ìîæíî ìåíüøå.Ñ áîëüøåé îïðåäåëåííîñòüþ ãîâîðèòü î ñâîéñòâàõ ñòàòèñòè÷åñêîãî êðèòåðèÿ ïîìîãàåò åãî óíêöèÿ ìîùíîñòè.
Àðãóìåíòîìñëóæèò ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé P íà X , P 2 P .Î ï ð å ä å ë å í è å 9.1.1. P êðèòåðèÿ SíàçûâàþòÌîùíîñòüþ ( ) (P; S ) = (P ) = P fX 2 S g;ò.å. âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ fX2 S g, êîãäà ñëó÷àéíûé âûáîð X; X2X ,ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî ðàñïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé P . (Íàïîìíèì,119÷òî ãèïîòåçó H0 ìû îòâåðãàåì ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ S , åñëè ïðîèñõîäèò ñîáûòèå X 2 S ). Ôóíêöèþ , çàäàííóþ íà ìíîæåñòâåðàñïðåäåëåíèé P , íàçûâàþò(êðèòåðèÿ S ).Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó ðàíåå, ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé èìååò óðîâåíü çíà÷èìîñòè , åñëè P äëÿ âñåõ P 2 P0 .
Ïîñêîëüêóêàæäûé êðèòåðèé óðîâíÿ åñòü îäíîâðåìåííî è êðèòåðèé óðîâíÿ 0 , åñëè < 0 òî ïîëåçíî îïðåäåëèòü äëÿ êðèòåðèÿ åãî ìèíèìàëüíûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè()óíêöèåé ìîùíîñòè( )sup (P ):Ýòó âåëè÷èíó íàçûâàþò ðàçìåðîì êðèòåðèÿ.P 2P0Êîãäà ìíîæåñòâî P ïàðàìåòðèçîâàíî, ò. å. êîãäà Pìîùíîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü óíêöèåé ïàðàìåòðà := fP : 2 g, (; S ) = () = P fX 2 S g: ýòîì ñëó÷àå ðàçìåð êðèòåðèÿ S åñòü sup P fX 2 S g:20Ïåðå÷èñëèì åùå ðàç æåëàòåëüíûå ñâîéñòâà ëþáîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî êðèòåðèÿ, ïðåäíàçíà÷åííîãî äëÿ ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêîéãèïîòåçû P 2 P0 :ìàëûé ðàçìåð;áûñòðîå âîçðàñòàíèå óíêöèè ìîùíîñòè (ïðè óäàëåíèè ðàñïðåäåëåíèÿ P îò ãèïîòåòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà ðàñïðåäåëåíèéP0 ). 2. Ïðèìåð ðåàëüíîé ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêîéãèïîòåçû2.1.Ìàòåìàòè÷åñêàÿ (ñòàòèñòè÷åñêàÿ) ìîäåëü çàêîíà Ìåíäåëÿïðîñòà.
èáðèäû ïåðâîãî ïîêîëåíèÿ èìåþò ãåíîòèï Aa (è åíîòèïA). Îíè ïðîèçâîäÿò ãàìåòû (çàðîäûøåâûå êëåòêè) A è a â ðàâíûõêîëè÷åñòâàõ. Ïðè ñëèÿíèè ãàìåò âîçíèêàþò ñîìàòè÷åñêèå êëåòêè÷åòûðåõ ãåíîòèïîâ: AA; Aa; aA è aa (çäåñü ïåðâûì óêàçàí ãåíîòèïìàòåðèíñêîé êëåòêè, âòîðûì îòöîâñêîé, äëÿ îïðåäåëåííîñòè).Åñëè â îïëîäîòâîðåíèè íåò ñåëåêòèâíîñòè, åñëè æèçíåñïîñîáíîñòüãàìåò îäèíàêîâà, åñëè îäèíàêîâà æèçíåñïîñîáíîñòü ïîòîìñòâà (íàïðèìåð, âñõîæåñòü ñåìÿí) è ò. ä., òî íàóäà÷ó âçÿòîå ðàñòåíèå âòîðîãî ïîêîëåíèÿ èìååò îäèí èç òðåõ ãåíîòèïîâ AA; Aa; aa ñ âåðîÿòíîñòÿìè 41 ; 12 ; 14 ñîîòâåòñòâåííî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòè120åíîòèïîâ A è a ñóòü 34 è 14 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
