Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ïîñêîëüêó I (B )E (X jG ) èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî G , äëÿýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãîZI (B )E (X jG ) dPA=ZA2GI (B )X dP:A(5:3:4)Ïðåîáðàçóÿ ëåâóþ ÷àñòü, äîêàæåì òåì ñàìûì, (5.3.4):ZAI (B )E (X jG ) dP=÷òî è òðåáîâàëîñü.ZTA BE (X jG ) dP=ZTA BX dP=ZAI (B )X dP;3.2. Îáùèé ñëó÷àéÏóñòü Y èçìåðèìàE jXY j < 1. ÒîãäàîòíîñèòåëüíîG , E jX j < 1, E jY j < 1,E (XY jG ) ï.í.= Y E (X jG ):(5:3:5)Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îñíîâûâàåòñÿ íà ïóíêòå 3.1 è îáîáùåííîé òåîðåìå Ëåáåãà î ìàæîðèðîâàííîé ñõîäèìîñòè, êîòîðàÿáóäåò äàíà â ïóíêòå 3.3.88Âûáèðàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Ynòàê, ÷òîáû Yn " Y ï.í. ïðè n ! 1.  òàêîì ñëó÷àåE (XYn jG ) ï.í.= Yn E (X jG )â ñèëó (5.3.3).
Ïî óïîìÿíóòîé òåîðåìåE (XYn jG ) ï.í.! E (XY jG ):Êðîìå òîãî,Yn E (X jG ) ï.í.! Y E (X jG ):Ýòî äîêàçûâàåò (5.3.5).Ñ ë å ä ñ ò â è å.E ['(Y )X jY ℄ ï.í.= '(Y )E (X jY ):3.3. ËåììàË å ì ì à 5.3.1.Òîãäà(a)! ïðè n ! 1.Ïóñòü jn j , E < 1 è n ï.íE (n jG ) ï.í.! E (jG );(b)E (jn j G ) ï.í.! 0:Ñðàâíèì ññõîäèìîñòè):ò å î ð å ì î é Ë å á å ã à (î ìàæîðèðîâàííîéjn j , E < 1 n ï.í.! n ! 1.Ïóñòü(a)èEn ï.í.! E; (E(b)ïðèÒîãäà);ñóùåñòâóåòE (jn j) ï.í.! 0:Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ë å ì ì û 5.3.1. Ïîëîæèìn :=sup jmm:mnj: jn j. Òàê êàê n ï.í.! , òî n # 0 ï.
í. ÒåïåðüjE (n jG ) E (jG )j = jE [(n )jG ℄j E (jn jG ) E (n jG ): (5:3:6)ßñíî, ÷òî n89E (n jG ) ï.í.! 0:Äîêàæåì, ÷òî0(Çàìåòèì, ÷òî E n+1 jGïðåäåë (ïî÷òè íàâåðíîå):) E (n jG ) ï. í. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåòh := nlim!1 E (n jG ) 0:Äàëåå:0 R hdP R E (n jG ) dP = R ndP = En ! 0: Ïîñëåäíååçàêëþ÷åíèå åñòü ñëåäñòâèå öèòèðîâàííîé òåîðåìû Ëåáåãà, èáî0 n 2; E < 1; n ï.í.! 0:RÏîëó÷èëè, ÷òî h dP = 0. Ò.ê. h 0, òî h = 0 ï.
í. Ñëåäîâàòåëüíî:E (n jG ) ï.í.! 0:Ýòî è äîêàçûâàåò ëåììó.3.4. -àääèòèâíîñòü óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè P fAjGgÏóñòüA=PiTAi , ïðè÷åì Ai Aj = , åñëè i 6= j . ÒîãäàP fAjGg ï.í.=Xi(5:3:7)P fAi jGg:Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü â ïðåäûäóùåé ëåììånPnI Ai , I A è çàìåòèòü, ÷òî n " ïðè n ! 1.i=1Ïðî÷èå óñëîâèÿ ëåììû òîæå ñîáëþäåíû.=( )= ( )3.5.
Óñëîâíàÿ äèñïåðñèÿÏî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì äèñïåðñèè DXE X EX 2 ,ââåäåì óñëîâíóþ äèñïåðñèþ X îòíîñèòåëüíî G , ïîëîæèâ, ïî îïðåäåëåíèþ,D(X jG ) = E f[X E (X jG )℄2 jGg:= ()(5:3:8)Ç à ä à ÷ à. Ïîêàæèòå, ÷òîDX = ED(X jG ) + DE (X jG )(ïðè óñëîâèè, ÷òî90DXñóùåñòâóåò).(5:3:9)3.6. Íàèëó÷øèé êâàäðàòè÷íûé ïðîãíîç(Ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå ç à ä à ÷ è).Ç à ä à ÷ à. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è çàäàíû íà îäíîìâåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå.
Íàäî íàéòè äëÿ íàèëó÷øèé ïðîãíîç ïî íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå . Èíà÷å ãîâîðÿ, íàäîíàéòè òàêóþ óíêöèþ f , ÷òî äëÿ ëþáîé óíêöèè g :()E f ( ) 2 Ef ( ) = E (j ):()2 g( ) :Î ò â å ò:Ç à ä à ÷ à. Îáîáùèòå ýòîò ðåçóëüòàò äëÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ2 Rp . 4. Ïðèìåð âû÷èñëåíèÿ E (X Y )jàññìîòðèì ïðèìåð îäíîâðåìåííî òèïè÷íûé è âû÷èñëèòåëüíîíåñëîæíûé. Ïóñòü âåðîÿòíîñòíàÿ òðîéêà ; A; P òàêîâà:( = f! : ! = (x; y); 0 x 1; 0 y 1g, A -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ , P ìåðà Ëåáåãà íà .àññìîòðèì äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû) = (!) è = (!): = (x; y) = x; = (x; y) = x + y:( )Âû÷èñëèì E j .Îòìåòèì, ÷òî A ( -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ , ïîðîæäåííàÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ) ýòî ñîâîêóïíîñòü öèëèíäðè÷åñêèõ ìíîæåñòâ èç âèäà B ; , ãäå B ïðîèçâîëüíîå áîðåëåâñêîå ìíîæåñòâî èç [0,1℄. Ñèãìà-àëãåáðà A óñòðîåíà ñõîæèì îáðàçîì.
żñîñòàâëÿþò (ïåðåñå÷åííûå ñ ) ïðÿìûå ïðîèçâåäåíèÿ áîðåëåâñêèõìíîæåñòâ, ëåæàùèõ íà ïðÿìîé x y , è ïðÿìîé f x; y x yg.Î÷åâèäíî, ÷òî íå èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî A è íå èçìåðèìàîòíîñèòåëüíî A .Ïî îïðåäåëåíèþ, E j òàêàÿ èçìåðèìàÿ îòíîñèòåëüíî Aóíêöèÿ f x; y , äëÿ êîòîðîé[0 1℄Z(x;y)2A( ): + =0( )( )f (x; y) dP==Zx dP(x;y)2Aäëÿ ëþáîãîA 2 A :(5:4:1)91( )( )( )( + )()Òàê êàê f x; y èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî A , îíà äîëæíà çàâèñåòü îò x; y ÷åðåç ïîñðåäñòâî x y. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âêà÷åñòâå f x; y çäåñü ñëåäóåò âçÿòü, ïîêà ïðîèçâîëüíóþ, óíêöèþ g x y , ãäå g èçìåðèìàÿ óíêöèÿ îäíîãî ïåðåìåííîãî. (5.4.1) äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ìíîæåñòâà A âèäà:= +A = f(x; y) : x + y z; (x; y) 2 g;ãäåz ïðîèçâîëüíî.Ïðè òàêîì âûáîðåZf (x; y) è A óñëîâèå (5.4.1) ïðèìåò âèä:Zg (x + y) dP =x dx dy:fx+yz; (x;y)2 gfx+yz; (x;y)2 g(5:4:2)( ) èíòåãðàëàõ (5.4.2) ñëåäóåò ñäåëàòü çàìåíó ïåðåìåííûõ x; y !u; v , ïîëîæèâ u x y.
Âûáîð âòîðîé ïåðåìåííîé íå î÷åíü âàæåí, ïîëîæèì, íàïðèìåð, v x y . Ïîñëå ýòîé çàìåíû äâîéíûåèíòåãðàëû â (5.4.2) ïðåäñòàâèì â âèäå ïîâòîðíûõ. Äëÿ ïðîñòîòûâîçüìåì z 2 ; . (Ñëó÷àé z 2 ; ëåãêî ñâîäèòñÿ ê ðàññìàòðèâàåìîìó). Ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ g :Zz Zu Zz Zu( )= +=[0 1℄120Zzg(u)[1 2℄udv du =Zz120()u+vu2dv du:(5:4:3)1 u2du; èëè g(z) = z :2200Òàêèì îáðàçîì, çäåñü E ( j ) = =2; èëèx+yE (xjx + y) =(5:4:4)2 :Çàìåòèì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè E (X jX + Y ), åñëè X è Y íåçàâè-Îòñþäàu g(u) =ñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû (êàê â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå), ìîæíî îáîéòèñü ïðàêòè÷åñêè áåç âû÷èñëåíèé, åñëè âñïîìíèòü íåêîòîðûå èç ïåðå÷èñëåííûõ ðàíåå ñâîéñòâ óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.
Âî-ïåðâûõ, â ñèëó ñèììåòðèè,ÇàòåìE (X jX + Y ) = E (Y jX + Y ):X + Y = E (X + Y jX + Y ) = E (X jX + Y ) + E (Y jX + Y ):Îòñþäà92E (X jX + Y ) =12 (X + Y ):Ëåêöèÿ 7. Ëèíåéíàÿ ãàóññîâñêàÿ ìîäåëü àáñòðàêòíîé îðìå ýòà ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü î (âåêòîðíîì)íàáëþäåíèè X , X 2 Rn , X âåêòîð-ñòîëáåö, X X1 ; X2 ; : : : ; Xn T:Ïðåäïîëîæèì, ÷òî X ñëó÷àéíûé âåêòîð, ðàñïðåäåëåííûé ïîíîðìàëüíîìó çàêîíó, ïðè÷åì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå X , ò. å.âåêòîð EX , ïðèíàäëåæèò çàäàííîìó ëèíåéíîìó ïîäïðîñòðàíñòâóL; L Rn ; ìàòðèöà êîâàðèàöèé âåêòîðà X ðàâíà 2 I (ñêàëÿðíàÿìàòðèöà).
Âåêòîð lEX è ñêàëÿð 2 , 2 > íåèçâåñòíû. Êîðîòêàÿ çàïèñü: íàáëþäàåìûé âåêòîð X ñëó÷àåí è X N l; 2 I ,ïðè÷åì l 2 L, ãäå L çàäàííîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.Ñòàòèñòè÷åñêèå çàäà÷è â ýòîé ìîäåëè âûâîäû î íåèçâåñòíûõïàðàìåòðàõ l è 2 .=(:=0)() 1. Íåñìåùåííîå îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ëåêöèÿõ î äîñòàòî÷íûõ ñòàòèñòèêàõ áûëî ñêàçàíî, ÷òî äëÿïàðàìåòðà l; 2 â ýòîé ìîäåëè åñòü äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà.Ýòî ïàðà TprojL X; jprojL? X j2 . Ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâàòîò àêò, ÷òî ýòà ñòàòèñòèêà T ïîëíàÿ.
Ïîýòîìó íàèëó÷øàÿ(èìåþùàÿ íàèìåíüøóþ ìàòðèöó êîâàðèàöèé) íåñìåùåííàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà äîëæíà áûòü óíêöèåé äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè(òàêàÿ îöåíêà åäèíñòâåííà).Çàìåòèì, ÷òî E projL X projL EX projL l l, èáî::= (=())===Îïåðàöèþ óñðåäíåíèÿ (âû÷èñëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ) è ïðîåêòèðîâàíèÿ X ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè (ïðîåêòèðîâàíèå X íà ïîäïðîñòðàíñòâî ëèíåéíàÿ îïåðàöèÿ;óñðåäíåíèå îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ëèíåéíîñòè).Òàê êàêl 2 L, òî projL l = l.Ñëåäîâàòåëüíî, íàèëó÷øàÿ íåñìåùåííàÿ îöåíêà l óæå íàéäåíà ýòî projL X . ×òîáû íàéòè íàèëó÷øóþ íåñìåùåííóþ îöåíêó 2 , íàäî ïîäðîáíåå èçó÷èòü ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà projL X èprojL? X .1.1.
Íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèéÎ ï ð å ä å ë å í è å 7.1.1.àñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò. Ïóñòü1 ; 2 ; : : : ; r ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàñïðåäåëåí-93N (0; 1). Ñëóõè-êâàäðàò ñ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàçûâàþò 2 (r) := 12 + 22 + + r2 :íûå êàæäàÿ ïî ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó çàêîíó÷àéíîé âåëè÷èíîéràñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 2 r äëÿ ëþáîãî r (r íàòóðàëüíîå) ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî âî âñåõ ïîäðîáíîñòÿõ (ïëîòíîñòü, óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, êâàíòèëè, è ò. ä.). ßâíûé åãî âèäíàì íå ïîíàäîáèòñÿ.
Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèé è êâàíòèëåé åñòü â ñáîðíèêàõ ñòàòèñòè÷åñêèõ òàáëèö. Ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó 2 r ìîæíî òîëêîâàòü êàê êâàäðàò äëèíû ñëó÷àéíîãî r-ìåðíîãî âåêòîðà ~ 1 ; 2 ; : : : ; r Nr ; I , ñîñòàâëåííîãî èç íåçàâèñèìûõ îäíîìåðíûõ ñòàíäàðòíûõ ãàóññîâñêèõ âåëè÷èíi N ; ; i ; r.àñïðåäåëåíèå Nr ; I ÷àñòî íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì r-ìåðíûì ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëåíèåì, à âåêòîð ~ r-ìåðíûì ñòàíäàðòíûì ãàóññîâñêèì âåêòîðîì.()()(0 1) = 1=()(0 )(0 )Î ï ð å ä å ë å í è å 7.1.2.
Íåöåíòðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå õèêâàäðàò. Ïóñòü ~a = (a1; a2; : : : ; ar ) çàäàííûé âåêòîð. àññìîò-ðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó 2 (r; ) := (1 + a1 )2 + (2 + a2 )2 + + (r + ar )2 :Çäåñü = a21 + a22 + + a2r . Èç ñëåäñòâèÿ ëåììû 7.1.1 (êîòî-ðóþ ìû äîêàæåì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå) ñëåäóåò, ÷òî ðàñïðåäåëårPíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûi ai 2 çàâèñèò îòj~aj2 , íî íå îòi=1~a.
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îòðàæåíî â îáîçíà÷åíèè 2 r; . Âåëè÷èíórPa2i íàçûâàþòðàñïðåäåëåi=1íèÿ õè-êâàäðàò. Åñëè, ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò íàçûâàþò.( + )=öåíòðàëüíûì :=( )ïàðàìåòðîì íåöåíòðàëüíîñòè=0Íåöåíòðàëüíî ðàñïðåäåëåííóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó 2 r;ìîæíî òîëêîâàòü êàê êâàäðàò äëèíû r-ìåðíîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà ~ ~a, ïðè÷åìjaj2 .Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 2 r;ñòîõàñòè÷åñêè óïîðÿäî÷åíî ïî ïàðàìåòðó ;> , åñëè r èêñèðîâàíî. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè 1 2 , òî äëÿ ëþáîãî x >+( )= 00 P f 2(r; 1 ) > xg P f 2(r; 2 ) > xg:94( )0(Î äîêàçàòåëüñòâå ñêàæåì ïîçæå).ðàèêè óíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿðàçíûõ > âûãëÿäÿò òàê: 0F (x) = P f 2 (r; ) xg ïðè1.0F(x)=250.8=56.25=1000.60.40.2x0.0020406080100120140160180200èñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
