Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Íàïîìèíàíèÿ: âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (À.Í. Êîëìîãîðîâ, 1933) Âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ,èëè âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàþò íàáîð (; A; P ). ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê !; A -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâèç ; P âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà A. Ìíîæåñòâî íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ (èëè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé). Ìíîæåñòâà èç A íàçûâàþò èñõîäàìè èëè ñîáûòèÿìè. Ìíîæåñòâî A 2 íàçûâàþò A-èçìåðèìûì, åñëè A 2 A.Äëÿ âñÿêîãî A èç A çíà÷åíèå óíêöèè P íà A, ò. å.
âåëè÷èíóP A , íàçûâàþòA.( )âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿÍà ÷èñëîâîé ïðÿìîé âûäåëÿþò -àëãåáðó áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ B . Ýòî ìèíèìàëüíàÿ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ÷èñëîâîé ïðÿìîé, êîòîðàÿ ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíûå èíòåðâàëû, ïîëóèíòåðâàëûè îòðåçêè ÷èñëîâîé ïðÿìîé. = (!), îïðåäåëåííàÿ íà , íàñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åñëè ìíîæåñòâà âèäàf! : (!) 2 B g(5:1:1)Äåéñòâèòåëüíàÿ óíêöèÿçûâàåòñÿÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿìè (ò. å. ïðèíàäëåæàòðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ B , B 2 B .A) äëÿ ëþáûõ áî-Êàæäàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëÿåò â ïðîñòðàíñòâåíåêîòîðóþ ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ, îáðàçóþùèõ -àëãåáðó, äàëåå îáîçíà÷àåìóþ êàê A , ñîñòîÿùóþ èç ñîáûòèé âèäà (5.1.1), êîãäà B ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî B .791.2.
Ïðîèçâîäíàÿ àäîíà-Íèêîäèìà (1930)ðûÏóñòü íà íåêîòîðîé -àëãåáðå F ïîäìíîæåñòâ èç è . çàäàíû ìå-àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé îòíîñèòåëüíî ìå(A) = 0 ñëåäóåò, ÷òî è (A) = 0Ìåðó íàçûâàþòðû , åñëè èç ðàâåíñòâà(äëÿ ìíîæåñòâ A èç F ).-êîíå÷íîéÌåðó íàçûâàþò , åñëèìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå îáúåäèíåíèÿ ñ÷åòíîé ñîâîêóïíîñòè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ, -ìåðû êîòîðûõ êîíå÷íû, ò. å., åñëè=1[i=1Ai ;ïðè÷åì(Ai ) < 1; i = 1; 2; : : : :Ò å î ð å ì à àäîíà-Íèêîäèìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (; F ) çàäàíà -êîíå÷íàÿ ìåðà è ìåðà, àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ îòíîñèòåëüíî . Òîãäà ñóùåñòâóåòF -èçìåðèìàÿ óíêöèÿ f (!), òàêàÿ, ÷òî(A) =ZAf (!)(d!)äëÿ âñÿêîãî A 2 F .
Ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæåñòâà -ìåðû íóëü,óíêöèÿ f (!) åäèíñòâåííàÿ.Ôóíêöèþ f (! ) íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé àäîíà-Íèêîäèìà ìåðû ïî ìåðå , èëè ïëîòíîñòüþ ìåðû îòíîñèòåëüíî ìåðû :df (!) = (!):d1.3. Îïðåäåëåíèå óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ(= ())Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå; A; P çàäàíû äâåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû XX! èYY ! . Ìû õîòèì îïðåäåëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå X ïðè äàííîì Y , â äàëüíåéøåìîáîçíà÷àåìîå êàê E X jY .Ââåäåì íåñêîëüêî áîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ X îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé -ïîäàëãåáðûäàííîé íàì -àëãåáðû A. Ýòî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ìû çàòåìñâÿæåì ñ E X jY .((80)= ())Ïóñòü G íåêîòîðàÿ -ïîäàëãåáðà -àëãåáðû A. (Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî A âõîäèò â G , îíî òàêæå âõîäèò è â A).Îïðåäåëèì óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå X îòíîñèòåëüíîG , â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àåìîå êàê E X jG .Ïðåäñòàâèì X â âèäå()X = X+ Xãäå X + , X .
Îïðåäåëèìïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ:00E (X + jG )èE (X jG ),E (X jG ) = E (X + jG ) E (X jG );è çàòåì(5:1:2)åñëè õîòÿ áû îäíî èç ýòèõ óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé êîíå÷íî. Òàêèì îáðàçîì, E X jG ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ1 èëè 1. (Òàêóþ âîçìîæíîñòü èìååò è EX ïðè ýòîì ñïîñîáå îïðåäåëåíèÿ). Âïðî÷åì, ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ñëó÷àåì, êîãäàE jX j < 1.  ñèëó (5.1.2) íàäî îïðåäåëèòü E X jG äëÿ X .Íà -àëãåáðå G ðàññìîòðèì äâå ìåðû: P è Q , ïîëîæèâ äëÿïðîèçâîëüíîãî A 2 G(+)( )() ()Q(A) =ZAX (!) P (d!):0(5:1:3)ßñíî, ÷òî ìåðà Q àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðûP . Ïîýòîìó, ïî òåîðåìå àäîíà-Íèêîäèìà, ñóùåñòâóåò óíêöèÿf = f (!), èçìåðèìàÿ îòíîñèòåëüíî G , è òàêàÿ, ÷òîQ(A) =ZAf (!) P (d!):(5:1:4)Ôóíêöèþ f (! ) èç (5.1.4) íàçîâåì óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèìîæèäàíèåì X (çäåñü X 0) îòíîñèòåëüíî -àëãåáðû G , ò. å.:E (X jG )(!) = f (!):Îïðåäåëèâ E (X + jG ) è E (X jG ), ïî îðìóëå (5.1.2) îïðåäåëèìE (X jG ) äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X .Òàêèì îáðàçîì, E (X jG ) ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èçìåðèìàÿîòíîñèòåëüíî -àëãåáðû G .
Îíà îïðåäåëåíà åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæåñòâ íóëåâîé âåðîÿòíîñòè.81=(): ( )=Ïóñòü ñåé÷àñ G AY . Òàê êàê E X jAY èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî AY , òî êàê óíêöèÿ îò ! , ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ïîñòîÿííà íà ìíîæåñòâàõ âèäà f! Y !Constg. Ïîýòîìó E X jAY ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê óíêöèþ îò YY ! , è,ïî îïðåäåëåíèþ, ìîæíî ïîëîæèòü()= ()E (X jY ) = E (X jAY ):1.4.
Íåêîòîðûå ñâîéñòâà E (X jG )RRE (X jG )P (d!) = XP (d!)äëÿ âñÿêîãî A 2 G :(5.1.5)AAÝòî ñâîéñòâî âñåãî ëèøü äðóãàÿ çàïèñü îïðåäåëåíèÿ (5.1.4).Çàìåòèì ðàçëè÷èå ìåæäó X è E X jG : ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàX , âîîáùå ãîâîðÿ, íå èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî G (îíà èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî áîëåå "áîãàòîé" -àëãåáðû A, G A).()EE (X jG ) = EX:(5.1.6)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàäî ïîëîæèòüE [E (X jG )℄ =ZE (X jG ) dPA = â (5.1.5). Òîãäà:=ZX dP= EX;÷òî è òðåáîâàëîñü.E (aX + bY jG ) = aE (X jG ) + bE (Y jG )ïðîèçâîëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X , Y(5.1.7)äëÿè ïîñòîÿííûõa, b. Ïðè ýòîì ëåâàÿ ÷àñòü ñóùåñòâóåò, åñëè ñóùåñòâóåò ïðàâàÿ ÷àñòü.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿëþáîãî A 2 GZAE (aX + bY jG ) dP()+ (Z= [aE (X jG ) + bE (Y jG )℄ dP (5:1:8)A)è ÷òî aE X jGbE Y jG èçìåðèìî îòíîñèòåëüíî G . Ïîñëåäíåå, âïðî÷åì, î÷åâèäíî. Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü (5.1.8):ZA82E (aX + bY jG ) dPZ= (aX + bY ) dP =AaZE (X jG )dP + bZAA÷òî è òðåáîâàëîñü.ÅñëèXE (Y jG ) dPÅñëèAèçìåðèìà îòíîñèòåëüíî G , òî ÷àñòíîñòè,Z= [aE (X jG ) + bE (Y jG )℄ dP;XèYE (X jG ) = X .E (X jAX ) = X:(5:1:9)íåçàâèñèìû, òîE (X jY ) = EX:(5:1:10)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáîãîA 2 AY :ZZE (X jY ) dP= (EX ) dP:(5:1:11)AAÎáîçíà÷èì ÷åðåç IAIA ! èíäèêàòîðíóþ óíêöèþ ìíîæåñòâà A.
Êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, IA èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî AY . Ïðè ýòîì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è IA íåçàâèñèìû, èáî íåçàâèñèìû äâå -àëãåáðû AX è AY . Ïðåîáðàçóåìëåâóþ ÷àñòü (5.1.11), çàìåòèâ ïðåäâàðèòåëüíî, ÷òî ïðàâàÿ÷àñòü (5.1.11) ðàâíà EX P fAg. Èìååì:= ()ZAE (X jY ) dPZ=A()X dP =E (XIA ) =(EX )(EIA ) =(EX )P fAg(â ñèëó íåçàâèñèìîñòèX è IA ), ÷òî è òðåáîâàëîñü.Ó ñ ë î â í û å â å ð î ÿ ò í î ñ ò è.Êàê ìû òîëüêî ÷òî âñïîìíèëè,P fAg = EIA :Ïî àíàëîãèè ñ ýòèì ðàâåíñòâîì, óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A îòíîñèòåëüíî -àëãåáðû G îïðåäåëèì êàêP fAjGg = E (IA jG ):(5:1:12)Ñîîòâåòñòâåííî ýòîìó, óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A îòíîñèòåëüíî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y (ïðè äàííîì Y ) åñòüP fAjY g := P fAjAY g:(5:1:13):83Ó ñ ë î â í û å ð à ñ ï ð å ä å ë å í è ÿ.ðàñïðåäåëåíèåìÍàïîìíèì, ÷òîñëó÷àéíîé âåëè÷èíûíàçûâàåì ñîâîêóïíîñòü âåðîÿòíîñòåé âèäàXìûPX fB g := P fX 2 B g; B 2 B;êîãäà B ïðîáåãàåò -àëãåáðó áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ ÷èñëîâîéïðÿìîé.
Ïðè ýòîì PX fB g, êàê óíêöèÿ B 2 B îáðàçóåò íà Bâåðîÿòíîñòíóþ ìåðó. Ïî àíàëîãèè ñ ýòèì,ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îòíîñèòåëüíî -àëãåáðû Gåñòåñòâåííî íàçûâàòü ñîâîêóïíîñòü óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåéóñëîâíûì ðàñïðå-äåëåíèåìPX fB jGg := P fX 2 B jGg(!); B 2 B:(5:1:14)Íå ñëåäóåò çàáûâàòü, ÷òî (5.1.14) ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,îïðåäåëåííàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæåñòâà ìåðû íóëü. Ìîæíîïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîé âàðèàíò å¼ îïðåäåëåíèÿ, ÷òî(5.1.14), êàê óíêöèÿ B , B 2 B ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 îáðàçóåòíà B (ñëó÷àéíóþ) âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó.  ýòîì ñëó÷àåE (X jG )(!) =ZX (! )PX (d! jG )(!)00ï.
í.(5:1:15)Âïðî÷åì, â ïðîñòîé ñèòóàöèè, êîòîðóþ ìû ðàññìîòðèì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàå, ìû îïðåäåëèì óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå, îòïðàâëÿÿñü îò óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. (Ïîäîáíî òîìó, êàê ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûìû îáû÷íî ââîäèì, îòïðàâëÿÿñü îò ðàñïðåäåëåíèÿ). 2. Ïðîñòûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû() ýòîì ïàðàãðàå ìû ðàññìîòðèì E X jY äëÿ ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y .  ýòîì ñëó÷àå óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå ìîæíî ââåñòè ýëåìåíòàðíûìè ñðåäñòâàìè.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y íàçûâàåòñÿ, åñëè Y ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäåXYyj I Dj ;::jïðîñòîé=( )=()( )(5 2 1)ãäå I DID ! èíäèêàòîðíàÿ óíêöèÿ ìíîæåñòâà D.
(Ïîóäîáñòâàì îáîçíà÷åíèÿ I D ïðåäïî÷òèòåëüíåå, ÷åì ID ID ! ).Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëà y1 ; y2 ; : : : ðàçëè÷íû è ÷òî ñîâîêóïíîñòü84( )= ()ìíîæåñòâ DTj , jñòâà : Dj Di= 1; 2; : : : â (5.2.1) îáðàçóåò ðàçáèåíèå ïðîñòðàí= , åñëè j 6= i; S Dj = . Êîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè-j÷èíà Y ïðîñòàÿ, òî ïîðîæäåííàÿ åþ -àëãåáðà AY ïîðîæäàåòñÿðàçáèåíèåì D1 ; D2 ; : : :. (Çäåñü Dj , j; ; : : : ýòî ìíîæåñòâàóðîâíÿ óíêöèè YY ! , Dj f! Y ! yj g).Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü -àëãåáðû, ïîðîæäåííûå êîíå÷íûìè (èëè ñ÷åòíûìè) ðàçáèåíèÿìè. Ïóñòü G òàêàÿ -àëãåáðà.Ïîðîæäàþùåå å¼ ðàçáèåíèå îáîçíà÷èì, êàê è âûøå, ÷åðåç D1 ;D2 ;: : :.Ïóñòü X ïðîñòàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.
Òîãäà äëÿ E X jG ìîæíîäàòü ýëåìåíòàðíîå îïðåäåëåíèå.Íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè. Ïîëîæèì ïîîïðåäåëåíèþ äëÿ âñÿêîãî A 2 A= ()=12: ( )==(P fAjGg = P fAjGg(!) =XjP fAjDj gI (Dj ):)(5:2:2)ßñíî, ÷òî P fAjGg åñòü èçìåðèìàÿ îòíîñèòåëüíî G ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. ëàâíîå ñâîéñòâî óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè (5.2.2):EP fAjGg = P fAg:Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî:EP fAjGg =XjP fAjDj gEI (Dj ) =ÏóñòüX=Ïî àíàëîãèè ñEX =XXj(5:2:3)P fAjDj gP fDj g = P fAg:( )xi I Ai :iPxi P fAi g, îïðåäåëèìiE (X jG ) =XiÎòìåòèì, ÷òî òàê îïðåäåëåííîå Eíî G ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è ÷òî(5:2:4)E (X jG ) îðìóëîé:(5:2:5)xi P fAi jGg:(X jG ) èçìåðèìàÿ îòíîñèòåëü-EE (X jG ) = EX:Äîêàçàòåëüñòâî (5.2.6) î÷åâèäíî:EE (X jG ) =Xixi EP fAi jGg =(5:2:6)Xixi P fAi g:85Ïîêàæåì, ÷òî îïðåäåëåíèå (5.2.5) ñîâïàäàåò ñ îáùèì îïðåäåëåíèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èç ïàðàãðàà 1.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî B 2 G :ZBE (X jG ) dP=Z(5:2:7)X dP:BÒàê êàê B 2 G , òî B ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè ìíîæåñòâ Dj :B=ãäåXj 2KDj ;K íåêîòîðîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ. Äàëåå çàìåòèì, ÷òîZBE (X jG ) dP=XZj 2KDjE (X jG ) dP;ZBX dP=XZj 2KDjX dP:=1 2Ïîýòîìó (5.2.7) äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ ìíîæåñòâ Dk , k; ; : : :.Èòàê, ïîëîæèâ B Dk , ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü (5.2.7), èñïîëüçóÿ (5.2.5) è (5.2.2):=ZDkE (X jG ) dP==XXixiXj=XixiZDkP fAi jGg dP=P fAi jDj gEI (Dk )I (Dj ) =xi P fAi jDk gP fDk g =Xxi P fAi Dk g:iiÏðåîáðàçîâàíèå ïðàâîé ÷àñòè (5.2.7) äàåò òîò æå ðåçóëüòàò:ZDkX dP = EI (Dk )Xixi I (Ai )=Xixi EI (Ai Dk )=Xixi P fAi Dk g;÷òî è òðåáîâàëîñü.Î ï ð å ä å ë å í è å 5.2.1. Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êàê óñðåäíåíèå.íàáîðà ÷èñåë x1 ; : : : ; xn ñ âåñàìènnPPp1 ; : : : ; pn , piíàçûâàþòxi pi . (Ñ âåðîÿòíîñòíîéi=1i=1086Óñðåäíåíèåì0=1òî÷êè çðåíèÿ, óñðåäíåíèå ýòî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ x1 ; : : : ; xn ñ âåðîÿòíîñòÿìèp1 ; : : : ; pn).Ïîêàæåì, ÷òî çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà E X jG , ñóòü óñðåäíåíèÿ çíà÷åíèé X .
Äåéñòâèòåëüíî,()E (X jG ) =Xixi P fAi jGg ==Íà ìíîæåñòâåíèåDjXhXjiXixiXP fAi jDj gI (Dj ) =ixi P fAi jDj g I (Dj ):ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàyj =jXiE (X jG ) ïðèíèìàåòçíà÷å-xi P fAi jDj g:P fAi jDj g 0,P= 1P fAi jDj gèáîiA1 ; A2 ; : : : ýòî ðàçáèåíèå âñåãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì,yj ýòî óñðåäíåíèå íàáîðà x1 ; : : : ; xn çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ X ,ñ âåñàìè pi P fAi jDj g.Îòìåòèì, ÷òîè ÷òî= 3. Íåêîòîðûå äàëüíåéøèå ñâîéñòâà óñëîâíûõìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèéÑëåäóþùåå ñâîéñòâî óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé âîçìîæíîñòü âûíåñòè çà çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñëó÷àéíûé ìíîæèòåëü, ïîñòîÿííûé ïðè äàííîì óñëîâèè:E ['(Y )X jY ℄ ï.í.= '(Y )E (X jY ):(5:3:1)Ïðåäïî÷òèòåëüíåå ñîðìóëèðîâàòü ýòî ñâîéñòâî â áîëåå îáùåìâèäå: åñëè Y èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî G , òîE (XY jG ) ï.í.= Y E (X jG )(5:3:2)ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñóùåñòâóþò.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðàâåíñòâà íà÷íåì ñ ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí.873.1.
Äîêàçàòåëüñòâî (5.3.2) äëÿ ñëó÷àÿ ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíÏóñòü Y ïðîñòàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èçìåðèìàÿ îòíîñèòåëüíî -àëãåáðû G . Òîãäà:E (XY jG ) ï.í.= Y E (X jG ):Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî ïðåäïîëîæåíèþïðè÷åìBi 2 B, i = 1; 2; : : :. ÒåïåðüE (XY jG ) =XiY(5:3:3)= P yi I (Bi ),iyi E I (Bi )X jG :×òîáû ïîëó÷èòü (5.3.3), äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òîE I (B )X jG= I (B)E (X jG );åñëè B 2 B .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
