Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ïóñòü 0 ; 1 ; : : : ; m (m íàòóðàëüíîå) ñóòü íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (ò. å. 0 ; 1 ; : : : ; m N ; ).() íàçûâàþò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíóåì ñòüþäåíòîâñêîé äðîáüþ(0 1) Ñòüþäåíòîâñêèì îòíîøåíè-t = t(m; ) =ãäåq0 + ;1 22m (1 + + m )(8:2:2) 2 R1 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.àñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû t(m; ) íàçûâàþò ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà; ÷èñëî m íàçûâàþò ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû, à ÷èñëî ïàðàìåòðîì íåöåíòðàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà. Åñëè = 0, ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû t(m) = t(m; 0) íàçûâàþò öåíòðàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà. Ýïèòåò "öåíòðàëüíîå" îáû÷íî îïóñêàþò, è ðàñïðåäåëåíèåt(m) íàçûâàþò ïðîñòî ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà (ñ m ñòåïåíÿìèñâîáîäû).àñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà (öåíòðàëüíîå) ñíàáæåíî ðàçíîîáðàçíûìè è ïîäðîáíûìè òàáëèöàìè.
Åñòü, â ÷àñòíîñòè, òàáëèöûêâàíòèëåé. Ïàêåòû ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðîãðàìì ñîäåðæàò êîìàíäû,ïîçâîëÿþùèå ïîëó÷èòü âñþ íåîáõîäèìóþ èíîðìàöèþ î ðàñïðåäåëåíèè t m .Ôóíêöèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè äëÿ t m è t m; èçâåñòíû(èõ ìîæíî íàéòè â ñïðàâî÷íèêàõ). Èõ àíàëèòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè ìû ïîëüçîâàòüñÿ íå áóäåì. Äëÿ èíîðìàöèè ïðèâåäåì îðìóëó ïëîòíîñòè äëÿ t m :( )( )( )1pm B 1 ;2 2m21 + xm m+12(:)(8:2:3)Èç (8.2.3), à òàêæå è èç (8.2.2) ñëåäóåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèåÑòüþäåíòà ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû (ïðè m) ñîâïàäàåò ñðàñïðåäåëåíèåì Êîøè.Îòìåòèì âàæíîå äëÿ äàëüíåéøåãî ñ â î é ñ ò â î ðàñïðåäåëåíèéÑòüþäåíòà:mt m; ()=1ïðè êàæäîì ñåìåéñòâî ( ) ñòîõàñòè÷åñêè óïîðÿäî÷åíî ñòîõàñòè÷åñêè ìîíîòîííî âîçðàñòàåòîòíîñèòåëüíî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x 2 R1P ft(m; 1) > xg < P ft(m; 2 ) > xg; åñëè 1 < 2 : (8:2:4)109Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ïî÷òè î÷åâèäíî: èç (8.2.2) ñëåäóåò,÷òîr= P 0 + 1 > x m1 2(m) =r= EP 0 + 1 > x 1 2(m) 2(m):P t(m; 1 ) > xmÄëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî äëÿëþáîãî z 2 R1P f0 + 1 > z g < P f0 + 2 > z g;åñëè 1 < 2 , 0 N (0; 1).
Âåðíåìñÿ ê ïîñòàâëåííîé çàäà÷å: ïîñòðîåíèþ äîâåðèòåëüíûõèíòåðâàëîâ äëÿ a (äëÿ ñðåäíåãî) ïî íîðìàëüíîé âûáîðêå (ïî âûáîðêå èç N a; 2 ). ż ðåøåíèå òåïåðü ïî÷òè íå îòëè÷àåòñÿ îò ðàññìîòðåííîãî â ïåðâîì ïàðàãðàå. Åäèíñòâåííîå, ÷òî íàäî èçìåíèòü: âìåñòî íîðìàëüíûõ êâàíòèëåé ââåñòè êâàíòèëè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà.Âñå æå ïîâòîðèì íåîáõîäèìûå øàãè. Âûáèðàåì äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü. Ïî òàáëèöàì íàõîäèì -êâàíòèëüðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ nñòåïåíÿìè ñâîáîäû, êîòîðóþîáîçíà÷èì ÷åðåç t1 n, ò. å. ðåøåíèå óðàâíåíèÿ()1 2( 1)( 1)P ft(n 1) < t1 g = 1(1:)(8:2:5)Ââèäó ñèììåòðèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÑòüþäåíòàPpn x a < ts 1no= 1 2:(8:2:6)Ïðåîáðàçóÿ (8.2.6), ïîëó÷àåì îöåíêó òî÷íîñòè äëÿ ïðèáëèæåíèÿx a:sP jx aj < p t1 = 1 2(8:2:7)nè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ a (ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ1 2)ssP x p t1 < a < x + p t1 = 1 2:(8:2:8)nnÂñå ñäåëàííûå â 1 çàìå÷àíèÿ î ñâîéñòâàõ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà (8.1.4), îñòàþòñÿ âåðíûìè è äëÿ (8.2.8).
àâíî êàê è ðåêîìåíäàöèè íå îãðàíè÷èâàòüñÿ êàêèì-ëèáî îäíèì äîâåðèòåëüíûì110èíòåðâàëîì (è êàêîé-ëèáî îäíîé äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ), àâû÷èñëÿòü íåñêîëüêî òàêèõ èíòåðâàëîâ äëÿ íåñêîëüêèõ êîýèöèåíòîâ äîâåðèÿ.Òåì æå ïðèåìîì ìîæíî âûâîäèòü äëÿ a è äðóãèå äîâåðèòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ. Íàïðèìåð,(ãðàíèöûñâåðõó èëè ñíèçó).Âûáèðàåì äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü. Åñëè ìû õîòèìïîëó÷èòü äëÿ a ãðàíèöó ñíèçó, áåðåì -êâàíòèëü tt n;äëÿ ãðàíèöû ñâåðõó áåðåì -êâàíòèëü t1 . (Çàìåòèì, ÷òîèç-çà ñèììåòðèè tt1 ). Äàëåå çàìåòèì, ÷òî äëÿ (8.2.1) âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåäîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû1= ((1 )=1)p x a = 1 :P t < nsÎòñþäà, ïîñêîëüêó t = t1 , ñëåäóåò, ÷òîsP a < x + p t1 = 1 ;(8:2:9)nsòàê ÷òî x + p t1 ýòî âåðõíÿÿ äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà äëÿ a,nñ êîýèöèåíòîì äîâåðèÿ 1 .
Íèæíÿÿ (1 )-äîâåðèòåëüíàÿsãðàíèöà äëÿ a, ðàâíàÿ x p t1 , ïîëó÷àåòñÿ àíàëîãè÷íî.nÏåðåñå÷åíèå äâóõ ïîëó÷åííûõ äîâåðèòåëüíûõ îáëàñòåé äàåòäëÿ a óæå èçâåñòíûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (8.2.8), ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ.1 2 3. Öåíòðàëüíûå âåëè÷èíûÎáñóäèì â îáùåì âèäå òîò ïðèåì, êîòîðûé ìû ïðèìåíÿëè â ïàðàãðààõ 1 è 2. Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå íàáëþäåíèÿ X îïðåäåëÿåòñÿíåèçâåñòíûì ïàðàìåòðîì ; 2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåòñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ G X; (G ; èçâåñòíàÿ óíêöèÿ îò Xè ), ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé íàì èçâåñòíî è íå çàâèñèò îò , êî-(ãäà) ( )p x a ).
G(X; )s 2 . ( ïðåäûäóùåì ïðèìåðå ýòî áûëî nöåíòðàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîéöåíòðàëüíîé ñòàòèñòèêîé( )(0 1)( )(0 1)P fg < G(X; )g = 1 :(8:3:1)íàçûâàþò, à ÷àùå (õîòü è íåñîâñåì ïðàâèëüíî) .Ïðåäïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå G X; íåïðåðûâíî, è ïóñòü g , 2 ; îáîçíà÷àåò -êâàíòèëü G X; . Òåïåðü äëÿ âñÿêîãî 2 è 2 ; ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå:111(Òî÷íåå áûëî áû â ýòîì ðàâåíñòâå óïîòðåáèòü ñèìâîë P äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, çàâèñÿùèõ îò ; 2 . Íî ïîñêîëüêó(8.3.1) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ òàêèõ , èíäåêñ , êîòîðûì ìû îáû÷íî ñîïðîâîæäàåì ñèìâîë âåðîÿòíîñòè P , çäåñü è äàëåå ìîæíî îïóñòèòü, íå îïàñàÿñü íåäîðàçóìåíèé).åøàåì íåðàâåíñòâî g < G X; îòíîñèòåëüíî . Ïîëó÷èìçàâèñÿùåå îò X ìíîæåñòâî((X ) := f :ßñíî, ÷òî äëÿ âñÿêîãî 2 S1g < G(X; ); 2 g:P f 2 S1( ))(X )g = 1(8:3:2);òàê ÷òî S1 X ýòî äîâåðèòåëüíàÿ îáëàñòü äëÿ , ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ.Åñëè ìû íå ñîáèðàåìñÿ îãðàíè÷èâàòü ñåáÿ êàêîé-ëèáî îäíîéäîâåðèòåëüíîé îáëàñòüþ (8.3.2), íî èñïîëüçîâàòü âñ¼ ñåìåéñòâîS1 , 2 ; , òîãäà ðàçóìíî ïîòðåáîâàòü îò öåíòðàëüíîé âåëè÷èíû G X; , ÷òîáû ñåìåéñòâî fS1 X ; 2 ; g áûëî áûìîíîòîííûì ïî âëîæåíèþ:()åñëè(1(0 1))( )0 < 1 < 2 < 1;S1òî1(0 1)(X ) S1 2 (X ):(8:3:3)Êîãäà îäíîìåðíûé ïàðàìåòð, äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ(8.3.3) ñëóæèò ìîíîòîííîñòü G X; ïî ïåðåìåííîé (ïðè êàæäîì èêñèðîâàííîì X ).
Òî÷íåå: äëÿ (8.3.3) íóæíî, ÷òîáû G X; ìîíîòîííî óáûâàëà ïî .  ýòîì ñëó÷àå S1 X ïîëóïðÿìàÿ(òî÷íåå, ýòî ïåðåñå÷åíèåñ ïîëóïðÿìîé); åãî ïðàâûé êîíåö ýòî âåðõíÿÿ -äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà äëÿ ; 2 .Äðóãàÿ ñèñòåìà äîâåðèòåëüíûõ îáëàñòåé âîçíèêàåò èç àíàëîãè÷íîãî (8.3.1) ñîîòíîøåíèÿ((1))(( ))P fG(X; ) < g1 g = 1 :(8:3:4)Äåéñòâóÿ êàê âûøå, ò. å. ðåøàÿ íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî , ïîëó÷èì äëÿ äîâåðèòåëüíóþ îáëàñòüT1(X ) = f : G(X; ) < g1; 2 g: îãîâîðåííîì âûøå îäíîìåðíîì ìîíîòîííîì ñëó÷àå ìíîæåñòâîT1 X ýòî ïîëóïðÿìàÿ (ïåðåñå÷åííàÿ ñ ).
ż ëåâûé êîíåöäëÿ äàåòT -äîâåðèòåëüíóþ ãðàíèöó ñíèçó. Ïåðåñå÷åíèå îáëàñòåé S1 XT1 X äàåò äëÿ äîâåðèòåëüíóþ îáëàñòü (êàêïðàâèëî, îãðàíè÷åííóþ) ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ.( )112(1 )( )( )1 2 4. Ïðèáëèæåííûå äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû äëÿâåðîÿòíîñòè óñïåõà â èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè ýòîé çàäà÷å íåò òî÷íîé öåíòðàëüíîé âåëè÷èíû, íî åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåííàÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñâîáîäíî (èìååòñÿ â âèäó, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ,îò èõ âëèÿíèÿ).Ïóñòü íåèçâåñòíàÿ âåðîÿòíîñòü óñïåõà, 2 ; ; ïóñòüSn ÷èñëî óñïåõîâ, ñëó÷èâøååñÿ â n ïðîâåäåííûõ èñïûòàíèÿõÁåðíóëëè.
Ïî òåîðåìå Ìóàâðà-Ëàïëàñà, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàñâîáîäíî(0 1)Sn n d! N (0; 1)n (1 )ïðè n ! 1:pÊàê îáû÷íî, ìû çàêëþ÷àåì èç ýòîé òåîðåìû, ÷òî "äëÿ äîñòàòî÷íîáîëüøèõ n" è z 2 R1P1 2(1n o < z (z ) ( z ):n (1 )n SnpÏóñòü âûáðàííàÿ íàìè äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü, z1 îçíà÷àåò -êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òàê ÷òî z1 . Òîãäà)()=1n < z1n (1 )n SP p no 1 2:(8:4:1)(0 1)Íåðàâåíñòâî â (8.4.1) íàäî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî , 2 ; .Ïîñëå òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì äëÿ ýòîãî íåðàâåíñòâà ýêâèâàëåíòíóþ îðìó(Snn )2 n (1 )z12< 0:(8:4:2)Ëåâàÿ ÷àñòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí îòíîñèòåëüíî , ïðè÷åì êîýèöèåíò ïðè 2 ïîëîæèòåëåí.
Ïîýòîìó ðåøåíèå (8.4.2) èìååòâèä Sn < < Sn ;::ãäå Sn ; Sn ñóòü êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà â (8.4.2).Çäåñü( ) ( )(Sn ); (Sn ) =( )z2Sn + 1( )(8 4 3)s2 z1Sn (n Sn ) z12 + 4n:n + z12 113Âûðàæåíèå (8.4.3) äàåò äëÿ äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ïðèáëèæåííî ðàâíà.1 2 5. åãðåññèîííàÿ ìîäåëüÌåòîä öåíòðàëüíîé âåëè÷èíû ïðèãîäåí äëÿ òîãî ÷òîáû ñòðîèòü äîâåðèòåëüíûå îáëàñòè äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâñêèõ ëèíåéíûõìîäåëåé.
àññìîòðèì ðåãðåññèîííóþ ìîäåëüX = F + ";(8:5:1)ãäå X íàáëþäàåìûé n-ìåðíûé âåêòîð (ñòîëáåö); =(1 ;: : : ;m )T íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, 2 Rm ; F çàäàííàÿ n m ìàòðèöà,F = kF1 ; : : : ; Fm k; âñå å¼ ñòîëáöû F1 ; : : : ; Fm áóäåì ïðåäïîëàãàòüëèíåéíî-íåçàâèñèìûìè; " N (0; 2 I ) âåêòîð ñëó÷àéíûõ îøè-áîê.Êàê íàì óæå èçâåñòíî, â ýòîé ìîäåëè íàèëó÷øàÿ íåñìåùåííàÿîöåíêà ïîëó÷àåòñÿ ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ è ðàâíà^^ = (F T F ) 1 F T X:(8:5:2)Èç òåîðèè ãàóññîâñêèõ ëèíåéíûõ ìîäåëåé (òî÷íåå, èç ëåììû îáîðòîãîíàëüíûõ ðàçëîæåíèÿõ) âûòåêàåò, ÷òî jX F j2 è ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû, ïðè÷åì^jX F ^j2 = 2 2 (n m);^(8:5:3)^ N (; 2 (F T F ) 1 ):Äëÿ ïîñòðîåíèÿ öåíòðàëüíîé âåëè÷èíû íàì ïîíàäîáèòñÿ èçëîæåííàÿ íèæå ëåììà, à òàêæå åùå îäíî ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé.Ë å ì ì à 8.5.1.ÒîãäàÏóñòü Np(a; A), ïðè÷åì A 1 ñóùåñòâóåò.
T A 1 = 2 (p; );ãäå ïàðàìåòð íåöåíòðàëüíîñòè = aT A 1 a.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî,÷òî êâàäðàòè÷íóþ îðìó ñ ìàòðèöåé A ëèíåéíûì íåâûðîæäåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì ìîæíî ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Âäàííîì ñëó÷àå, ïðåîáðàçîâàííàÿ ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé îðìû 1140åäèíè÷íàÿ (èáî A è A íåâûðîæäåííàÿ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
