Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 21
Текст из файла (страница 21)
. , ap . Äàëåå ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ x1 ; x2 ; : : : ; xn àêòîðà x ïðîâåäåíû íåçàâèñèìûå èçìåðåíèÿ y1 ; y2 ; : : : ; yn îòêëèêà y , òàê ÷òîyi = a0 + a1 xi + + ap xpi + "i ; i = 1; n;(11:1:2)ãäå "1 ; "2 ; : : : ; "n ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (ñëó÷àéíûå îøèáêè). Ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî "i N ; 2 ; i; n, ïðè÷åì äèñïåðñèÿ îøèáêè 2 íå èçâåñòíà.Âûáîð ñòåïåíè p àïïðîêñèìèðóþùåãî ìíîãî÷ëåíà â îðìóëå(11.1.1) âñåãäà ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëåííóþ ïðîáëåìó.
Ýòó ñòåïåíüíàäî âûáðàòü òàê, ÷òîáû ïîãðåøíîñòü â (11.1.1) (îíà æå ñèñòåìàòè÷åñêàÿ îøèáêà â (11.1.2)) íå âëèÿëà íà ñòàòèñòè÷åñêèå âûâîäû î E y jx , êîòîðûå ìû ñóìååì ñäåëàòü ïî íàáëþäåíèÿì xi ; yi ,; n. Ïîíÿòíî, ÷òî ÷åì íèæå ýòà ñòåïåíü, òåì ëåã÷å èíòåðïðåòèðîâàòü ðåçóëüòàòû îïûòîâ. Íà ïðàêòèêå ýòà ñòåïåíü ðåäêî ïðåâûøàåò òðè.Îñîáåííî ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ îòâå÷àòü íà âîïðîñ: ìîæíî ëè äëÿàïïðîêñèìàöèè E y jx îáîéòèñü ìíîãî÷ëåíîì ïåðâîé ñòåïåíè, ò. å.ïðîñòîé ëèíåéíîé ðåãðåññèåé, èëè æå íàäî îáðàòèòüñÿ ê ïàðàáîëè÷åñêîé ðåãðåññèè, ò.
å. ê ìíîãî÷ëåíó ñòåïåíè äâà?Ñòàòèñòè÷åñêè ïðîáëåìà âûãëÿäèò òàê.(0 ) = 11( )(( )132)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàáëþäåíèÿñêîé ìîäåëèyóäîâëåòâîðÿþò ñòàòèñòè÷å-yi = a0 + a1 xi + a2 x2i + "i ; i = 1; n;ãäå "1 ; "2 ; : : : ; "n ñóòü íåçàâèñèìûå N (0; 2 ), a0 ; a1 ; a2(11:1:3) íåèçâåñòíûå êîýèöèåíòû. Ïî íàáëþäåíèÿì (11.1.3) íàäî ïðîâåðèòü ãèïîòåçóH0 : a2 = 0ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû(11:1:4)H1 : a2 6= 0:èïîòåçà H0 (11.1.4) ñîñòîèò â òîì, ÷òî çàâèñèìîñòü îòêëèêà îòàêòîðà ìîæíî ïåðåäàòü ìîäåëüþyi = a0 + a1 xi + "i ; i = 1; n;(11:1:5)ïðè òåõ æå, ÷òî è âûøå, ïðåäïîëîæåíèÿõ îá îøèáêàõ "1 ; "2 ; : : : ; "n .1.2. Îäíîàêòîðíûé äèñïåðñèîííûé àíàëèç2Ïóñòü íàáëþäàþòñÿ k íåçàâèñèìûõ âûáîðîê, îáúåìû êîòîðûõ îáîçíà÷èì ÷åðåç n1 ; n2 ; : : : ; nk .
Ýëåìåíòû âûáîðêè ñ íîìåðîìj , j ; k, îáîçíà÷èì ÷åðåç xij , i ìåíÿåòñÿ îò äî nj . Ïðåäïîëîæèì, ÷òîxij aj "ij ;::=11=1 ; =1= +(11 1 6)ãäå "ij (j; k i ; nj ) ñóòü íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Âñþäó â äàëüíåéøåì "ij N ; 2 .Òàêàÿ ìîäåëü âîçíèêàåò, íàïðèìåð, ïðè ñðàâíåíèè íåñêîëüêèõ ñïîñîáîâ îáðàáîòêè, íåñêîëüêèõ óñëîâèé õðàíåíèÿ, íåñêîëüêèõ ìåñò ðàçìåùåíèÿ è ò. ä. Ìîäåëü (11.1.6) âîçíèêàåò òàêæå ïðèëþáîé êëàññèèêàöèè îáúåêòîâ ïî îäíîìó ïðèçíàêó (îäíîàêòîðíàÿ êëàññèèêàöèÿ).Ïðè ñðàâíåíèè ñïîñîáîâ îáðàáîòêè ÷àñòî áûâàåò íóæíî âûäåëèòü ëó÷øèé (èëè ãðóïïó ëó÷øèõ, èëè ãðóïïó õóäøèõ è ò. ï.)ñïîñîáîâ îáðàáîòêè. Öåëåñîîáðàçíî, îäíàêî, ïðåæäå çàäàòüñÿ âîïðîñîì: äàþò ëè íàøè äàííûå îñíîâàíèÿ äëÿ òàêîãî âûáîðà? Ïîâèäèìîìó, íåò, åñëè ñ íàáëþäåíèÿìè (11.1.6) ñîâìåñòèìà ãèïîòåçàH0 : a1 = a2 = = ak :(0 )(11:1:7)133Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ãèïîòåçà (11.1.4) â ìîäåëè (11.1.3) è ãèïîòåçà (11.1.7) â ìîäåëè (11.1.6) ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè îðìàìè îáùåéëèíåéíîé ãèïîòåçû â ëèíåéíîé ìîäåëè, êàê îíà îðìóëèðóåòñÿ âñëåäóþùåì ïàðàãðàå. 2.
Îáùàÿ ëèíåéíàÿ ãèïîòåçàÌû ãîâîðèì, ÷òî â îòíîøåíèè íàáëþäåíèÿ X (X ýëåìåíò ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, â íàøèõ ðàññìîòðåíèÿõ X 2Rn ) äåéñòâóåò, åñëè íàáëþäåíèå X èìååò ñòðóêòóðó X l , ãäåëèíåéíàÿ ìîäåëü=+ l íåñëó÷àéíûé íåèçâåñòíûé âåêòîð, êîòîðûé çàâåäîìî ïðè-íàäëåæèò íåêîòîðîìó çàäàííîìó ëèíåéíîìó ïîäïðîñòðàíñòâó L; ñëó÷àéíûé âåêòîð (âåêòîð îøèáîê).ãàóññîâñêîéÌîäåëü íàçûâàþò, åñëè èìååò ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå.  áîëüøèíñòâå ïðèëîæåíèé E, D2 I , ïðè÷åì2 íåèçâåñòíî. (Òàêàÿ îðìà ìàòðèöû êîâàðèàöèé îçíà÷àåò, ÷òîêîìïîíåíòû âåêòîðà X íåçàâèñèìû è èìåþò îäèíàêîâûå äèñïåðñèè).=0=:Ëèíåéíàÿ ãèïîòåçà H0 l 2 L0 , ãäå L0 çàäàííîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ïðè÷åì L0 L. Àëüòåðíàòèâîé ê H0âûñòóïàåò îòðèöàíèå H0 â ðàìêàõ ëèíåéíîé ìîäåëè:ÀëüòåðíàòèâàH1 : l 2= L0, íî ïðè ýòîì l 2 L.Ëèíåéíóþ ãèïîòåçó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àéîáùåé ïàðàìåòðè÷åñêîé ãèïîòåçû î ðàñïðåäåëåíèè íàáëþäåíèÿ X .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ïëîòíîñòü f x; ,ãäå íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, 2 .
(Ïëîòíîñòü îòíîñèòåëüíîíåêîòîðîé ìåðû.  íàøåì ñëó÷àå îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãàâ Rn ). èïîòåçà H0 ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïàðàìåòð ïðèíàäëåæèòçàäàííîìó ìíîæåñòâó 0 , áîëåå óçêîìó, ÷åì : 0 . Êðèòåðèé,ïðåäëàãàåìûé äëÿ ïðîâåðêè H0 2 0 ïðîòèâ H1 2 n 0 ,ñòðîèòñÿ ïî îáðàçöó êðèòåðèÿ Íåéìàíà-Ïèðñîíà.( )134^:: Ïóñòü îáîçíà÷àåò îöåíêó ïàðàìåòðà , âû÷èñëåííóþ ïî íàáëþäåíèþ X â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî 2 .~Ïóñòü îáîçíà÷àåò àíàëîãè÷íóþ îöåíêó, íî âû÷èñëåííóþ âïðåäïîëîæåíèè, ÷òî 2 0 .Êðèòè÷åñêèå ñîáûòèÿ òåïåðü èìåþò âèänS = X :of (X; ^):f (X; ~)(11:2:1)Ïàðàìåòð , êàê îáû÷íî, âûáèðàþò ïî çàäàííîìó óðîâíþçíà÷èìîñòè " èç óñëîâèÿ P fS jH0 g ":Êðèòåðèé (11.2.1) íàçûâàþò êðèòåðèåì îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèé.  ðàññìàòðèâàåìîéíàìè ëèíåéíîé ìîäåëè îöåíêè ^, ~ (äëÿïàðû (l; 2 )) íàì èçâåñòíû, è âñêîðå ìû ê íèì îáðàòèìñÿ.
 îáùåéçàäà÷å â êà÷åñòâå f (x; ^) è f (x; ~) îáû÷íî áåðóòf (X; ^) = maxf (X; ); f (X; ~) = maxf (X; ): 22Ïîëó÷àåìûå ïî òàêîìó ïðàâèëó îöåíêè^ = arg max f (X; )2è0~ = arg max f (X; )20îöåíêàìè íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿíàçûâàþò(ïðè óñëîâèÿõ 2 è 2 0 ). Ýòè îöåíêè ìû áóäåì èçó÷àòü â ëåêöèè 14.Êðèòåðèé îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèé â ýòîì ñëó÷àå èìååò òàêèåêðèòè÷åñêèå ñîáûòèÿnS = X :maxf (X; )o2> :max f (X; )20( )ïðàâäîïîäîáèåìîöåíêè íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ êðèòåðèé îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèéÑàìî âûðàæåíèå f X; , ðàññìàòðèâàåìîå êàê óíêöèÿ , íàçûâàþò. Îòñþäà è íàçâàíèÿ:,.
Ñâîéñòâàîöåíîê íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ ìû åùå áóäåì èçó÷àòü ïîçæå. 3. Ïðèìåíåíèå êðèòåðèÿ îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèé ê ïðîâåðêå ëèíåéíûõ ãèïîòåçÏðèìåíèì êðèòåðèé îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèé ê ïðîâåðêå ëèíåéíûõ ãèïîòåç.  ðàññìàòðèâàåìîé ãàóññîâñêîé ìîäåëè ïðàâäîïîäîáèå åñòünnopf X; 2 n=2jX lj2 :::()=1 ( )2exp122(11 3 1)135Ïðè óñëîâèè, ÷òîl 2 L îöåíêè ^l, ^2 ñóòü^l = projLX; ^2 = 1 jprojL X j2 = 1 jXn mn mprojL X j2 ;?ãäå=m dimL.Ïðè óñëîâèè, ÷òî(11:3:2)l 2 L0 îöåíêè ~l; ~2 ñóòü~l= projL0X; ~2= 1 jprojL0 X j2= 1 jX projL0X j2; (11:3:3)n mn mm0 = dimL0ãäå?00jX lj222 ïðè ïîäèõ îöåíîê ïðåâðàùàåòñÿ â ïîñòîÿííóþ, íåâåëè÷èíó: â ïåðâîì ñëó÷àå ýòî (n m)=2, âîm0 )=2. îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòûl, 2ñòàíîâêå âìåñòîçàâèñÿùóþ îò Xâòîðîì ýòî nÏîýòîìó ñåìåéñòâî êðèòè÷åñêèõ ñîáûòèé (11.2.1) äëÿ ïðîâåðêèãèïîòåçû H0 èìååò âèä(X:jXjXprojL0 X j2projL X j2(11:3:4)> :(Ïàðàìåòð â (11.3.4) íå òîæäåñòâåíåí ïàðàìåòðó â (11.2.1);íåñìîòðÿ íà ýòî ìû óïîòðåáèëè äëÿ íèõ îäèí è òîò æå ñèìâîë.Êàê óæå îòìå÷àëîñü, íàì âàæíî, ÷òîáû ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõñîáûòèé áûëî êàê-ëèáî ïàðàìåòðèçîâàíî, íî ñâÿçü ìåæäó ðàçëè÷íûìè âîçìîæíûìè ïàðàìåòðèçàöèÿìè íå âàæíà.
Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàðàìåòðàìè â (11.2.1) è (11.3.4) ìû ìîæåì îñòàâèòüáåç âíèìàíèÿ).àäè äàëüíåéøåãî óïðîùåíèÿ (11.3.4), ââåäåì â ðàññìîòðåíèååùå îäíî ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî: îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèåL0 äî L. Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç L1 . Èòàê, L1 ? L0 , L0 L1 L.Òåïåðü Rn ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû òðåõ ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûïîäïðîñòðàíñòâ L0 ; L1 è L? . (Êàê îáû÷íî, L? îáîçíà÷àåò îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå L äî âñåãî ïðîñòðàíñòâà Rn ):+Rn = L0 + L1 + L? : ñâÿçè ñ ýòèì äëÿXäåéñòâóåò ðàçëîæåíèåX = projL0 X + projL1 X + projL X;?136=ïðè÷åìjXprojL0 X j2= jprojL1 X j2 + jprojL X j2:?(11:3:5) ñèëó (11.3.5) êðèòåðèþ îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèé (11.3.4)ìîæíî äàòü âèä:1 jproj X j2L1F := 1 ;jprojL X j2n mm1(11:3:6)?ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèé ê (11.3.4).Âñïîìíèì, ÷òî îöåíêîé äëÿ2 ïðè óñëîâèè, ÷òî l 2 L, ñëóæèò1 jproj X j2:Ln m?(11:3:7)Ýòî íåñìåùåííàÿ îöåíêà äëÿ 2 , âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, âåðíà èëè íåò ãèïîòåçà H0 l 2 L0 .
Åñëè æå H0 âåðíà, òî äëÿ 2ìîæíî ïðåäëîæèòü åùå îäíó íåñìåùåííóþ îöåíêó, ïðèòîì ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìóþ îò ïåðâîé: ýòî:1 jproj X j2:L1m1(11:3:8)Åñëè ãèïîòåçà H0 íåâåðíà, îöåíêà 2 (11.3.8) ïðèîáðåòàåò ñìåùåíèå òåì áîëüøåå, ÷åì áîëüøå jprojL1 lj2 . (Íî î ñìåùåíèè ÷óòüïîçæå, êîãäà áóäåì ãîâîðèòü î ðàñïðåäåëåíèÿõ (11.3.7) è (11.3.8)).Ïîýòîìó êðèòåðèàëüíàÿ ñòàòèñòèêà â (11.3.6) ýòî îòíîøåíèåäâóõ íåçàâèñèìûõ îöåíîê äèñïåðñèè. Åñëè ãèïîòåçà H0 âåðíà,ýòî îòíîøåíèå îòëè÷àåòñÿ îò 1 òîëüêî çà ñ÷åò ñëó÷àéíûõ êîëåáàíèé. Ïðåäñòàâëåíèå îá èõ ðàçìåðå äàåò ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè(11.3.6) ïðè ãèïîòåçå.Îáñóäèì ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè èç (11.3.6) ïðè ãèïîòåçå èïðè àëüòåðíàòèâå. Ëåììà îá îðòîãîíàëüíîì ðàçëîæåíèè èç ëåêöèè 6 ãîâîðèò, ÷òîjprojL X j2 =d 2 2 (n m);?jprojL1 X j2 =d 2 2 (m1 ; );1ãäå ïàðàìåòð íåöåíòðàëüíîñòè = 2 jprojL1 EX j2 .137=0Åñëè âåðíà ãèïîòåçà H0 , òî.
Ñëåäîâàòåëüíî, êðèòåðèàëüíàÿ ñòàòèñòèêà èç (11.3.6) ðàñïðåäåëåíà êàê F m1 ; n m; :1 jproj X j2L1d1 jproj X j2 = F (m1; nLn mm1(m; ):)(11:3:9)?(Ñîîòíîøåíèå (11.3.9) îáúÿñíÿåò, ìåæäó ïðî÷èì, è ïðèíÿòîå äëÿý-îòíîøåíèÿ íàçâàíèå äèñïåðñèîííîãî îòíîøåíèÿ Ôèøåðà).Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî ïðè ãèïîòåçå H0 ñòàòèñòèêà (11.3.9) ðàñïðåäåëåíà ñâîáîäíî (îò âëèÿíèÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ l 2 L0 è2 ). (Ýòî ñâîéñòâî ïîëó÷åíî íàìè ñâåðõ îæèäàíèé. Íè÷òî â íàøèõâûêëàäêàõ òîãî íå îáåùàëî). Ïîýòîìó âûáîð êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ â (11.3.6) î÷åíü óïðîùàåòñÿ: äëÿ ýòîãî íàäî (ñ ïîìîùüþòàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ, íàïðèìåð) ðåøèòü óðàâíåíèåP fF (m1 ; n m) g = ": êà÷åñòâå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ (äëÿ ïðîâåðêè H0 íà óðîâíå") â (11.3.6) íàäî âçÿòü" -êâàíòèëü ý-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ m1 ,n m ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (êîòîðóþ ìû óæå êîãäà-òî îáîçíà÷èëèF1 " m1 ; n m ).Ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ áîëåå óäîáíîé îðìîé äëÿñòàòèñòèêè (11.3.9) ìîæåò áûòü âûðàæåíèå(1())1 jproj X proj X j2LL01 jX proj X j2 :m m0Ln m(11:3:10)Èòàê, ïîëó÷èëè ñòàòèñòè÷åñêîå ïðàâèëî:Îòâåðãàåì ãèïîòåçó H0 íà óðîâíå ", åñëè ñòàòèñòèêà (11.3.9)èëè (11.3.10) ïðåâîñõîäèò F1 " m1 ; n m .()Èç ñâîéñòâ ý-îòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìîùíîñòü ýòîãî êðèòåðèÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò âìåñòå ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà íåöåíòðàëüíîñòè138 = 12 jprojL1 EX j2. 4.
Ïðèìåð: äâå íîðìàëüíûå âûáîðêèàññìîòðèì äâå íåçàâèñèìûå íîðìàëüíûå âûáîðêè x1 , x2 , . . . ,xm , ãäå xi N (a; 2 ), è y1 ; y2; : : : ; yn , ãäå yi N (b; 2 ), ïàðàìåòðûa, b è 2 íåèçâåñòíû. Ïîäëåæàùàÿ ïðîâåðêå ãèïîòåçàH0 : a = b:H1 : a =6 b:(11:4:1)Àëüòåðíàòèâà ê íåé n m -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ðàññìîòðèì âåêòîðû( + )e1 = (1| ; :{z: : ; 1}; 0| ; :{z: : ; 0})T ;mne2 = (0| ; :{z: : ; 0}; 1| ; :{z: : ; 1})T ;mnZ =(x1 ; x2 ; : : : ; xm ; y1 ; y2 ; : : : ; yn )T; " =("1 ; : : : ; "m ; "m+1 ; : : : ; "m+n )T;ãäå "1 ; "2 ; : : : ñóòü íåçàâèñèìûå N (0; 2 ).Âåêòîð Z ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå Z = a e1 + b e2 +": ßñíî, ÷òîZ ñëåäóåò ëèíåéíîé ãàóññîâñêîé ìîäåëè, ïðè÷åì EZ 2 L(e1 ; e2 ),ãäå L(e1 ; e2 ) îáîçíà÷àåò (äâóìåðíîå) ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ñáàçèñîì e1 ; e2 .
Ïðè ãèïîòåçå H0 âåêòîð EZ ëåæèò â îäíîìåðíîìëèíåéíîì ïîäïðîñòðàíñòâå L0 , ïîðîæäåííîì åäèíñòâåííûì âåêòîðîì e1 + e2 . Äëÿ ïðîâåðêè H0 ïðîòèâ H1 ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòèêè(11.3.10) íàäî âû÷èñëèòü jprojL Z projL Z j2 è jZ projL Z j2 : Áó0äåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿmmPPx = m1 xi ; s2x = m1 1 (xi x)2 ;i=1i=1y = n1nPj =1yj ; s2y = n 1 1nPj =1(yj y)2 :Ëåãêî âèäåòü, ÷òîprojL Z= xe1 + ye2;projL0 Z=mm+nx + mn+n y (e1 + e2 ):ÎòñþäàjZprojLZ j2=(m 1)s2x+(n 1)s2y; jprojLZprojL0Z j2 mmn+n=(x y)2 : ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ñòàòèñòèêà (11.3.10) è ïîñëåäóþùåå ñòàòèñòè÷åñêîå ïðàâèëî òàêîâû:ÎòâåðãàòüH0 : a = b íà óðîâíå ", åñëè139mn(m + nm+n2) mPi=1(x y)2>F1 " (1; m+ n 2): (11:4:2)nP22x) + (yj y)(xij =1Îáû÷íî âìåñòî ý-ñòàòèñòèêè (11.4.2) ðàññìàòðèâàþò ñòàòèñòèêó Ñòüþäåíòà t, ïðè÷åì t2 F :qt= q1m+n=(x y):1)s2x + (n 1)s2y ℄mnm+n2 [(m(11:4:3)Ïðè ãèïîòåçå H0 ñòàòèñòèêà (11.4.3) ðàñïðåäåëåíà ïî Ñòüþäåíòó,ñ m nñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
