Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Îíî îçíà÷àåò, ÷òî áîëåå âåðîÿòíî (ñ ïîìîùüþ ýòîãî êðèòåðèÿ) îòâåðãíóòü ïðîâåðÿåìóþ ãèïîòåçó, êîãäà îíà íåâåðíà, ÷åì êîãäà îíà âåðíà âåñüìà åñòåñòâåííîå êà÷åñòâî äëÿ êðèòåðèÿ).Êðèòåðèè âèäà (10.1.2) íàçûâàþò, à ñîðìóëèðîâàííîå âûøå óòâåðæäåíèå îá îïòèìàëüíîñòèêðèòåðèåâ (10.1.2) ().Äîêàçàòåëüñòâà äëÿ ðàñïðåäåëåíèé, èìåþùèõ ïëîòíîñòè, è äëÿäèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðîõîäÿò îäèíàêîâî ñ òîé ðàçíèöåé,÷òî èíòåãðàëû çàìåíÿþòñÿ ñóììàìè. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ÷òî-ëèáî îäíî, äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïëîòíîñòè.
Äëÿïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî X ýòî êîíå÷íîìåðíîå àðèìåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, f0 è f1 ïëîòíîñòè îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà.Çàïèñè áóäóò êîìïàêòíûìè, åñëè âìåñòå ñ êðèòåðèÿìè R è Sðàññìîòðåòü èõ èíäèêàòîðíûå óíêöèè IR x è IS x :íåñìåùåííîñòüþêðèòåðèÿìè Íåéìàíà-Ïèðëåììîé òåîðåìîé Íåéìàíà-ÏèðñîíàñîíàIR (x) =(1;0;äëÿäëÿx 2 R;x 2= R;()(1;IS (x) =0;()äëÿäëÿx 2 S ;x 2= S :125Ñ ïîìîùüþ IR , IS âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé fX 2 Rg, fX 2 S g ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. Óñðåäíåíèå (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå) ïî P0 îáîçíà÷èì ÷åðåç E0 , óñðåäíåíèå ïîP1 ÷åðåç E1 .
Íàïðèìåð, P0 fX 2 Rg E0 IR X , à ïðåäëîæåíèå(10.1.3) èìååò âèä=( )E0 IR (X ) E0 IS (X ):(10:1:5)Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î óòâåðæäåíèÿ (a). Ëåãêî ïðîâåðèòü,÷òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîIR (x)[f1 (x) f0 (x)℄ IS (x)[f1 (x) f0 (x)℄:(10:1:6)Äåéñòâèòåëüíî, åñëè f1 (x) f0 (x) > 0; òî IS (x) = 1 è(10.1.6) ïðåâðàùàåòñÿ â î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå IR (x) 1. Åñëèæå f1 (x) f0 (x) < 0, òî IS (x) = 0, è ïîòîìó ïðàâàÿ ÷àñòü (10.1.6)îáðàùàåòñÿ â íóëü, à ëåâàÿ ÷àñòü (10.1.6) ïðè ýòîì íå ïîëîæèòåëüíà, òàê ÷òî (10.1.6) âåðíî è â ýòîì ñëó÷àå.Èíòåãðèðóåì (10.1.6) ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó.
åçóëüòàò çàïèøåì â âèäå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.E1 IR (X ) E0 IR (X ) E1 IS (X ) E0 IS (X );èëèE1 IS (X ) E1 IR (X ) [E0 IS (X ) E0 IR (X )℄:(10:1:7) ñèëó (10.1.5) è > 0, ïðàâàÿ ÷àñòü (10.1.7) íåîòðèöàòåëüíà,÷òî è äîêàçûâàåò (a). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î óòâåðæäåíèÿ (b). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâàóòâåðæäåíèÿ (b) íàäî ïîðîçíü ðàññìîòðåòü äëÿ , îïðåäåëÿþùåãîS â (10.1.2), äâå âîçìîæíîñòè: è < .11Äîïóñòèì, ÷òî 1: Òîãäà èç (10.1.2) ñëåäóåò, ÷òîf1(x) f0 (x) äëÿ x 2 S .
ÏîýòîìóZZP0 fX 2 S g = IS (x)f0 (x)dx IS (x)f1 (x)dx = P1 fX 2 S g;÷òî è òðåáóåòñÿ.126Äîïóñòèì, ÷òî < 1. àññìîòðèì ìíîæåñòâîS = fx : f1 (x) f0 (x)g:Åãî èíäèêàòîð åñòü 1 IS (x). Ïðè <f1(x) f0 (x) äëÿ x 2 S . ÏîýòîìóZP1 fX2 S g=1 ïîëó÷àåì, ÷òîZ[1 IS (x)℄f1 (x)dx [1 IS (x)℄f0 (x)dx =P0 fX2 S g:Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè1<1P1 fX 2 S g 1 P0 fX 2 S g:Ýòî äîêàçûâàåò (b) è â ýòîì ñëó÷àå.Äîêàçàííàÿ òåîðåìà îïðåäåëÿåò âèä íàèëó÷øåãî êðèòåðèÿ. Åñëè ìû õîòèì îñòàíîâèòüñÿ íà îïòèìàëüíîì êðèòåðèè óðîâíÿ ", ãäå" çàäàíî, ìû äîëæíû ïîäîáðàòü > òàê, ÷òîáû0P0 fX 2 S g = ":(10:1:8) ñëó÷àå ïëîòíîñòè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû äîëæíû ðåøèòü îòíîñèòåëüíî óðàâíåíèåZf0 (x) dxfx:f1 (x)f0 (x)g= ": òèïè÷íîì ñëó÷àå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò (è åäèíñòâåííî). Äëÿ äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåííûõ íàáëþäåíèé X óðàâíåíèå (10.1.8) ðàçðåøèìî íå äëÿ âñåõ " > .
 òàêîì ñëó÷àå â ïîèñêàõ îïòèìàëüíîãî êðèòåðèÿ óðîâíÿ " ëèáî îñòàíàâëèâàþòñÿ íà êðèòåðèè âèäà(10.1.2) ñ ìåíüøèì óðîâíåì, ÷åì íàçíà÷åííûé " (ñ ìåíüøåé âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè I ðîäà, óâåëè÷èâàÿ òåì ñàìûì âåðîÿòíîñòüîøèáêè II ðîäà), ëèáî èçìåíÿþò âûáîð óðîâíÿ çíà÷èìîñòè òàê,÷òîáû (10.1.8) ñòàëî ðàçðåøèìî. Ïîñëåäíåå ïðàâèëüíåå, èáî íàçíà÷åíèå óðîâíÿ çíà÷èìîñòè ðåøåíèå â íåìàëîé ñòåïåíè ïðîèçâîëüíîå.0 2.
àâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûå êðèòåðèèÎïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûõ êðèòåðèåâ äàíî âíà÷àëå 1. Êàê ïðàâèëî, äëÿ ñëîæíûõ ãèïîòåç è/èëè ñëîæíûõàëüòåðíàòèâ ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûõ êðèòåðèåâ íå ñóùåñòâóåò. Òèïè÷íî òàêîå ïîëîæåíèå, êîãäà äëÿ êàæäîé ïàðû ðàñïðåäåëåíèé P0 2 P0 , P1 2 P1 åñòü "ñâîé" (îïðåäåëÿåìûé ëåììîé127Íåéìàíà-Ïèðñîíà) îïòèìàëüíûé êðèòåðèé, íî íåò åäèíîãî îïòèìàëüíîãî êðèòåðèÿ. Íî åñòü âàæíûå (äëÿ ïðàêòèêè) èñêëþ÷åíèÿèç ñêàçàííîãî, êîãäà ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûå êðèòåðèè ñóùåñòâóþò.Ï ð è ì å ð. Ïðîâåðêà îäíîñòîðîííèõ ãèïîòåç ïðîòèâ îäíîñòîðîííèõ àëüòåðíàòèâ â ñõåìå Áåðíóëëè.Ïóñòü ïðîâåäåíî n (n çàäàíî) èñïûòàíèé Áåðíóëëè. Ïóñòü , 2 ; íåèçâåñòíàÿ âåðîÿòíîñòü óñïåõà. Îáîçíà÷èì ðåçóëüòàòèñïûòàíèé ÷åðåç XX1 ; : : : ; Xn , ãäå Xi , åñëè â i-îì èñïûòàíèè áûë óñïåõ, è Xiâ ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïî íàáëþäåííîìóX íàäî ïðîâåðèòü ãèïîòåçó(0 1)=(=0)=1H0 : 0ïðîòèâ àëüòåðíàòèâûH1 : > 0 ; 0 çàäàíî, 0 2 ; .Äàëåå ìû íàéäåì ð.
í. ì. êðèòåðèé äëÿ ïðîâåðêè H0 ïðîòèâH1 . Ýòîò êðèòåðèé áóäåò íàéäåí ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ÍåéìàíàÏèðñîíà.Ïðîèçâîëüíî âûáåðåì äâà çíà÷åíèÿ a è b ïàðàìåòðà : a èç ãèïîòåòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà ; 0 , b èç àëüòåðíàòèâíîãî ìíîæåñòâà0 ; . Ñëåäîâàòåëüíî,ãäå( 1)(0 1)(0 ℄0 < a 0 < b < 1:(10:2:1)Äëÿ ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû = a ïðîòèâ ïðîñòîé àëüòåðíàòèâû = b ïðèìåíèì ïðàâèëî Íåéìàíà-Ïèðñîíà. Çäåñü:f1 (x) = bTn (x)(1 b)n Tn (x);f0 (x) = aTn (x)(1 a)n Tn (x);ãäå x = (x1 ; : : : ; xn ) òî÷êà âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà X , x ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç íóëåé è åäèíèö, Tn (x) =nPxi . (Çàìåòèì, ÷òî Tn (X ) çíàêîìàÿ íàì äîñòàòî÷íàÿ ñòàòè-i=1ñòèêà, îáùåå ÷èñëî óñïåõîâ).Êðèòè÷åñêèå ìíîæåñòâà Íåéìàíà-Ïèðñîíà äëÿ ïàðû a,nof (x)S = x : 1 ; > 0f0 (x)128b ñóòüèëènS = x :b 1 aa 1 bTn (x) 11bano ; > 0:(10:2:2)Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî êðèòåðèè Íåéìàíà-Ïèðñîíà îáðàçóþòñåìåéñòâî îïòèìàëüíûõ êðèòåðèåâ.
Èç ýòîãî ñåìåéñòâà ïîòîì âûáèðàþò êðèòåðèé çàäàííîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè. Ñåé÷àñ ñåìåéñòâî(10.2.2) ïàðàìåòðèçîâàíî ïàðàìåòðîì , > . Ëþáàÿ äðóãàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ýòîãî ñåìåéñòâà íå áóäåò õóæå. ÷àñòíîñòè, ñåìåéñòâó (10.2.2) ìîæíî äàòü îðìó0nãäå 0 = 111 a1 b ax:abnbTn (x)o 0 ; 0 > 0;. Âïðî÷åì, ñâÿçü ìåæäó íîâûì ïàðàìåòðîì 0è ñòàðûì ïàðàìåòðîì íå âàæíà. Ïðè äàëüíåéøèõ èçìåíåíèÿõïàðàìåòðèçàöèè ìû òàêèå ñâÿçè îòìå÷àòü íå áóäåì. Ââèäó (10.2.1)1bb 1 a a > 1:Ïîýòîìó (10.2.2) ìîæíî åùå óïðîñòèòü:fx : Tn (x) tg; t > 0:(10:2:3)Îòìåòèì ãëàâíóþ îñîáåííîñòü (10.2.3) êàê ñòàòèñòè÷åñêîãîêðèòåðèÿ: åãî âèä íå çàâèñèò îò êîíêðåòíûõ a 0 , b > 0 .Ýòîò êðèòåðèé îáùèé äëÿ âñåõ a 2 ; 0 , b 2 0 ; .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êðèòåðèé (10.2.3) â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ÿâëÿåòñÿðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûì. Ñòàòèñòè÷åñêîå ïðàâèëî òåïåðü òàêîâî. Îòâåðãàòü ãèïîòåçóH0 0 ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû H1 > 0 , åñëè ïðîèçîøëîñîáûòèåTn X t;::ãäå t íåêîòîðîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå. (Ýòî çíà÷åíèå t åùåïðåäñòîèò óòî÷íèòü). Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå îñíîâûâàåòñÿ íà äînPñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêå Tn XXi (ñóììàðíîì ÷èñëå óñïåõîâ),i=1à íå íà ñàìîì íàáëþäåíèè X . Ýòî õàðàêòåðíî äëÿ âñÿêîãî ðàçóìíîãî êðèòåðèÿ â òåõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ, ãäå ñóùåñòâóþòäîñòàòî÷íûå ñòàòèñòèêè.(0 ℄:( 1):( )(10 2 4)( )=129Îñòàåòñÿ îïðåäåëèòü êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå t â (10.2.4).
Äëÿýòîãî çàäàäèìñÿ íåêîòîðûì óðîâíåì çíà÷èìîñòè ". Äëÿ t äîëæíîâûïîëíÿòüñÿ óñëîâèåP fTn(X ) tg "äëÿ âñåõ 0:Èç óòâåðæäåíèÿ (b) ëåììû Íåéìàíà-Ïèðñîíà ñëåäóåò, ÷òîsup P fTn(X ) tg = P0 fTn(X ) tg:0Ïîýòîìó óñëîâèå äëÿ âûáîðàt óïðîùàåòñÿ:P0 fTn(X ) tg ":(10:2:5)àäè äîñòèæåíèÿ íàèáîëüøåé ìîùíîñòè ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû > 0 â êà÷åñòâå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ñëåäóåò âçÿòü íàèáîëüøåå t, óäîâëåòâîðÿþùåå (10.2.5). Âûáîð t ïðè çàäàííûõ è nïîìîãàþò îñóùåñòâèòü òàáëèöû äëÿ âåðîÿòíîñòèP fTn(X ) tg =nXk=tCnk k (1 )nk(0 1) = 1êàê óíêöèè îò è t; 2 ; ; t; n.Ìîæíî íå ñâÿçûâàòü ñåáÿ çàðàíåå âûáðàííûì óðîâíåì çíà÷èìîñòè è ïðèíèìàòü ðåøåíèÿ íà îñíîâå P -çíà÷åíèÿ (P -value) êðèòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.
 íàøåì ñëó÷àå ïðîòèâ ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçû ãîâîðÿò áîëüøèå çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Tn . P çíà÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü (ïðè íåçàâèñèìîì ïîâòîðåíèè îïûòà) íå ìåíüøåå, ÷åì ïîëó÷åíî, çíà÷åíèå êðèòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè (íå ìåíåå ñèëüíîå, ÷åì ïîëó÷åíî, ñâèäåòåëüñòâî ïðîòèâ ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçû).Åñëè íàáëþäåííîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Tn îáîçíà÷èòü êàêTn (íàáë.), ñîõðàíèâ çà Tn ñìûñë ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé, òî P çíà÷åíèåì Tn (íàáë.) ñëóæèòP0 fTn Tn (íàáë.)g:(10:2:6)Ñîïîñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå ñ (10.2.5), âèäèì, ÷òî P -çíà÷åíèå ýòî íàèìåíüøèé óðîâåíü çíà÷èìîñòè, íà êîòîðîì åùå ìîæíîîïðîâåðãíóòü ãèïîòåçó H0 ïî ïðàâèëó (10.2.5).130Èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè ñëóæàò ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëüþ äëÿìíîãèõ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ.  ÷àñòíîñòè, ïðè (ìàññîâîì) ïðîèçâîäñòâå èçäåëèå ìîæåò îêàçàòüñÿ íåãîäíûì (áðàê).
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîÿâëåíèå áðàêà äåëî ñëó÷àÿ, ÷òî áðàêîâàííûìèðàçëè÷íûå èçäåëèÿ ìîãóò îêàçàòüñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà è,÷òî, íàêîíåö, âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ áðàêîâàííîãî èçäåëèÿ ïîñòîÿííà, òî äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññà ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ñõåìóÁåðíóëëè. Ïðèñóòñòâèå ñðåäè èçäåëèé íåêîòîðîé äîëè áðàêîâàííûõ íåèçáåæíî äëÿ ëþáîãî ïðîèçâîäñòâà. Âåëè÷èíà 0 ìîæåòñëóæèòü ãðàíèöåé äëÿ âñå åùå äîïóñòèìîé äîëè áðàêà; åñëè ýòàäîëÿ âûøå, â ïðîèçâîäñòâî òðåáóåòñÿ âìåøàòåëüñòâî (íàëàäêàñòàíêîâ, íàïðèìåð).Äëÿ êîíòðîëÿ çà äîëåé òåêóùåãî áðàêà íóæíî ïðîèçâîäèòü ðåãóëÿðíûå ïðîâåðêè: íóæíî ïðîâåðÿòü ãèïîòåçó H0 0 ïðîòèâH1 > 0 .
Âûøå ìû óñòàíîâèëè, êàê ýòî ñëåäóåò äåëàòü íàèëó÷øèì îáðàçîì ïðè ïðîñòåéøåì ïëàíå ýêñïåðèìåíòà âûáîðêå.Êàê îáúåì âûáîðêè n, òàê è ÷àñòîòà îïèñàííûõ ïðîâåðîê â íàøåéïîñòàíîâêå íå îïðåäåëÿþòñÿ. Èõ óñòàíàâëèâàþò, èñõîäÿ èç ðàñõîäîâ íà îðãàíèçàöèþ è ïðîâåäåíèå êîíòðîëÿ, ïîòåðü îò óâåëè÷åíèÿäîëè áðàêà, ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ â òå÷åíèå ðàáîòû è ò. ä.Ïëàíû âûáîðî÷íîãî êîíòðîëÿ, ðåàëüíî ïðèìåíÿåìûå íà ìàññîâûõ ïðîèçâîäñòâàõ, ìîãóò áûòü çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, ÷åì èçó÷åííàÿ íàìè ïðîñòàÿ âûáîðêà è êîíòðîëü ïî êà÷åñòâåííîìó ïðèçíàêó(êîãäà èçäåëèå ëèáî ãîäíî, ëèáî íåò).
Íàó÷íàÿ è òåõíè÷åñêàÿëèòåðàòóðà, ïîñâÿùåííàÿ êîíòðîëþ êà÷åñòâà ïðîäóêöèè, î÷åíü âåëèêà.Ñóùåñòâîâàíèå ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûõ êðèòåðèåâ (äëÿïðîâåðêè îäíîñòîðîííèõ ãèïîòåç ïðîòèâ îäíîñòîðîííèõ àëüòåðíàòèâ) òèïè÷íî äëÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñåìåéñòâ ðàñïðåäåëåíèé.
Îá ýòèõ ñåìåéñòâàõ ìû óïîìèíàëè â ñâÿçèñ íåðàâåíñòâîì Êðàìåðà-àî è ýåêòèâíûìè îöåíêàìè. Ïëîòíîñòü (âåðîÿòíîñòü) íàáëþäåíèÿ X ïðè ýòîì ðàâíà::p (x; ) = exp f()T (x) + d() + S (x)g IA (x):Áèíîìèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ìû èññëåäîâàëè âûøå, ïðèíàäëåæàò ýòîìó êëàññó. Åñëè óíêöèÿ ìîíîòîííî çàâèñèò îò , âñå ïðîâåäåííûå âûøå âûêëàäêè ïîâòîðÿþòñÿ ïðàêòè÷åñêè áåç èçìåíåíèé è ïðèâîäÿò ê ðåøàþùèì ïðàâèëàì âèäà()Tn t;ëèáîTn t:131Ëåêöèÿ 11. Ïðîâåðêà ëèíåéíûõ ãèïîòåç(â ëèíåéíûõ ãàóññîâñêèõ ìîäåëÿõ) 1. Ïðèìåðû ëèíåéíûõ ãèïîòåç1.1. Âûáîð ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà çàäà÷àõ ðåãðåññèè y ïî x óíêöèîíàëüíûé âèä çàâèñèìîñòè îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ îòêëèêà E y jx , êàê óíêöèè x, áûâàåòèçâåñòåí äàëåêî íå âñåãäà.
 òàêèõ ñëó÷àÿõ àïïðîêñèìèðóþùååâûðàæåíèå äëÿ E y jx ïîäáèðàþò ýìïèðè÷åñêè. ×àñòî äëÿ ïðèáëèæåíèÿ E y jx èñïîëüçóþò ìíîãî÷ëåíû îò x.Ïóñòü, äëÿ ïðîñòîòû, x ñêàëÿðíàÿ ïåðåìåííàÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî:E yjx a0 a1 x ap xp::( )( )( )( )= + + +ñòåïåíè p 0 è íåêîòîðûõ(11 1 1)äëÿ íåêîòîðîéêîýèöèåíòîâ a0 ,a1 ,. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
