Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ïîýòîìó â îïûòå ÷àñòîòû åíîòèïîâ A è a ñðåäè ãèáðèäîâ âòîðîãî ïîêîëåíèÿ äîëæíû îòíîñèòüñÿ(ïðèáëèçèòåëüíî) êàê 3:1.Øêîëà Ò.Ä. Ëûñåíêî â ÑÑÑ â òðèäöàòûå ãîäû ïûòàëàñü áîðîòüñÿ ñ ìåíäåëåâñêèìè çàêîíàìè íàñëåäñòâåííîñòè íàó÷íûìè ìåòîäàìè. Äàëüíåéøèé ðàññêàç îá îäíîì èç ýïèçîäîâ ýòîé áîðüáû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçâëå÷åíèå èç ñòàòüè À.Í. Êîëìîãîðîâà(1940) "Îá îäíîì íîâîì ïîäòâåðæäåíèè çàêîíîâ Ìåíäåëÿ"; ÄÀÍÑÑÑ, òîì 27, 1, ñòð.3842.
(Ñì. òàêæå: À.Í. Êîëìîãîðîâ, Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì.: "Íàóêà",1986 535ñ. è Â.Í. Òóòóáàëèí (1992), Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ì.: èçä-âî ÌÓ, 1992 400 ñ., ÷àñòü 2, ãëàâà3, 1).àáîòà Êîëìîãîðîâà îñíîâûâàåòñÿ íà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ Í.È. Åðìîëàåâîé: "Åùå ðàç î ãîðîõîâûõ çàêîíàõ"; ßðîâèçàöèÿ (1939), 2 (23). Í.È. Åðìîëàåâà ýêñïåðèìåíòèðîâàëà ñ òîìàòàìè.
Â å¼ îïûòàõ ðåçóëüòàòû ðàçäåëÿëèñü ïî ñåìåéñòâàì. Íàïðèìåð, ñåìåéñòâî ñîñòàâëÿëè âñå ðàñòåíèÿ, âûðîñøèå â îäíîìÿùèêå. Ñåìåéñòâà ìû çàíóìåðóåì èíäåêñîì i, i: : : N; N èõ îáùåå ÷èñëî. ×èñòûå ëèíèè, êîòîðûå ïîäâåðãàëèñü ñêðåùèâàíèþ (ãèáðèäèçàöèè), îòëè÷àëèñü âíåøíå: îäíè èìåëè ãëàäêèå, àäðóãèå ìîðùèíèñòûå ëèñòüÿ.Ïóñòü i , i: : : N , îáîçíà÷àþò ÷àñòîòû åíîòèïà a â êàæäîé èç N ñåðèé, à ni îáîçíà÷àåò ÷èñëî ðàñòåíèé â ñåðèè. Ñ âåðîÿòíîñòíîé òî÷êè çðåíèÿ i ýòî ÷èñëî "óñïåõîâ" â ni èñïûòàíèÿõÁåðíóëëè, åñëè íàçâàòü óñïåõîì ïîÿâëåíèå åíîòèïà a. Ïðè ãèïî1 ; â ïðîòèâíîì ñëó÷àåòåçå (ò. å. åñëè çàêîí Ìåíäåëÿ âåðåí) p41p 6 4.Åñëè ÷èñëåííîñòè ni íå ñëèøêîì ìàëû (ïîðÿäêà íåñêîëüêèõäåñÿòêîâ), òî ïî òåîðåìå Ìóàâðà Ëàïëàñà è ïðè ñïðàâåäëèâîñòèçàêîíîâ Ìåíäåëÿ íîðìèðîâàííûå ÷àñòîòû (ãäå p 14 )=1=1===i =i ni p;ni p (1 p)pà òî÷íåå;i =iq1 ni43 ni16(0 1)èìåþò (ïðèáëèæåííî) ðàñïðåäåëåíèå N ; .
Ïîýòîìó íà ñîâîêóïíîñòü 1 ; 2 ; : : : ; n ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà âûáîðêó (îáúåìà N ) èçN ; . Âñå ýòî åñëè âåðåí çàêîí Ìåíäåëÿ.(0 1)1212.2.Åñòåñòâåííàÿ ìûñëü ñîïîñòàâèòü âûáîðî÷íóþ óíêöèþïîñòðîåííóþ ïî âûáîðêå 1 ; : : : ; N è óíêöèþ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (óíêöèþ Ëàïëàñà)Z x2x pe u =2 du:FN (x),( ) = 121Ñîãëàñíî èçâåñòíîé íàì òåîðåìå ëèâåíêî, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàDN = sup jFN (x) (x)j(9:2:1)xïðè áîëüøèõ N äîëæíà áûòü ìàëîé, åñëè âåðíû çàêîíû Ìåíäåëÿ,Pèáî â ýòîì ñëó÷àå DN ! ïðè N ! 1.Åñëè æå çàêîí Ìåíäåëÿ â îáñóæäàåìûõ îïûòàõ íå äåéñòâóåò,òî âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ åíîòèïà a îòëè÷àåòñÿ îò 41 .
 ýòîìñëó÷àå âûáîðî÷íàÿ óíêöèÿ FN ñõîäèòñÿ íå ê , à ê äðóãîìóPïðåäåëó.  ðåçóëüòàòå DN ! > ; åñëè çàêîí Ìåíäåëÿ íåâåðåí.Ýòèõ ñîîáðàæåíèé, îäíàêî, íåäîñòàòî÷íî äëÿ òî÷íûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ âûâîäîâ. Íàäî ïðèâëå÷ü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Ò å î ð å ì à Ê î ë ì î ã î ð î â à (1933).Fn x0()()0Ïóñòü ( ) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè îáúåìà n, èçâëå÷åííîé èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåïðåðûâíîé óíêöèåé F (x). ÏóñòüDn = sup jFn (x) F (x)j:1<x<1Òîãäà ïðè n ! 1 ðàâíîìåðíî ïî z > 0pP f nDn < z g ! K (z );ãäå()K (z ) =+1Xk=1( 1)k e2k2 z2 :óíêöèåé Êîëìîãîðîâà() ()Ôóíêöèþ K z ÷àñòî íàçûâàþò.Èç ýòîé òåîðåìûñëåäóåò,÷òîïðèñïðàâåäëèâîñòèçàêîíàÌåíppN DNNjFxxjïðèáîëüøèõäåëÿ ñòàòèñòèêàNxN ïîä÷èíÿåòñÿðàñïðåäåëåíèþ Êîëìîãîðîâà.
 ñëó÷àå æå åãî íàpPðóøåíèÿ N DN ! 1 ïðè N ! 1:pÝòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ êîíå÷íûõ çíà÷åíèé N ñòàòèñòèêà NDNäîëæíà ïðèíèìàòü áîëüøèå çíà÷åíèÿ,åñëè ãèïîòåçà íåâåðíà.pÒàêèì îáðàçîì, ñòàòèñòèêà NDN ðàçëè÷íî âåäåò ñåáÿ ïðèãèïîòåçå è ïðè åå íàðóøåíèè (ïðèpàëüòåðíàòèâå). Èìåííî ýòî ïîçâîëÿåò ïî íàáëþäàåìîé âåëè÷èíå NDN ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òîæå äåéñòâóåò íà ñàìîì äåëå: ãèïîòåçà èëè àëüòåðíàòèâà.= sup1222.3. äàííîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî ñëåäóþùåå ðåøàþùåå ïðàâèëî: îòâåðãàòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âûáîðêàp èçâëå÷åíà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ óíêöèåé F , åñëè ñòàòèñòèêà NDN ïðèíÿëà (â îïûòå)ñëèøêîì áîëüøîå çíà÷åíèå.
Ò.å. ñòîëü áîëüøîå çíà÷åíèå, êîòîðîåìàëîâåðîÿòíî, åñëè ãèïîòåçà âåðíà.Äàòü òî÷íûé ñìûñë ýòîìó ïðåäëîæåíèþ ìîæíî òàê.()Âûáèðàåì óðîâåíü çíà÷èìîñòè ", " >îòâåðãíóòü ãèïîòåçó, êîãäà îíà âåðíà.Ïî ýòîìó çíà÷åíèþæåì C" , òàêîå, ÷òî0 ýòî âåðîÿòíîñòü" âû÷èñëÿåì êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå, ñêàK (C" ) = 1 ":pÅñëè íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå NDN ïðåâîñõîäèò C" , ìû ïðîâåðÿåìóþ ãèïîòåçó îòâåðãàåì (êàê ãîâîðÿò íà óðîâíå "). Âäàííîì ñëó÷àå ýòî ãèïîòåçà (çàêîí) Ìåíäåëÿ.2.4.Ñóäèòüp î òîì, ñîâìåñòèìî ëè íàáëþäåííîå â îïûòå çíà÷åíèåñòàòèñòèêè NDN ñ ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçîé ìîæíî è èíà÷å. Êàêáûëî ñêàçàíî, pïðîòèâ ãèïîòåçû (çàêîíà Ìåíäåëÿ) ãîâîðÿò áîëüøèå çíà÷åíèÿ NDN , è òåì ñèëüíåå, ÷åì íàáëþäåííîå çíà÷åíèåáîëüøå.àññìîòðèì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â íåçàâèñèìîì ïîâòîðåíèèïðîâåäåííîãî îïûòàp ìû ïîëó÷èì òàêîå æå èëè äàæå áîëüøåå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè NDN , ÷åì íàáëþäåííîå.
(Âåðîÿòíîñòü ýòó âû÷èñëÿåì â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ãèïîòåçà âåðíà). Íàáëþäåííîå çíà÷åíèå íàäî ïðèçíàòü áîëüøèì, åñëè åãî òðóäíî ïðåâçîéòè çà ñ÷åòñëó÷àéíîñòè. Òî åñòü, åñëè óïîìÿíóòàÿ âåðîÿòíîñòü ìàëàÿ. Èîáðàòíî: åñëè ýòà âåðîÿòíîñòü íå ìàëà, òî è íàáëþäåííîå çíà÷åíèå ñ÷èòàòü áîëüøèì íå ñëåäóåò; îíî ñîâìåñòèìî ñ ïðîâåðÿåìîéãèïîòåçîé.Îáñóæäàåìóþ âåðîÿòíîñòü íàçûâàþò P (ïî-àíãëèéñêè P ). Ïðèìåíÿòü P -çíà÷åíèÿ äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçïðåäëîæèë).  äàííîé çàäà÷å P -çíà÷åíèå ðàâíîp Ôèøåð (K NDN .Âåðíåìñÿ ê îïûòàì Åðìîëàåâîé.
Âñåãî áûëî äâå âûáîðêè: NèN.  îáåèõ âûáîðêàõ íàáëþäåííûå çíà÷åíèÿ DN áûëèäàëåêè îò êðèòè÷åñêèõ: èõ P -çíà÷åíèÿ áûëè ðàâíû 0.51 è 0.63ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, íàó÷íàÿ àòàêà Ò.Ä. Ëûñåíêî íàçàêîíû Ìåíäåëÿ íå óäàëàñü.value1 ()98 = 123çíà÷åíèåìR. Fisher=123Ëåêöèÿ 10. Ñòàòèñòè÷åñêèå êðèòåðèè 1. Îïòèìàëüíûé êðèòåðèé Íåéìàíà-Ïèðñîíà(J. Neyman, S.
Pearson, 1933)Ââîäíûå î ï ð å ä å ë å í è ÿ. Ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé S äëÿïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 P 2 0 ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû H1 P 2 1åñòåñòâåííî íàçûâàòü, åñëè ñðåäè âñåõ êðèòåðèåâçàäàííîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè êðèòåðèé S èìååò íàèáîëüøóþ ìîùíîñòü.×óòü ïîäðîáíåå. Èç äâóõ êðèòåðèåâ R è S äàííîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè êðèòåðèé S íàçûâàþò áîëåå ìîùíûì, åñëè: îïòèìàëüíûì: (P; R) (P; S )äëÿ âñåõ P 2 P1 :(10:1:1)Êðèòåðèé S íàçûâàþò îïòèìàëüíûì êðèòåðèåì óðîâíÿ , åñëè äëÿ ëþáîãî äðóãîãî êðèòåðèÿ R óðîâíÿ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (10.1.1).
Êðèòåðèé S â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò òàêæå ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûì êðèòåðèåì óðîâíÿ .Îïòèìàëüíûé âûáîð êðèòåðèÿ äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 :P 2 P0 ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû H1 : P 2 P1 âîçìîæåí ëèøü âíåìíîãèõ ñëó÷àÿõ. (Âïðî÷åì, íåêîòîðûå èç íèõ âàæíû äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ïðàêòèêè). È òàì, ãäå îí óäàåòñÿ, âñ¼ îñíîâàíî íà òàêíàçûâàåìîé. Îíà îòíîñèòñÿ ê ïðîñòåéøåé ñèòóàöèè: è ãèïîòåçà H0 , è àëüòåðíàòèâà H1 ïðîñòûå, òîåñòü îáà ìíîæåñòâà P0 è P1 îäíîòî÷å÷íûå; êàæäîå èç íèõ ñîñòîèò èç îäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé P0 è P1 ñîîòâåòñòâåííî.(Åñëè ìíîæåñòâà P0 è P1 ñîñòîÿò êàæäîå áîëåå ÷åì èç îäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ãèïîòåçó H0 P 2 P0 è àëüòåðíàòèâó H1 P 2 P1íàçûâàþò).Îïòèìàëüíûé êðèòåðèé äëÿ ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû ïðîòèâ ïðîñòîé àëüòåðíàòèâû ìû ïîñòðîèì â ýëåìåíòàðíîé ñèòóàöèè,êîãäà ðàñïðåäåëåíèÿ P0 è P1 ëèáî îáà äèñêðåòíû, ëèáî îáà èìåþòïëîòíîñòè (îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ìåðû íà X ).Ïóñòü f0 x è f1 x , x 2 X , ñóòü äâå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèéíà X (èëè äâà äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèÿ íà X ).
Ïóñòü íàáëþäåíèå X ïîëó÷åíî âûáîðîì ýëåìåíòà èç X ñîãëàñíî ëèáî f0 , ëèáî f1 .àññìîòðèì ãèïîòåçó H0 X èìååò ïëîòíîñòü (ðàñïðåäåëåíèå) f0è àëüòåðíàòèâó H1 X èìååò ïëîòíîñòü (ðàñïðåäåëåíèå) f1 .àññìîòðèì ìíîæåñòâà âèäàëåììå Íåéìàíà-Ïèðñîíàñëîæíûìè():()::S = fx : f1 (x) f0 (x) 0g124:äëÿ>0(10:1:2)êàê êðèòåðèè äëÿ H0 ïðîòèâ H1 . (Òî÷íåå, ìû ðàññìîòðèì âñ¼ ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ óêàçàííîãî âèäà, ïàðàìåòðèçîâàííîå ïåðåìåííîé > , êàê ñåìåéñòâî êðèòè÷åñêèõ ìíîæåñòâ.
Ýòè êðèòè÷åñêèåìíîæåñòâà ðàçëè÷àþòñÿ óðîâíÿìè çíà÷èìîñòè). Ïóñòü R êàêîéëèáî ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé äëÿ ïîâåðêè H0 ïðîòèâ H1 ïî íàáëþäåíèþ X 2 X . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî >00(10:1:3)P0 fX 2 Rg P0 fX 2 S g:Òî åñòü âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà äëÿ R íå âûøå, ÷åì äëÿ S .( òèïè÷íîì ñëó÷àå äëÿ äàííîãî R ìîæíî ïîäîáðàòü êðèòåðèé Sâèäà (10.1.2) ñ òåì æå óðîâíåì çíà÷èìîñòè. Òîãäà â (10.1.3) ñòîèòðàâåíñòâî). Òîãäà(a)(b)(10:1:4)P1 fX 2 Rg P1 fX 2 S g;P0 fX 2 S g P1 fX 2 S g:Ïóíêò (a) îçíà÷àåò, ÷òî êðèòåðèé S èìååò íàèáîëüøóþ ìîùíîñòü ñðåäè âñåõ êðèòåðèåâ, óðîâåíü çíà÷èìîñòè êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäèò óðîâíÿ çíà÷èìîñòè S .Ïóíêò (b) êàñàåòñÿ ñâîéñòâ ñàìîãî êðèòåðèÿ S è óòâåðæäàåò,÷òî ìîùíîñòü êðèòåðèÿ S âîçðàñòàåò ïðè ïåðåõîäå îò ãèïîòåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ P0 ê àëüòåðíàòèâíîìó P1 . (Òàêîå ñâîéñòâîêðèòåðèÿ íàçûâàþò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
