Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ñ ïîìîùüþ (11.4.3) ìîæíî îòäåëüíî ïðîâåðÿòü H0 ïðîòèâ îäíîñòîðîííèõ àëüòåðíàòèâ: ïðîòèâïðàâîñòîðîííåé H + a > b èëè ëåâîñòîðîííåé Ha < b:+2:: 5. Çàêëþ÷åíèåÒåîðèÿ ãàóññîâñêèõ ëèíåéíûõ ìîäåëåé ñîñòàâëÿåò êëàññè÷åñêóþ ãëàâó ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, å¼ áîëüøîå äîñòèæåíèåè äîñòîÿíèå. Âìåñòå ñ òåì, ñ ïðèêëàäíîé òî÷êè çðåíèÿ, ãàóññîâñêèå ìåòîäû íå ñâîáîäíû îò íåäîñòàòêîâ è îãðàíè÷åíèé.Ýòè ìåòîäû íå ñëåäóåò ïðèìåíÿòü, åñëè ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäåíèé (èëè îøèáîê) îïðåäåëåííî íå ãàóññîâñêèå.  ñòàòèñòè÷åñêèõçàäà÷àõ çà ïðåäåëàìè ãåîäåçèè, àñòðîíîìèè è ò. ï.
íåãàóññîâñêèåîøèáêè ýòî ñêîðåå ïðàâèëî, ÷åì èñêëþ÷åíèå.àóññîâñêèå ìåòîäû (ê êîòîðûì ÿ çäåñü îòíîøó è ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ) ïðèìåíÿòü îïàñíî, åñëè ðàñïðåäåëåíèÿ áëèçêè ê ãàóññîâñêèì, íî íå èñêëþ÷àþò ïîÿâëåíèÿ äàëåêî îòñòîÿùèõîò öåíòðà íàáëþäåíèé. (Èõ íàçûâàþò ãðóáûìè îøèáêàìè, èëè"").
Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè (è äðóãèå ïðàâèëà), îïòèìàëüíûå äëÿ ãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé, îêàçûâàþòñÿ ÷óâñòâèòåëüíûìè ê âûáðîñàì. Äàæå íåáîëüøàÿ äîëÿ òàêèõ "çàñîðÿþùèõ"çíà÷åíèé â îáùåì ìàññèâå äàííûõ ìîæåò ðàäèêàëüíî èçìåíèòüðåçóëüòàòû ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà. (Î âëèÿíèè âûáðîñîâ áóäåìãîâîðèòü ïîçæå, â ëåêöèè 15).Ïîýòîìó äëÿ ïðèëîæåíèé íóæíû è äðóãèå ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû. Îá îäíîì èç íèõ, íå îïèðàþùåìñÿ íà êàêóþ-ëèáî ïàðàìåòðè÷åñêóþ îðìó ðàñïðåäåëåíèé (è ïîýòîìó íàçûâàåìîì íåïàðàìåòðè÷åñêèì), ïðîñòîì ìàòåìàòè÷åñêè è äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíîì, áóäåì ðàññêàçûâàòü äàëåå.âûáðîñàìè140Ëåêöèÿ 12.
àíãîâûå ìåòîäû: êðèòåðèéðàíãîâûõ ñóìì (Wiloxon) 1. Îáùåå îïðåäåëåíèå ðàíãîâÎò ëþáîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (â êîòîðîé íåò ïîâòîðÿþùèõñÿ ÷èñåë) ìîæíî ïåðåéòè ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èõ íîìåðîâ, åñëè óêàçàí ïðèíöèï èõ ëèíåéíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ (íóìåðàöèè). Îáû÷íî ÷èñëîâûå ñîâîêóïíîñòè óïîðÿäî÷èâàþò îò ìåíüøåãî ê áîëüøåìó, ò.
å. â âîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå. (Íî áûâàåò è ïîäðóãîìó).Íîìåðà, êîòîðûå ïîëó÷èëè ýëåìåíòû ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðè óïîðÿäî÷åíèè, íàçûâàþò èõ.(Ïîíÿòíî òðåáîâàíèå, ÷òîáû â ñîâîêóïíîñòè íå áûëî îäèíàêîâûõ ÷èñåë: íåÿñíî, êàê óïîðÿäî÷èòü îäèíàêîâûå ÷èñëà. Èì íàäîáû äàòü îäèíàêîâûå íîìåðà). Êàê áû íè ïðîâîäèëîñü óïîðÿäî÷åíèå ÷èñëîâîé ñîâîêóïíîñòè, ñîâîêóïíîñòü èõ ðàíãîâ ýòî îäíà èçïåðåñòàíîâîê íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ; ; : : : ; n, åñëè n ÷èñëåííîñòüèñõîäíîé ñîâîêóïíîñòè.Ïóñòü òåïåðü èñõîäíàÿ ñîâîêóïíîñòü Xx1 ; x2 ; : : : ; xn âûáîðêà èç íåêîòîðîãî íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ýòà âûáîðêà íå èìååò îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ. àññìîòðèì ðàíãè âåëè÷èí x1 ; x2 ; : : : ; xn . Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ïðè óïîðÿäî÷åíèè â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ. Îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç R x1 ,R x2 ,: : :,R xn . Ïóñòü r1 ; r2 ; : : : ; rn ïðîèçâîëüíàÿ ïåðåñòàíîâêà ÷èñåë ; ; : : : ; n . Îñíîâíîå ñâîéñòâî ñëó÷àéíûõ ðàíãîâ:ðàíãàìè12=(( )( )()(1 2)1P fR~ (X ) = ~rg := P fR(x1 ) = r1 ; : : : ; R(xn ) = rn g = :n!)( )Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõíåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàñïðåäåëåíèå èõ ðàíãîâ ðàâíîìåðíîå è íå çàâèñèò îò èñõîäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó ñ ïîìîùüþ ðàíãîâ åãî èçó÷àòü íåëüçÿ. Íî äëÿ áîëåå ñëîæíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîäåëåé ðàíãîâûå ìåòîäû ìîãóò áûòü î÷åíü ïîëåçíû, òàê êàê îíè ïðèâîäÿò ê âûâîäàì, íå çàâèñÿùèì îò èñõîäíûõðàñïðåäåëåíèé (è îò òîãî, èçâåñòíû ëè ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ).
Ýòîñâîéñòâî íåçàâèñèìîñòü âûâîäîâ îò ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòî íàçûâàþò. àíãîâûå ìåòîäû îäèí èçïðèìåðîâ ñâîáîäíûõ îò ðàñïðåäåëåíèÿ ìåòîäîâ. Äðóãîå íàçâàíèåäëÿ òàêèõ ìåòîäîâ . Íàçâàíèå äàíî, ÷òîáûñâîáîäîé îò ðàñïðåäåëåíèÿíåïàðàìåòðè÷åñêèå141ïðîòèâîïîñòàâèòü èõ ñòàòèñòè÷åñêèì ìåòîäàì, ðàçðàáàòûâàåìûìñïåöèàëüíî äëÿ òîãî èëè èíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé íîðìàëüíîãî, íàïðèìåð.
Îáñóæäàÿ ãàóññîâñêèå ëèíåéíûå ìîäåëè, ìû çàíèìàëèñü èìåííî ïàðàìåòðè÷åñêèì èññëåäîâàíèåì.Íà ïðîøëîé ëåêöèè ìû îáñóäèëè çàäà÷ó î äâóõ âûáîðêàõ, êîòîðûå ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ñäâèãîì, êîãäà ýòè âûáîðêè ãàóññîâñêèå.Òåïåðü ïîêàæåì, êàê òó æå çàäà÷ó äëÿ âûáîðîê èç ïðîèçâîëüíîãîíåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ðàíãîâûõìåòîäîâ. 2. Ñðàâíåíèå äâóõ âûáîðîê, ìîãóùèõ îòëè÷àòüñÿ ñäâèãîì=()Ïóñòü Xx1 ; x2 ; : : : ; xm âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F uP fxi ug.Ïóñòü Yy1 ; : : : ; yn íåçàâèñèìàÿ îò X âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F u .Çäåñü 2 R1 ïàðàìåòð ñäâèãà, F íåêîòîðàÿ íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ, íåèçâåñòíàÿ íàáëþäàòåëþ.=()( )=()() ýòîé îáñòàíîâêå íàäîÏðîâåðèòü ãèïîòåçóðîííèõ àëüòåðíàòèâHH: = 0 ïðîòèâëåâî- ëèáî ïðàâîñòî: < 0, H + : > 0;Ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû è äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû äëÿ ;Óêàçàòü òî÷å÷íóþ îöåíêó .Âñ¼ ýòî âîçìîæíî ñ ïîìîùüþ ðàíãîâûõ ñðåäñòâ.
à í ã î â û é ì å ò î ä (ïðîâåðêè ãèïîòåçû H ). àññìîòðèìîáúåäèíåííóþ ñîâîêóïíîñòü X; Y : x1 ; x2 ; : : : ; xm ; y1 ; y2 ; : : : ; yn :Îò ÷èñåë fxg, fy g ïåðåéäåì ê èõ ðàíãàì â îáúåäèíåííîé ñîâî~ R yj Sj .êóïíîñòè X; Y . Îáîçíà÷èì ðàíãè èãðåêîâ ÷åðåç Sßñíî, ÷òî ïðè ãèïîòåçå H â êà÷åñòâå S1 ; S2 ; : : : ; Sn ñ îäèíàêîâûìè âåðîÿòíîñòÿìè ìîæåò ïîÿâèòüñÿ ëþáàÿ ñîâîêóïíîñòü n ÷èñåë, âçÿòûõ èç îòðåçêà íàòóðàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ; ; : : : ; N ,((142))(: ( )=)12= m + n. Ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíà 1=[N (N 1) : : : (N n +1)℄.1 äëÿ ëþáîãî s = 1; 2; : : : ; N . ÷àñòíîñòè, P fR(yj ) = sg =N×òîáû ïîíÿòü, êàêîâî ðàñïðåäåëåíèå ðàíãîâ èãðåêîâ (S1 , S2 ,. .
. , Sn ) ïðè àëüòåðíàòèâàõ H èëè H + , ïðåäñòàâèì âûáîðêó èçãäå NYêàê ïðîäîëæåíèå âûáîðêè èçX , íî "ñî ñäâèãîì":y1 = + xm+1 ; : : : ; yn = + xm+n :Çäåñü xm+1 ; x2 ; : : : ; xm+n íåçàâèñèìûå (â ñîâîêóïíîñòè) è íåçàâèñÿùèå îò x1 ; x2 ; : : : ; xn ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå òó æå(÷òî x1 ; x2 ; : : : ; xn ) óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F .Òåïåðü ÿñíî, ÷òî:()ÅñëèH + : > 0 (àëüòåðíàòèâà H + ), òî P fyj > xi g > < 0, òî âåðíî ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî1P fxi > yj g > .2Ïîýòîìó ïðè H + : > 0 äëÿ ðàíãîâ èãðåêîâ, ò.
å. äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (S1 ; S2 ; : : : ; Sn ), áîëåå âåðîÿòíû çíà÷åíèÿ èç ïðàâîé÷àñòè ðÿäà 1; 2; : : : ; N , ÷åì èç ëåâîé.Ïðè H : < 0 íàîáîðîò, äëÿ (S1 ; S2 ; : : : ; Sn ) áîëåå âåðîÿòíû ìàëûå ÷èñëà èç 1; 2; : : : ; N .Åñëè æå H:12.~ ïðè ãèïîòåçå è ïðèÂûÿâëåííîå ðàçëè÷èå â ðàñïðåäåëåíèÿõ Sàëüòåðíàòèâàõ ìîæíî óñèëèòü, åñëè â êà÷åñòâå êðèòåðèàëüíîé ñòàòèñòèêè âçÿòü èõ ñóììó. Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ, èëè, ÷óòü ïðîñòðàííåå,(Wiloxon):nXWm;nSj :j =1êîêñîíàêîêñîíàñòàòèñòèêà Óèëñòàòèñòèêà ðàíãîâûõ ñóìì Óèë-:=Êàê ñëåäóåò èç ñêàçàííîãî ðàíåå, ïðè ãèïîòåçå H (ò. å. â ñëó÷àå îäíîðîäíîñòè âûáîðîê X è Y ) ñòàòèñòèêà Wm;n ðàñïðåäåëåíàñâîáîäíî: åå ðàñïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò òîãî, êàêîâà (íåïðåðûâíàÿ) óíêöèÿ F ; ðàñïðåäåëåíèå Wm;n îäèíàêîâî äëÿ âñåõ íèõ.Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå Wm;n ïðè ãèïîòåçå H ìîæíî âû÷èñëèòü(äëÿ ëþáîé ïàðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë m è n).
Ýòè ðàñïðåäåëåíèÿâû÷èñëåíû è ñâåäåíû â òàáëèöû (òàáóëèðîâàíû).143Ïðè àëüòåðíàòèâå H + äëÿ Wm;n ñòàíîâÿòñÿ áîëåå âåðîÿòíûìèáîëüøèå çíà÷åíèÿ: äëÿ z >0P fWm;n z jH + g > P fWm;n z jH g:ÏðèHñïðàâåäëèâî ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî:P fWm;n z jH g > P fWm;n z jH g:Âçÿâ âî âíèìàíèå ýòè ðàçëè÷èÿ â ñòàòèñòè÷åñêîì ïîâåäåíèèïðè ãèïîòåçå è àëüòåðíàòèâàõ, ìîæíî ïðåäëîæèòü ïðàâèëàïðîâåðêè H ïðîòèâ H ëèáî H + .Ï ð à â è ë î ïðîâåðêè H ïðîòèâ H +Wm;nÂûáèðàåì óðîâåíü çíà÷èìîñòèÏî çàäàííîìó " >(ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿWm;n ïðè ãèïîòåçå) íàõîäèì" -êâàíòèëü Wm;n ò.
å.òàêîå ÷èñëî w "; m; n , ÷òî:(0)" > 0.(1)P fWm;n w("; m; n)jH g = ":(Ëó÷øå âûáðàòü " òàê, ÷òîáû ýòî óðàâíåíèå èìåëî ðåøåíèå èç-çà äèñêðåòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ Wm;n ýòî âîçìîæíîòîëüêî äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé ").Îòâåðãàåì H â ïîëüçó H + íà óðîâíå ", åñëè íàáëþäåííîåçíà÷åíèå Wm;n ðàâíî èëè ïðåâîñõîäèò w "; m; n , ò. å. åñëè(íàáë. Wm;n w("; m; n):)Ïðàâèëî ïðîâåðêè H ïðîòèâ H âûãëÿäèò àíàëîãè÷íî, ñ åñòåñòâåííûìè èçìåíåíèÿìè. Åñëè æå ñ ãèïîòåçîé H êîíêóðèðóåò äâóñòîðîííÿÿ àëüòåðíàòèâà H 6, òî ïðàâèëî âûãëÿäèò òàê:: =0îòâåðãàòü H â ïîëüçó H , åñëè íàáëþäåííîå çíà÷åíèå Wm;näàëåêî (ëåãêî óòî÷íèòü, ÷òî ýòî çíà÷èò) îòêëîíÿåòñÿ îò öåíòðà ðàñïðåäåëåíèÿ Wm;n ïðè H .Òàê êàê ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íîå (ïðîâåðüòå!), òî óïîìÿíóòûé öåíòð ðàâåí E0 Wm;n .
(Èíäåêñîì íîëü îòìå÷àåì ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî=0E0 Wm;n =144n(m + n + 1)2:Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óíêöèè ìîùíîñòè ïðèâåäåííûõ âûøåêðèòåðèåâ âîçðàñòàþò ïî ìåðå óäàëåíèÿ çíà÷åíèÿ îò âíóæíîì íàïðàâëåíèè.=0 3. Ñâÿçü äîâåðèòåëüíîãî îöåíèâàíèÿ è ïðîâåðêè ãèïîòåçÏóñòü X íàáëþäåíèå, P ðàñïðåäåëåíèå X , íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, 2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçûHt t ìû ðàñïîëàãàåì ñòàòèñòè÷åñêèì êðèòåðèåì, óðîâåíüêîòîðîãî ". Ïóñòü Æ X; t èíäèêàòîðíàÿ óíêöèÿ êðèòåðèÿ.(Îòâåðãàåì Ht t, åñëè Æ X; t).Òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà t 2 , äëÿ êîòîðûõ ãèïîòåçà Ht tíå îòâåðãàåòñÿ ïî íàáëþäåíèþ X íà âûáðàííîì óðîâíå, îáðàçóþòìíîæåñòâî C Xft Æ X; t; t 2 g; êîòîðîå ÿâëÿåòñÿäîâåðèòåëüíûì äëÿ íåèçâåñòíîãî çíà÷åíèÿ ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
