Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ïî ñîâðåìåííîìó îáûêíîâåíèþýòîò ðåçóëüòàò îðìóëèðóþò â âèäå ïðåäåëüíîé òåîðåìû.Ò å î ð å ì à 13.1.1.x1 ; : : : ; xm è y1 ; : : : ; ynÏóñòü () () ñóòü íåçàâèñèìûå âûáîðêè èç íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé. ÑòàòèñòèêàWm;n ðàíãîâûõ ñóìì Óèëêîêñîíà âû÷èñëåíà ïî ýòèì âûáîðêàì.EWm;n dpÒîãäà, ïðè m; n ! 1 Wm;n! N (0; 1):DWm;nîâîðÿ òî÷íåå, ìû áóäåì äîêàçûâàòü àñèìïòîòè÷åñêóþ íîðìàëüíîñòü äðóãîé ñòàòèñòèêè òàê íàçûâàåìîé(Mann-Whitney)m XnXHm;nI xi < yj ;i=1 j =1ñòàòèñòèêèÌàííà-Óèòíè=()151()ãäå I : èíäèêàòîðíàÿ óíêöèÿ ñîáûòèÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñòàòèñòèêè Wm;n è Hm;n ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìn(n + 1)Wm;n = Hm;n +2:Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òîR(yj ) =mXi=1I (xi < yj ) +nXk=1I (yk < yj ) + 1:Ìû äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó:Ò å î ð å ì à 13.1.2. óñëîâèÿõ òåîðåìû 13.1.1Hm;nEHm;n dp! N (0; 1):DHm;nÎ÷åâèäíî, ÷òî òåîðåìà 13.1.1 ñëåäóåò èç òåîðåìû 13.1.2, èîáðàòíî.
Íà ïðàêòèêå òåîðåìû 13.1.1 è 13.1.2 èñïîëüçóþò êàê îñíîâàíèÿ äëÿ ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé, ñêàæåì:P0 fWm;n xg E0 Wm;n :D0 Wm;nxpÄëÿ öåëûõ x, êàê îáû÷íî, áîëåå òî÷íîå ïðèáëèæåíèå îáåñïå÷èâàåòïîïðàâêà íà íåïðåðûâíîñòü:P0 fWm;n xg xP0 fWm;n xg 1 +p0:5E0 Wm;n ;D0 Wm;nxÀíàëîãè÷íûå îðìóëû âåðíû è äëÿE0 Wm;n =n(m + n + 1)20:5E0 Wm;n :D0 Wm;npHm;n . Êàê ëåãêî âèäåòü,; E0 Hm;n =mn2 äàëüíåéøåì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òîD0 Hm;n = D0 Wm;n =152mn(m + n + 1)12::99.86%93.3250.006.680.14x21242730333639424548=51èñ.
13.1.1. ðàèê óíêöèè y P fWm;n xg ïðèíîðìàëüíîé áóìàãå5457m = n = 6 íàÎòìåòèì âàæíîå ñâîéñòâî ýòîé àïïðîêñèìàöèè: îíà äàåò óäîâëåòâîðèòåëüíóþ òî÷íîñòü äàæå äëÿ ìàëûõ âûáîðîê. ×òîáû óáåäèòüñÿ, äîñòàòî÷íî âçãëÿíóòü íà ðèñ. 13.1.1, ãäå íà íîðìàëüíîé áóìàãå èçîáðàæåíû ãðàèêè óíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Wm;n è ñîîòâåòñòâóþùåãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N E0 Wm;n ; D0 Wm;n .Ýòî ñâîéñòâî íîðìàëüíîé àïïðîêñèìàöèè ïîçâîëÿåò ñîñòàâëÿòü ñáîðíèêè ñòàòèñòè÷åñêèõ òàáëèö òàê, ÷òî äëÿ m; n çà èõ ïðåäåëàìè íîðìàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ äëÿ Wm;n äàåò äîñòàòî÷íóþäëÿ ïðàêòèêè òî÷íîñòü (êîòîðóþ àâòîðû îáû÷íî óêàçûâàþò).Âåðíåìñÿ ê òåîðåìå 13.1.2. Òåîðåìà 13.1.2 ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé îáùåé òåîðåìû îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè òàê íàçûâàåìûõ().  äàííîì ñëó÷àå Hm;n ýòîäâóõâûáîðî÷íàÿ U -ñòàòèñòèêà()U-ñòàòèñòèê U-statistisUm;n :=m XnXi=1 j =1f (xi ; yj )f (x; y) = I (x < y).
Ìû äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó:î ð å ì à 13.1.3. Ïóñòü (x1 ; : : : ; xm ) è (y1 ; : : : ; yn ) äâåñ ÿäðîìÒ å153íåçàâèñèìûå âûáîðêè; ïóñòü óíêöèÿ f (x; y) òàêîâà, ÷òîDf 2 (x1 ; y1 ) < 1; D E [f (x1 ; y1 )jx1 ℄ 2 > 0; D E [f (x1 ; y1 )jy1 ℄ 2 > 0:Òîãäà, ïðèm; n ! 1Um;nEUm;n dp! N (0; 1):DUm;nÏëàí äåéñòâèé òàêîâ:Äîêàçàòü òåîðåìó 13.1.3.Çàòåì âûâåñòè èç íåå òåîðåìó 13.1.2, îãðàíè÷èâàÿñü ñëó÷àåìîäíîðîäíûõ âûáîðîê, ïîñêîëüêó ýòîò ñëó÷àé äëÿ íàñ áîëååâàæåí, è, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå ëåãêî âû÷èñëèòü E0 Hm;nè D0 Hm;n .Òåîðåìà 13.1.1 èç òåîðåìû 13.1.2 âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî(ê òîìó æå DWm;n DHm;n ).=Ïî õîäó äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 13.1.3 íàì áóäåò íåîáõîäèìàòàê íàçûâàåìàÿÒ å î ð å ì à Ñ ë ó ö ê î ã î.fn ; n > g;fn ; n > gC.Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü1 ïî ðàñïðåäåëåíèþ ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîéâåëè÷èíå ïóñòü ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü1ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ïîñòîÿííîé âåëè÷èíåÒîãäà, ïðè n ! 1(a)n + n d! + C;(b)n n d! C: 2.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 13.1.3Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî Ef (xi ; yj ) = 0:EUm;n = 0. Ââåäåì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (x1 ) è (y1 ):(x1 ) = E [f (x1 ; y1 )jx1 ℄;ÏðåäñòàâèìUm;n =154Òîãäà (y1 ) = E [f (x1 ; y1 )jy1 ℄:Um;n â âèäåm XnXi=1 j =1[f (xi ; yj )(xi ) (yj )℄ +m XnXi=1 j =1[(xi ) + (yj )℄ ==nm nmXi=1(xi ) + mm;n = P P [f (xi ; yj )nXj =1 (yj ) + m;n ;( )( )℄ xi yj :i=1 j =1pÄàëåå äðîáü Um;n = DUm;n , ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå êîòîðîéåñòü ïðåäìåò òåîðåìû 13.1.3, êîãäà EUm;n, ïðåäñòàâëÿåì ââèäå:mnPPn xi m yjUm;ni=1j =1pvumnDUm;n u XXtD n xi m yji=1j =1ãäå=0( )+=[( )+|vuuDut( )℄{z}m;nmn[n P (xi ) + m P (yj )℄i=1|DUm;nj =1{zCm;nèëè, êîðîòêî:( )Um;nDUm;np}m;n+ pDU|{zm;nm;n}= m;n Cm;n + m;n:Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 13.1.3 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî(a)Cm;n ! 1,(b) m;n() m;n! N (0; 1),P! 0.dÇàòåì ïðèìåíèòü òåîðåìó Ñëóöêîãî. 3.
Âû÷èñëåíèå äèñïåðñèè U -ñòàòèñòèêÊëþ÷åâóþ ðîëü èãðàåò âû÷èñëåíèå äèñïåðñèèÏîýòîìó ìû âûäåëÿåì ýòî â îòäåëüíûé ïàðàãðà.Òàê êàê Ef xi ; yj; òîmm Xn XnXX2Ef xi ; yj fDUm;n EUm;ni=1 i 0 =1 j =1 j 0 =1(=U -ñòàòèñòèêè.)=0=() (xi ; yj ):00155Ñòîÿùóþ â ïðàâîé ÷àñòè ñóììó ïðåäñòàâèì â âèäå ÷åòûðåõñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ åñòü ñóììà, ãäå èíäåêñû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:X1)02)3)4)XX001 = : : : (i 6= i ; j 6= j );XXX=:::(i = i 0; j 6= j 0);2XXX=:::(i 6= i 0; j = j 0);3XXX=:::(i = i 0; j = j 0):4P1 = 0, ò. ê. Ef (xi ; yj ) = 0, à ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû f (xi ; yj )è f (xi ; yj ) íåçàâèñèìû, åñëè èíäåêñû ðàçëè÷íû.P2 = mn(n 1)Ef (x1 ; y1 )f (x1 ; y2) = mn(n 1)D(x1 ); ò.
ê.Ef (x1 ; y1)f (x1 ; y2 ) = EE [f (x1 ; y1 )f (x1 ; y2)jx1 ℄ == E fE [f (x1; y1)jx1 ℄E [f (x1; y2)jx1 ℄g = E(x1 )(x1 ) = D(x1 );èáî E(x1 ) = 0.P3 = mn(m 1)D (y1 ) ïî àíàëîãè÷íîé ïðè÷èíå.P4 = mnE [f (x1 ; y1)℄2 = mnDf (x1 ; y1 ).0ÏîýòîìóDUm;n= mn(n1)D(x1)+nm(m 1)D(y1)+mnDf (x1; y1): (13:3:1) 4. Äîêàçàòåëüñòâî âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé èç ïàðàãðàà 2Óòâåðæäåíèå (a) î÷åâèäíî, èáîmnXXD n xi m yji=1j =1[156( )+( )℄ = n2mD(x1 ) + m2nD(y1 ):Óòâåðæäåíèå (b) åñòü îäíà èç îðì öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû.
ż ëåãêî äîêàçàòü ìåòîäîì õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ óíêöèé, ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì öåíòðàëüíîéïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.~( )= ( ) ( ) ( )~( )=0~ ~ ~~(x1 ) = E [f~(x1 ; y1 )jx1 ℄;~(y1 ) = E [f~(x1 ; y1 )jy1 ℄:Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ~(x1 ) = 0, ~(y1) = 0.Ïîýòîìó Dm;n = mnDf~. Òåïåðü óòâåðæäåíèå () åñòü ñëåä-Óòâåðæäåíèå (). Çàìåòèì, ÷òî m;n ýòî U -ñòàòèñòèêà ñÿäðîì f x; y f x; y x y , ïðè÷åì E f x1 ; y1.
Âûðàæåíèå äëÿ D m;n äàåò îðìóëà (13.3.1), â êîòîðîé f; ; íàäî çàìåíèòü íà f; ; , ãäåñòâèå íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà äëÿ m;n , èáîEm;n = 0èDm;n =Dm;n! 0:mn[nD + mD + Const℄ 5. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÑëóöêîãîÍàïîìíèì î ï ð å ä å ë å í è å: ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòün ; n = 1; 2; : : : ñëàáî, èëè ïî ðàñïðåäåëåíèþ ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîéâåëè÷èíå , åñëè äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé è îãðàíè÷åííîé óíêöèèf (:)Ef (n ) ! Ef ( ) ïðè n ! 1:(13:5:1)Îãðàíè÷èìñÿ äîêàçàòåëüñòâîì óòâåðæäåíèÿ (a), ò. ê.
(b) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîéîãðàíè÷åííîé óíêöèè f ïðè n ! 1()E [f (n + n )(13:5:2)Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî " > 0dñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî A > 0, ÷òî P fj j > Ag < ". Òàê êàê n ! ,òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõf ( + C )℄ ! 0:nP fjn j > Ag < 2":(13:5:3)PÒàê êàê n ! C , òî äëÿ óêàçàííîãî âûøå " è ëþáîãî èêñèðîâàííîãî Æ > äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n0Îêîí÷àòåëüíîñêîëüêóP fjn C j > Æg < ":Æìû âûáåðåì íèæå, à ïîêà ïîëîæèìÆ(13:5:4) 1.
Ïî-E [f (n + n ) f ( + C )℄ =157= E [f (n + n)f (n + C )℄ + E [f (n + C ) f ( + C )℄;(13:5:5)òî äëÿ (13.5.2) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî êàæäîå èç ñëàãàåìûõ â(13.5.5) äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãî ÷èñëà.Ñõîäèìîñòü ê íóëþ âòîðîãî ñëàãàåìîãî î÷åâèäíà: â êà÷åñòâådf x â (13.5.1) íàäî âçÿòü f x C , ÷òîáû èç n ! çàêëþ÷èòü,d÷òî n C ! C .Ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâèì â âèäå()+( + )+E f[f (n + n ) f (n + C )℄[I (jn j A) + I (jn j > A)℄[I (jn C j Æ) + I (jn C j > Æ)℄g =(13:5:6)= E f[f (n + n) f (n + C )℄I (jn j A)I (jn C j Æ)g + Rn:×åðåç Rn îáîçíà÷åíà ñóììà òðåõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ ïðè ðàñêðûòèè ñêîáîê â ëåâîé ÷àñòè (13.5.6). êàæäîì èç ýòèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé åñòü ëèáî ñîìíîæèòåëü I jn j > A , ëèáî I jn C j > Æ , ëèáî îáà.
Ïîýòîìó êàæäîå èçýòèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ìîæíî îöåíèòü ñâåðõó ÷èñëîì "jf x j, à èõ ñóììó Rn ÷èñëîìx" x jf x j. Íàïðèìåð,()()4 max ( )12 max ( )jE f[f (n + n ) f (n + C )℄I (jn j > A)I (jn C j Æ)gj 2 maxjf (x)jI (jn j > A) 4" maxjf (x)j:xxÈòàê, äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõnjRn j 12" maxjf (x)j:x(13:5:7)Îáðàòèìñÿ ê ãëàâíîìó ñëàãàåìîìó â (13.5.5) è çàìåòèì, ÷òî âíåì jn j A, jn C j Æ . Ïîýòîìó çíà÷åíèÿ jn n C j A Æ A . Ñëåäîâàòåëüíî, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà n n ïðèíàäëåæàòêîìïàêòó KC A ; C A . Òàê êàê óíêöèÿ f èç (13.5.2)íåïðåðûâíà, òî íà êîìïàêòå K îíà ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà. Ýòîçíà÷èò, ÷òî äëÿ âûáðàííîãî âûøå " > ñóùåñòâóåò ÷èñëî Æ >òàêîå, ÷òî jf uf v j < ", åñëè ju vj < Æ è u; v 2 K .
×èñëîÆ çàâèñèò îò " è K , è èìåííî òàêèì ìû âûáåðåì Æ â (13.5.4). Âîáñóæäàåìîì ãëàâíîì ñëàãàåìîì èç (13.5.5)+1=[()++1 + +1℄()+()0j(n + n ) (n + C )j < Æ; n + n 2 K; n + C 2 K:1580( + )( + )Ïîýòîìó jf n nf n C j < ": èòîãå ïîëó÷àåì ñ ó÷åòîì (13.5.7), ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n E f(n + n ) f (n + C ) < " + 12" maxf (x):xÇà ñ÷åò âûáîðà " > 0 ýòà îöåíêà ìîæåò áûòü ñäåëàíà ñêîëü óãîäíîìàëîé.
Òåîðåìà äîêàçàíà. 6. Ïðèìåíåíèå òåîðåìû 13.1.1 äëÿ âû÷èñëåíèéêðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèéÒåîðåìà 13.1.1 áûâàåò ïîëåçíà äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèòè÷åñêèõçíà÷åíèé ñòàòèñòèêè Wm;n ïðè áîëüøèõ m; n. ×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 13.1.1, íàäî âû÷èñëèòü D0 Wm;n (äèñïåðñèþ ïðèãèïîòåçå, ò. å. äëÿ îäíîðîäíûõ âûáîðîê x1 ; : : : ; xm è y1 ; : : : ; yn ).Ìû âû÷èñëèì D0 Hm;n , êîòîðàÿ ðàâíà D0 Wm;n .Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòîì 3, ïîëîæèâ() ()f (x1 ; y1 ) = I (x1 < y1 ) EI (x1 < y1 ) = I (x1 < y1 ) P fx1 < y1 g:Êàê ñêàçàíî, îãðàíè÷èìñÿ îäíîðîäíûìè âûáîðêàìè. ÒîãäàP fx1 < y1 g = P fx1 > y1 g = 1=2:Îáùóþ óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (íåïðåðûâíóþ!) îáîçíà÷èì ÷åðåçF u P fxi < ug P fyj < ug: Âû÷èñëÿåì( )==(xi ) = E f[I (xi < yj ) 1=2℄jxi g = P fxi < yj jxi g 1=2 == 1 P fyj < xi jxi g 1=2 = 1=2 F (xi ):Àíàëîãè÷íî: (yj ) = F (yj ) 1=2.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , èìåþùåé íåïðåðûâíóþ óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (u) = P fX < ug "íîâàÿ" ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà = F (X ) ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî íà [0,1℄.
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ðèñ. 13.6.1. ßñíî, ÷òî P fF (X ) < z g = z äëÿz 2 (0; 1).Ïîëó÷èëè, ÷òî ïðè ãèïîòåçå (îäíîðîäíîñòè) (xi ) = 1=2 Ui , (yj ) = Vj 1=2; ãäå U1 ; : : : ; Um, V1 ; : : : ; Vn ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó-÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå íà [0, 1℄. Î÷åâèäíî, ÷òîE [(xi )℄2 = DUi =11212 ; E [(yj )℄ = DVj = 12 :1591yy=F u()zu0FX{() <z}èñ. 13.6.1.Ïîýòîìó1) + m(m 1)n + mn = mn(m + n + 1) ;1212412èáî D0 f (x1 ; y1 )= D0 I (x1 < y1 )= P fx1 < y1 g 1 P fx1 < y1 g =1=4:D0 Hm;n=D0 Wm;n=mn(nÈòàê, äëÿ íåïðåðûâíûõ îäíîðîäíûõ âûáîðîê òåîðåìà 13.1.1äàåò:Wp= dm;n n n mWm;n!N ;=( + + 1) 2mn(m + n + 1)=12(0 1)ïðè m; n ! 1.Ïîëüçîâàòüñÿ ýòèì íîðìàëüíûì ïðèáëèæåíèåì (äëÿ âåðîÿòíîñòåé, íå ñëèøêîì áëèçêèõ ê èëè ) ìîæíî ïðè m; n .Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà íå äàåò íàì îöåíîê äëÿ ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
