Ю.Н. Тюрин, Г.И. Симонова - Математическая статистика. Записки лекций (1124593), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ îáùåãî äëÿ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ìíîæèòåëÿ r U" ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî()( )( )(A) =( )ZRA Hp (x)s(dx):p (y)s(dy)()Òàêèì îáðàçîì, ðàñïðåäåëåíèå P : âî âñåì ïðîñòðàíñòâå Rd , èìåþùåå ïëîòíîñòü p : , èíäóöèðóåò íà ïîâåðõíîñòè H íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå : , òàêæå èìåþùåå ïëîòíîñòü îòíîñèòåëüíî ëåáåãîâñêîé ìåðû íà ïîâåðõíîñòè H , è ýòà ïëîòíîñòü ðàâíà()()RHp (x)p (y)s(dy)äëÿx 2 H:Äîêàçàòåëüñòâî áûëî ïðîâåäåíî äëÿ ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé, íî, ðàçóìååòñÿ îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è äëÿ êóñî÷íî-ãëàäêèõ H .Ñ ï å ö è à ë ü í û é ñ ë ó ÷ à é: óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå P : â ïðîñòðàíñòâå Rd çàäàíîñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X , à ïîâåðõíîñòü H ýòî îäíî èç ìíîæåñòâóðîâíÿ ñëó÷àéíîé óíêöèè TT X H fx T x tg.
Â()= ( ):60=: ( )=()óñëîâíûì ðàñïðåäåëåíèåì( )óñëîâíîé ïëîòíîñòüþýòîì ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèå : íà ïîâåðõíîñòè H , ðàññìîòðåííîåâûøå, íàçûâàþòñëó÷àéíîé ïåðåìåííîéX ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû T X , à ïëîòíîñòüýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ X ïðè çàäàííîìçíà÷åíèè T X . Èíîãäà äëÿ ýòîé óñëîâíîé ïëîòíîñòè ïðèíèìàþòîáîçíà÷åíèå( )pX jT (x; T ) =Rp (x)p (y)s(dy)äëÿ x òàêèõ, ÷òîT (x) = T:(3:2:2)T (y)=Tëàâíûé êà÷åñòâåííûé âûâîä: óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà èñõîäíîé ïëîòíîñòè.Ï ð è ì å ð. Ïóñòü XX1 ; : : : ; Xm , ãäå X1 ; : : : ; Xm ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàñïðåäåëåííûå ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå ; a , ãäå a > . Íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X ïðè äàííîìçíà÷åíèè T XX1 ; : : : ; Xm .Ïî óñëîâèþ, m-ìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà m-ìåðíîì êóáå=([0 ℄0( ) = max())Q(a) = f x = (x1 ; : : : ; xm ) : 0 x1 a; : : : ; 0 xm a g:Äëÿ 0 T a ìíîæåñòâî óðîâíÿ T (X ) = T ýòî òà ÷àñòü ïîâåðõíîñòè êóáà Q(T ), ÷òî ëåæèò â ïîëîæèòåëüíîì îêòàíòå.
Ìåðà s(:)íà ýòîé ïîâåðõíîñòè ýòî îáû÷íàÿ (m 1)-ìåðíàÿ ìåðà Ëåáåãà.Ñîãëàñíî (3.2.2), óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü X ïðè äàííîì T ïîñòîÿííà íà ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ T (x1 ; : : : ; xm ) = T . Ïîýòîìó óñëîâíîåðàñïðåäåëåíèå X ïðè äàííîì T ðàâíîìåðíîå (íà óêàçàííîé ïîâåðõíîñòè).Ç à ä à ÷ à. Íàéäèòå óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X1 ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè T . 3. Äîñòàòî÷íûå ñòàòèñòèêèÍàïîìíèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñëåäóþùóþ ñòàòèñòè÷åñêóþìîäåëü: íàáëþäåíèå X ïîëó÷åíî ñëó÷àéíûì âûáîðîì èç ìíîæåñòâà X ; ñëó÷àéíûé âûáîð óïðàâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé P , ãäå íåêîòîðûé (íåèçâåñòíûé) ïàðàìåòð, ïðè÷åì 2 ; çàäàííîå ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ýòîãî ïàðàìåòðà.Î ï ð å ä å ë å í è å 3.3.1.
Ñòàòèñòèêà TT X íàçûâàåòñÿäëÿ ïàðàìåòðà , 2 , åñëè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X ïðè äàííîì çíà÷åíèè T X îäíî è òî æå äëÿ âñåõ 2 .äîñòàòî÷íîé( )= ( )61(Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè óïîìÿíóòîå óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå íå ìåíÿåòñÿ (íå çàâèñèò îò ), êîãäà ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî ).Ä è ñ ê ð å ò í û é ñ ë ó ÷ à é. Êîãäà ðàñïðåäåëåíèå X äèñêðåòíî, ïîíÿòèå óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ X ââîäèòñÿ ýëåìåíòàðíî:P fX = xjT (X ) = tg =P fX = xg= : P fT (X ) = tg ;0;P fX = x; T (X ) = tg=P fT (X ) = tg8<T (X ) = t;åñëè T (X ) 6= t:èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè.
Ïóñòü X = (X1 ; X2 ; : : : ; Xn )åñëèÏ ð è ì å ð: ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé Áåðíóëëè, â êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü óñïåõànPåñòü , 2 ; .  êà÷åñòâå ñòàòèñòèêè T X âîçüìåì TXi .i=1Çäåñü Xi ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 èëè 1 (Xi ÷èñëî óñïåõîâ â èñïûòàíèè ñ íîìåðîì i), T îáùåå ÷èñëî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ.
Ýëåìåíòàðíàÿ âûêëàäêà ïîêàçûâàåò, ÷òî â ýòîì ïðèìåðå (ãäåx x1 ; x2 ; : : : ; xn çàäàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóëåé è åäèíèö):(0 1)=(( )=)8>><1;åñëè>:0;åñëètP fX = xjT (X ) = tg = > CnÊàê âèäíî èç îðìóëû,TnPi=1nPi=1xi = t;xi 6= t:n= P Xi åñòü äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêài=1äëÿ , 2 ; .Í å ï ð å ð û â í û é ñ ë ó ÷ à é. Òàê, äëÿ êðàòêîñòè, íàçîâåì ñòàòèñòè÷åñêóþ ìîäåëü, â êîòîðîé ðàñïðåäåëåíèå P ìîæåòáûòü çàäàíî ñ ïîìîùüþ ïëîòíîñòè p x; îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîéìåðû.
Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî X ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ âêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, è ÷òî P îáëàäàåò ïëîòíîñòüþ îòíîñèòåëüíî ëåáåãîâñêîé ìåðû.  ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêèT âûäåëÿþòfx T x tg. Óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X íà ìíîæåñòâå óðîâíÿ fx T xtg â ýòîì ñëó÷àåìîæíî çàäàòü ñ ïîìîùüþ ïëîòíîñòè (îòíîñèòåëüíî ëåáåãîâñêîéìåðû íà ìíîæåñòâå óðîâíÿ). Ýòà óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà p x; .
Ïîñêîëüêó èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè ñîñòàâëÿåò 1, ýòà(0 1)( )ìíîæåñòâà óðîâíÿ( )62: ()=: ( )=óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü X ïðè äàííîìóðîâíÿ fx T xtg, ðàâíà: ( )=T (X ) = t,ò. å. íà ìíîæåñòâåp (x; ):p (y; ) dyfy: T (y)=tgR(Âûðàæåíèå â çíàìåíàòåëå ýòî èíòåãðàë ïî ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ).Ä î ñ ò à ò î ÷ í û å ð à ç á è å í è ÿ. Èç îïðåäåëåíèÿ äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñëó÷àéíàÿ óíêöèÿ S S Tíàõîäèòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ äîñòàòî÷íîéñòàòèñòèêîé TT X , òî S òîæå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé. Ïîýòîìó ïðàâèëüíåå áûëî áû ãîâîðèòü íå î äîñòàòî÷íûõñòàòèñòèêàõ, à î ïðîèçâîäèìûõ èìè ðàçáèåíèÿõ âûáîðî÷íûõ ïðîñòðàíñòâ (ðàçáèåíèÿõ íà ìíîæåñòâà óðîâíÿ äîñòàòî÷íûõ ñòàòèñòèê).
Äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà TT X ðàçáèâàåò âûáîðî÷íîåïðîñòðàíñòâî X íà ìíîæåñòâà óðîâíÿ fx T xConstg. Óñëîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ X íà ýëåìåíòàõ ýòèõ ðàçáèåíèé îäèíàêîâû äëÿâñåõ ðàñïðåäåëåíèé , êîãäà 2 .Ï ð è ì å ð. Ïóñòü XX1 ; : : : ; Xn âûáîðêà èç ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ãäå ïëîòíîñòü îòäåëüíîãî íàáëþäåíèÿ Xiðàâíà:= ( )= ( )= ( ): ( )==(8<1 exp f (u; ) = : 0Ïàðàìåòð=uäëÿäëÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, ò. å.Xi äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêài=1Ïëîòíîñòü X â òî÷êå uu1 ; : : : ; un åñòü:÷òînYi=1TnP)=(8>> n>><f (ui ; ) = >>>>:01 exp BBÓñëîâíàÿ ïëîòíîñòü0X)nPi=1u 0;u < 0: 2 (0; 1). Ïîêàæåì,äëÿ â ýòîé ìîäåëè.1ui CCAäëÿu1 0; : : : ; un 0;â ïðîòèâíîì ñëó÷àå:ïðè èêñèðîâàííîìTðàâíà (â òî÷êåu63òàêîé, ÷òînPi=1ui = T; u1 0; : : : ; un 0):01nP n1 exp BBi=1ui C0Z nfy: P yi =T;yi 0g1 exp BB n= 1 n1 exp expTTCAnPi=11yi C=C dyAZfy:P yi =T;yi 0gdy= Const(T ):Çäåñü îêàçàëîñü, ÷òî óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü (íà ìíîæåñòâå óðîâíÿ)íå òîëüêî íå çàâèñèò îò ÷òî äîêàçûâàåò, ÷òî ñòàòèñòèêà Täîñòàòî÷íà, íî íå çàâèñèò è îò êîîðäèíàòû u.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîóêàçàííîå óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X ðàâíîìåðíîå (íà êàæäîììíîæåñòâå óðîâíÿ).Âûêëàäêè, êîòîðûå ìû ïðîäåëàëè â äâóõ ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ, ïî ñóùåñòâó ïîâòîðÿþòñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùåéòåîðåìû.Ò å î ð å ì à (àêòîðèçàöèè).T TXÑòàòèñòèêà = ( ) äîñòàòî÷íà äëÿ ïàðàìåòðà , 2 ò. è ò. ò., êîãäà ñóùåñòâóþòóíêöèè g(t; ) è h(x) òàêèå, ÷òîp (x; ) = g(T (x); )h(x)(3:3:1)ïðè âñåõ 2 .Ç à ì å ÷ à í è å. Âåëè÷èíà p (x; ) îáîçíà÷àåò ëèáî ïëîòíîñòüíàáëþäåíèÿ X â òî÷êå x, åñëè ìîäåëü íåïðåðûâíà, ëèáî âåðîÿòíîñòü òî÷êè x, åñëè ìîäåëü äèñêðåòíà.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àÿ.
Äëÿ íåïðåðûâíîãî ñëó÷àÿ îíî, ïî ñóùåñòâó, ïîâòîðÿåòñÿ.Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î (äèñêðåòíûé ñëó÷àé).(() Åñëè âûïîëíåíî (3.3.1), òî TT X äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà äëÿ .= ( )64Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X ïðè äàííîì çíà÷åíèè T X íå çàâèñèò îò 2 .Ñíà÷àëà âû÷èñëèì:( )XXXp (x; ) =g(T (x); )h(x) = g(t; )h(x):x: T (x)=tx: T (x)=tx: T (x)=tÒåïåðü äëÿ x òàêîãî, ÷òî T (x) = t ïîëó÷àåì, ÷òî:P fX = x; T (X ) = tg=P fX = xjT (X ) = tg = P fT (X ) = tg; )h(x)h(x)= PPfTfX(X=) =xgtg = g(T (x)P=X:g(t; )h(y)h(x)y: T (y)=tT (x)=tåçóëüòàò íå çàâèñèò îò 2 .Åñëè æå x òàêîâî, ÷òî T (x) 6= t, òî îáñóæäàåìàÿ óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0, âíå çàâèñèìîñòè îò . Äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿP fT= tg =(3.3.1) äîêàçàíà.()) Åñëè T äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà, òî (3.3.1) âûïîëíåíî.Åñëè T äîñòàòî÷íà äëÿ 2 , òî äëÿ òàêèõ x, ÷òî T xè äëÿ âñåõ 2 :( )=tP fX = xjT (X ) = tg = h(x) óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü íå çàâèñèò îò , îáîçíà÷èì åå ÷åðåç h(x).Ïîäðîáíåå:P fX = x; T (X ) = tg= h(x):P fT (X ) = tgÏîñêîëüêó T (x) = t, òî äðîáü â ëåâîé ÷àñòè åñòü:P fX = xg:P fT (X ) = tgÎòñþäàP fX = xg = P fT (X ) = tgh(x):Îáîçíà÷èâ P fT (X ) = tg ÷åðåç g (t; ), ïîëó÷èì òî, ÷òî è òðåáîâà-ëîñü äîêàçàòü.
Çàìåòèì, ÷òî h x ýòî óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü X ïðè äàííîìT (â òî÷êå x), ëèáî h x ïðîïîðöèîíàëüíà ýòîé óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè. Àíàëîãè÷íî g t; ëèøü ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì ìîæåòîòëè÷àòüñÿ îò âåðîÿòíîñòè P fT Xtg.()()( )( )=65Ï ð è ì å ð (ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû àêòîðèçàöèè äëÿ íàõîæäåíèÿ äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè).Ëèíåéíàÿ (ãàóññîâñêàÿ) ìîäåëü âàæíûé îáúåêò èññëåäîâàíèé è ïðèëîæåíèé.
Ñíà÷àëà áóäåò äàíà åå àáñòðàêòíàÿ îðìóëèðîâêà, à çàòåì îäíà èç êîíêðåòíûõ îðì. Íàáëþäàåìûé îáúåêò âåêòîð X . Ñåé÷àñ ìû ñ÷èòàåì åãî êîíå÷íîìåðíûì (ïðèíàäëåæèòn-ìåðíîìó ïðîñòðàíñòâó), XX1 ; : : : ; Xn T âåêòîð-ñòîëáåö.Åãî êîîðäèíàòû ñ÷èòàåì íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ðàñïðåäåëåííûìè ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó, ïðè÷åì DXi 2 ,i; n. Çíà÷åíèå 2 íå èçâåñòíî.
Îòíîñèòåëüíî EX ïðåäïîëîæèì, ÷òî EX , áóäó÷è íåèçâåñòíûì, ïðèíàäëåæèò çàäàííîìó ëèíåéíîìó ïîäïðîñòðàíñòâó L, L Rn . Åñëè îáîçíà÷èòü EXl,E X EX X EX T D X 2 I (I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà),òî X N l; 2 I , ïðè÷åì l 2 L, L çàäàíî.Ïîêàæåì, ÷òî äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé äëÿ (ñîñòàâíîãî) ïàðàìåòðà l; 2 , ïðè÷åì l 2 L, ñëóæèò ïàðà projLX; jprojL? X j2 .Çäåñü ÷åðåç projM îáîçíà÷åí îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ (â åâêëèäîâîé ìåòðèêå) íà ïîäïðîñòðàíñòâî M Rn ; L? îáîçíà÷àåò îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå L äî Rn , ò.å.
RnL L?. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî óêàçàòü ïðàâäîïîäîáèå l; 2 è çàòåì åãîïðåîáðàçîâàòü:=()==1()((=())) ===(=)()nn nnno oXexp 21 2 (Xi li)2 = p12 exp 21 2 jX lj2 =i=1nno= p12 exp 21 2 j(projLX l) + projL X j2 :1p (X; )= p 2?Ïî òåîðåìå Ïèàãîðà:j(projL X l) + projL X j2 = jprojL X lj2 + jprojL X j2 ;èáî (projL X l) ? projL X , ò.ê. l 2 L. Ïîýòîìó ïðàâäîïîäîáèå??(l; 2) ðàâíînn11 jproj X lj2o exp n 1 jproj X j2jo:pexp22 L22 L 2??Ìû âèäèì, ÷òî ïðàâäîïîäîáèå çàâèñèò îò ñòàòèñòèê projL X èjprojL? X j, íî íå îò X íåïîñðåäñòâåííî.
Ýòà ïàðà è ñîñòàâëÿåò äîñòàòî÷íóþ ñòàòèñòèêó. (Çàìåòèì, ÷òî óíêöèÿ h X çäåñü ðàâíà 1,( )66òî÷íåå ïîñòîÿííà ïî îòíîøåíèþ ê X . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X ïðè èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè äîñòàòî÷íîéñòàòèñòèêè ðàâíîìåðíîå). 4. Ëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿëèíåéíîé ðåãðåññèèÇàäà÷à îäíà èç ÷àñòíûõ îðì çàäà÷è ëèíåéíîé ìîäåëè.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ýòî çàäà÷à î ïîäáîðå óíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî ïîäáîðå ïî íåòî÷íûì íàáëþäåíèÿì (èçìåðåíèÿì).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
