Лекция 14 (1124315)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

60

Лекция 14(2 декабря 2002 года).

Задача. Доказать, что дробь конечна функция рациональна.

Решение. - очевидно.

В дальнейшем для определённости будем рассматривать только бесконечные дроби.

Пример. Рассмотрим это функция обратная к функции Жуковского, она именно та, которая конформно отображает плоскость с разрезом на единичный круг. Выделим: - ветвь корня. Применим алгоритм Евклида (домножаем на сопряжённое): по индукции получим следующую дробь: . Будет ли эта дробь сходиться к Будет, причём в любой области определения. Пусть конечная положительная борелевская мера с компактным носителем на вещественной оси .

О

бозначим: носитель меры. наименьший отрезок, содержащий носитель. рассмотрим интеграл типа Коши. область определения этой функции. - мы будем рассматривать более узкую область – в ней функция голоморфна.

Разложим функцию в ряд Лорана в области

, степенные моменты меры.

. Этот ряд будет раскладываться на непрерывные дроби.

Введём ограничения: если рациональна. В дальнейшем считаем, что носитель меры бесконечное множество. И условие нормировки.

функция Марковсого типа.

Теорема (Маркова). Если функция Марковского типа, то её непрерывная дробь сходится к равномерно внутри области .

Сначала рассмотрим некоторые факты об этих дробях. где переменные.

Обозначим: где многочлены от переменных

Утверждение. Числители и знаменатели подходящих дробей удовлетворяют следующим рекурентным соотношениям: и удовлетворяет следующим начальным условиям:

Доказательство. Начальные условия проверяются непосредственно . Рассмотрим ДЛО: тогда по определению подходящей дроби, она есть композиция:

Мы знаем, что матричные реализации ДЛО: и композиции ДЛО соответствует перемножение матриц, т.е. таким образом теперь: или так: и подставляя 1ое уравнение во второе:

Понятие формальной сходимости.

Рассмотрим поле формальных степенных рядов с комплексными коэффициентами: . Как устороен элемент этого поля: где Оказывается, что это поле нормированное, точнее: она не архимедова т.е. . Формальная сходимость – это сходимость по этой норме.

Определение. Т.е. это покоэффициентная сходимость.

Замечание. - пополнение поля .

Задача. 1) Любая Р-дробь сходится (сходится в смысле формальных степенных рядов).

2) сходится к

3) Если Р-дробь сходится к .

Таким образом, утверждения означают, что отображение взаимно однозначное. А обратное отображение реализуется сходимостью дроби.

2⁰. Аппроксимация Паде и ортогональные многочлены.

Рассмотрим ряд произвольный. Зафиксируем и рассмотрим Р-задачу: будем искать многочлен со свойствами: 1) 2) 3) для некоторого многочлена ряд начинается со степени

Замечание. Решение этой задачи существует, т.к. система линейных уравнений однородна относительно неизвестных коэффициентов многочлена .

Замечание (о единственности). С точностью до нормировки такой единственности нет (возьмём ).

Но при этом:

Задача. Отношение многочленов определяет единственную рациональную дробь, заметим, что - многочлен 2 рода, а ряд называется функцией 2 рода.

Определение. Дробь называется аппроксимацией Паде ряда

Замечание. Если для любого решения Р-задачи, многочлен то нормалбный индекс и единственно (с точностью до нормировки).

Утверждение. Если функция Марковского типа, то многочлен удовлетворяет следующим соотношениям ортогональности: называется ортогональным многочленом.

Доказательство. Посчитаем этот интеграл применяя основную

теорему о вычетах к области вне круга (окружность проводим так, чтобы было внутри): - т.к. отсутствует . С другой стороны: как интеграл по замкнутому контуру ИТК. Изменим порядок интегрирования по теореме Фубини интеграл Коши (формула Коши для Круга)

Утверждение. Если ортогональный многочлен, то имеет простых нулей внутри отрезка .

Доказательство. Обозначим все различные точки внутри отрезка , в которых многочлен меняет знак (нули нечётной кратности). Хотим доказать, что . От противного. Пусть . Рассмотрим следующий многочлен: , если то . на (не меняет знак). Она равняется 0 в конечном числе точек. Она > 0 на множестве положительной меры

В силу соотношения ортогональности: противоречие.

Следствие. Если то все индексы нормальны. (с точностью до нормировки). Для определённости - старший коэффициент = 1.

Свойства таких многочленов:

Утверждение. Ортогональные многочлены удовлетворяют рекуррентному соотношению: где . При этом выполняются начальные условия: При этом некоторые коэффициенты.

Доказательство. Возьмём - разложили по базису. Это ортогональная система в . Коэффициенты вычисляются по формулам Фурье: . Пусть Остались 3 слагаемых: Почему? Воспользуемся той же формулой: многочлен степени со старшим коэффициентом 1, т.е. , заменяем его на .

!!!

Утверждение. Многочлены 2ого рода удовлетворяют такому же рекурсивному соотношению: , при этом выполняютя начальные условия

Доказательство. . Рассмотрим:

Вывод (следствие). Аппроксимация Паде суть подходящие дроби для непрерывной дроби: Таким образом сходимость дроби к функции можно заменить на сходимость аппроксимации к функции.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций