Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4

Лекция 1(2 сентября 2002 года)

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1⁰ Определение. Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел, для которых выполнены действия: 1) (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

2) (x₁, y₁) (x₂, y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁)

Утверждение. Множество комплексных чисел образует поле.

Задача. Проверить, что: Q, R, C, Q( ), A – алгебраические числа, Z_p, Q_p, K(z) – (рациональные функции от z над полем) образуют поле.

Задача. Какие из них алгебраически замкнуты?

Задача. Рассмотрим a + bw, т.ч. w² = c + dw, где a, b, c, d . Для каких с и d получится поле, и сколько таких полей может быть определено?

2⁰ Алгебраическая форма записи КЧ (комплексных чисел):

Введём число: (х,0) = х ; отождествим (0,1) = i ; => (x,y) = x+iy.

Докажем, что i² = -1: (0,1)(0,1) = (0 - 1,0 + 0) = (-1,0);

Пусть , тогда x = Re(z) – действительная часть, y = Im(z) – мнимая часть, - сопряжённое к z.

Теорема. (Гаусс) Поле комплексных чисел (C) алгебраически замкнуто. ( многочлен имеет хотя бы 1 комплексный корень).

Пример: R алгебраически не замкнуто. (х²+1)

3⁰ Геометрическое изображение КЧ:

Поставим в соответствие числу точку или вектор (x,y)

Геометрический смысл сопряжения: симметрия относительно оси 0х.

Сложение (или вычитание) комплексных чисел – это сложение (или вычитание) соответствующих векторов.

-скалярное произведение 2^ух векторов.

- ориентированная площадь параллелограмма.

4⁰ Модуль и аргумент КЧ:

Определение. Модулем и аргументом КЧ называются полярные координаты соответствующего вектора. -длина вектора, - угол между осью 0х и вектором. -π ≤Argz≤π

Свойства комплексного сопряжения:

1)

2)

3)

4)

5) (Это свойство выводится из 4) )С - нормированное поле.

Задача. Какие есть другие нормированные поля?

Следствие. Произведение суммы 2^х квадратов на сумму 2^х квадратов – тоже сумма 2^х квадратов.

Доказательство.

Упражнение. Для каких n сумма n квадратов – тоже сумма n квадратов

Примеры: 1) - окружность, 2) - срединный перпендикуляр

3) -эллипс с фокусами z₁ и z₂.

5⁰ Тригонометрическая форма записи КЧ:

Утверждение. При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство.

Следствие 1. Геометрический смысл - это растяжение в раз, поворот на .

Следствие 2. Геометрический смысл - угол:

Следствие 3. Формула Муавра:

Определение.

Утверждение. ровно n различных корней этого числа. И ,

к = 0 … n - 1.

Пример: т.е.

Задачи:1) x⁴+1 2) 3)

ТОПОЛОГИЯ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

1⁰ Последовательности и ряды КЧ:

На плоскости определена стандартная евклидова метрика.

Задача. Определить множество предельных точек для 1) 2) 3) 4) Доказать теорему Абеля 5)Исследовать на сходимость ряд: .

Теорема(Абеля).Если 1)

2)

3) - сходится.

2⁰ Предел и непрерывные функции комплексных переменных:

Рассмотрим функции

Примеры: 1) Многочлены ,

2) - периодическая функция с .

Формулы Эйлера: по определению.

Определение.

z = 0 => решений нет, т.к.

Определим функцию

3 подхода: 1.) Многозначные функции

берём и ему ставим в соответствие множество всех чисел

2.) Непрерывная ветвь

fix некоторую область в :

для выбираем значения, чтобы функция была непрерывной:

2 ветви отличаются на 2 -е ветви зависит от области D.

Пример: 1) нужно выделить непрерывную ветвь аргумента.

2) 3) Нельзя выделить непрерывную ветвь 4) для нельзя

3.) Римановы поверхности

Хотим: область определения всё и функция однозначно определена. Нужно изменить область определения и вместо плоскости рассмотреть новое топологическое пространство. Рассмотрим счётное множество областей :

плоскости с разрезами от . Добавим новые точки на верхнем и нижнем берегу.

Отождествим верхнюю точку на с нижней на . Окрестность точки круг(на рис.). Получим гладкое многообразие накрытие комплексной плоскости, локально не отличающуюся от С.

На новой плоскости определим . определена и непрерывна. на они равны. - непрерывно.

Определение. т.е. всё сводится к определению .

Упражнение. найти все значения.

Решение:

3⁰ Кривые и области на плоскости:

Определение. Кривая на плоскости – любое непрерывное отображение: . Кривая без пересечения - Жорданова кривая. Область – непустое, открытое, связное множество. Связное множество Е – множество, которое нельзя разбить в сумму 2^х непустых непересекающихся одновременно открытых и замкнутых относительно Е подмножеств. Множество Е линейно связное, если любые его 2 точки можно соединить кривой в Е.

Линейно связное множество связное множество.

Пример(Шварца): , к графику добавим отрезок [-1,1] на оси 0у => Связное множество, но не линейно связное.

Упражнение. Доказать.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций