Лекция 6 (1124307)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

26

Лекция 6(7 октября 2002 года).

Теорема (Мореры). Если 1) f непрерывна в D

2) в D, то f – голоморфна в D (обратное тоже верно).

Доказательство: Голоморфна в области – достаточно доказать голоморфность в круге или любой односвязной области. Будем считать, что D – односвязная область, тогда из свойств 1) и 2) следует, что для любой замкнутой спрямляемой кривой (см. доказательство ИТК). имеет первообразную Ф в области D (см. теорему о существовании первообразной + замечания к ней), тогда голоморфна – необходимое условие существования первообразной.

ПРИНЦИПЫ МАКСИМУМА МОДУЛЯ

1⁰. Теорема о среднем.

Теорема. Если функция голоморфна в круге , то её значение в центре круга = среднему арифметическому её значений на границе, т.е. где - окружность.

Доказательство. Напишем формулу Коши: параметрический вид окружности: тогда

2⁰. Принципы максимального модуля.

Теорема. Если 1) f – голоморфна в D

2) достигает мах в D, то

Доказательство. 2 случая: 1. m = 0, тогда f = 0,

2. m > 0. Рассмотрим множество Е: .

Свойства Е: 1) Во-первых, оно не пусто:

2) Во-вторых, Е замкнуто относительно D (следует из того, что непрерывна относительно D).

3) В-третьих, Е – открытое.

Д

окажем свойство 3): Пусть тогда Докажем: открытое. Некоторое . Доказать, что каждая такая предположим обратное, т.е.

на и на . Напишем теорему о среднем:

противоречие, таким образом,

предположение (1) неверное. открытое.

Т.к. D – связанное и из 1),2),3)

Далее рассмотрим:

Свойства : 1) Оно не пусто:

2) замкнуто относительно D (непрерывность f).

3) – открытое.

Докажем 3) свойство. Возьмём , где Ln –непрерывная ветвь логарифма, а . (композиция голоморфна). поэтому Тогда из условия Коши-Римана следует в круге в круге открытое. Аналогично, таким образом, в D.

Следствие. Если 1) D – ограниченная область с границей Г.

2) f - а) голоморфна в D б) непрерывна в D, тогда

Т.е. здесь сказано, что мах достигается на границе.

Вопрос: Справедлив ли принцип минимального модуля?

Ответ: а) Вообще говоря – нет.

б) если то – да.

Т.к. если функция имеет нули, то в нулях – минимум следовательно а) доказано, а если функция не имеет нулей, то можно рассмотреть функцию , а для неё работает теорема о принципе мах модуля.

3⁰. Лемма Шварца.

Теорема (об устранимой особенности). Если 1) Функция f – непрерывна в некоторой окрестности точки z₀, т.е. в круге .

2) Функция f – голоморфна в То функция f – голоморфна в .

Доказательство. Пусть замкнутый , лежащий в . Рассмотрим случаи:

1. (по ИТК)=0 2. проведём дугу окружности радиуса 3.

2.

3. Сводится ко 2-му разбиением на 2 части. Далее f –непрерывна в U и в U. Следовательно по теореме Мореры f – голоморфна в U.

Лемма Шварца. Если 1) f – голоморфна в 2) 3)

То 1) выполняются неравенства: а) б)

2) Если в неравенстве а) достигается равенство хотя бы в одной точке отличной от 0, имеем: в неравенстве б) достигается равенство, то

Доказательство. Определим функцию . Очевидно голоморфна в . непрерывна в D. Тогда голоморфна в D по теореме об устранимой особенности. Зафиксируем , проведём окружность Применим принцип мах модуля: . Мы доказали неравенства а) и б). Теперь пусть выполняется посылка 2) утверждения, достигает мах в D, по принципу мах модуля

Следствие. конформно, следовательно ДЛО.

Д

оказательство. берём такое отображение. Тогда так можно сделать. Тогда без ограничения общности считаем, что Тогда к w можно применить лемму Шварца к обратному (и к прямому тоже ), отображению А тогда и снова применим лемму Шварца, получим , а это ДЛО.

ФОРМУЛА СОХОЦКОГО

1⁰. Постановка задачи.

Пусть Г – простая спрямляемая кривая, f – функция непрерывная на Г. (интеграл типа Коши). Зафиксируем точку на Г. Пусть она отлична от концов кривой.

Определение. Точка называется правильной точкой кривой Г, если в этой точке существует касательная к кривой.

Считаем далее, что - правильная. простая дуга (без самопересечений). Кривая разбивает U на 2 области: U+ лежит слева от кривой и U^- справа. Обозначим: ограничения.

Задача. Вычислить граничные значения.

Определение. не касательным способом, если и сектору с углом < 180⁰.

(z) докажем существование этих пределов и вычислим их.

Определение. Пусть число Будем говорить, что f удовлетворяет условию Гёльдера с показателем в точке , если выполняется неравенство: некотороя окрестность.

Замечание. На протяжении всего параграфа полагаем, что f удовлетворяет условию Гёльдера.

2⁰. Главное значение интеграла.

Обозначим главное значение по Коши: , если этот предел существует.

Лемма1. Пусть Г – замкнутая кривая, тогда главное значение интеграла существует и вычисляется по формуле: причём интеграл справа сходится абсолютно.

Д

оказательство. . Таким образом надо доказать, что (*) сходится следовательно абсолютная сходимость. Т.е. т.е. сходится.

т.к. угол между касательными в пределе.

3⁰. Формулы Сохоцкого.

Теорема.

Лемма2. .

Доказательство. Напишем разность этих интегралов: .

Т.е. надо доказать, что сходится равномерно по z, за счёт выбора r , 2 интеграл можно сделать сколь угодно малым. , берём

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций