Лекция 9 (1124310)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

39

Лекция 9(28 октября 2002 года).

РЯД ЛОРАНА

1⁰. Область сходимости ряда Лорана.

Определение. Ряд (L) – сходится сходится каждый из рядов (P) и (Q).

Найдём области сходимости рядов (P) и (Q).

(P) – степенной ряд. Его область сходимости некоторый круг с радиусом (по формуле Коши-Адамара): . Теперь для ряда (Q). Сделаем замену переменных: степенной ряд Его область сходимости некоторый круг: по формуле Коши-Адамара. Тем самым область сходимости ряда (Q)

а) Если область сходимости ряда (L) .

б) Если область сходимости ряда (L) – кольцо

Определение. Ряд (L) с непустой областью сходимости называется рядом Лорана.

Утверждение. 1) Ряд Лорана сходится равномерно внутри К (кольца сходимости).

2) Сумма ряда Лорана – функция, голоморфная в кольце сходимости (т.е. в ряд Лорана можно разложить только голоморфные функции).

3) Разложение функции, голоморфной в некотором кольце в ряд Лорана, единственно.

Доказательство. Пусть

Р

яд сходится равномерно на , по 1 теореме Вейерштрасса его сумма - голоморфна. Равномерно сходящийся ряд можно интегрировать почленно. Проведём окружность радиуса в кольце. Т.е. мы явно вычислили коэффициент доказали единственность.

2⁰. Разложение голоморфной функции в ряд Лорана.

Теорема. Если функция голоморфна в то её можно разложить в этом кольце в ряд Лорана.

Д

оказательство. Зафиксируем точку И проведём 2 окружности (меньшую обозначим (радиуса ); большую (радиуса )). по построению. Пусть точка Рассмотрим ядро Коши: Оценим равномерную сходимость: оценка не зависит от и меньше 1, следовательно

ряд сходится равномерно по (по признаку сравнения), следовательно его можно

интегрировать почленно:

.

Пусть . Рассмотрим ядро Коши: Оценим члены этого ряда: аналогично ряд сходится равномерно по интегрируем почленно: . Из (1) вычтем (2): по формуле Коши.

ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ

1⁰. Классификация изолированных особых точек.

Определение. Если функция голоморфна в некоторой проколотой окрестности точки то изолированная особая точка однозначного характера функции .

Замечание. Существуют и другие типы особых точек.

Пример. 1) изолированная особая точка многозначного характера, а именно: точка ветвления 2ого порядка.

2) неизолированная особая точка (у этой функции есть другие особые точки: и они сходятся к нулю при )

Классификация изолированных особых точек:

Определение. Пусть голоморфна в (проколотая окрестность точки ), тогда:

1. Если конечный предел: то называется устранимой особой точкой функции .

2. Если предел: то называется полюсом функции .

3. Если не : то называется существенной особой точкой функции .

Пример.

2⁰. Ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.

голоморфна в - пример кольца с радиусом По теореме:

(L) – ряд Лорана в .

Определение. Ряд (Р) называется правильной частью ряда Лорана. Ряд (Q) называется главной частью ряда Лорана.

Рассмотрим голоморфна в - частный случай кольца с радиусом По теореме (L) – ряд Лорана в . (Р) – правильная часть ряда Лорана (состоит из слагаемых, ограниченных при ). (Q) – главная часть ряда Лорана (состоит из слагаемых, неограниченных при ).

Пример. 1) Указать главную, правильную части в окрестности точки Тогда всё это – правильная часть. А главная часть . Если рассматривать в окрестности точки то а .

Теорема. Пусть (конечна) пусть голоморфна в . Пусть - главная часть ряда Лорана в . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) устранимая особая точка функции все коэффициенты нулевые.

2) полюс функции содержит конечное ненулевое число отличных от нуля слагаемых.

3) существенная особая точка функции содержит много ненулевых слагаемых.

Доказательство. Докажем 1): Напишем ряд Лорана в точке . степенной ряд, сходящийся в окрестности точки к функции - голоморфной в этой окрестности (в частности непрерывной). Тогда

Дано устранимая особая точка . Доопределим функцию в точке по непрерывности, тогда 1. функция - голоморфна в 2. функция - непрерывна в по теореме об устранимой особенности функция - голоморфна в (если функция голоморфна в круге, то она раскладывается в степенной ряд), то а (из единственности разложения в ряд Лорана).

Докажем 2): Дано . Мы считаем , и голоморфна в точке и

предел: рассмотрим функцию Т.к. предел = бесконечности, то в некоторой окрестности Таким образом, голоморфна в некоторой проколотой окрестности точки .

Чему равен: таким образом - устранимая особая точка. Доопределив её по непрерывности, получаем функцию голоморфную в некоторой окрестности точки , разложим её в ряд Тейлора, тогда

Определение. Номер р называется порядком нуля для функции .

Теперь: голоморфная в точке и Вернёмся к функции * - голоморфна в некоторой окрестности точки можем разложить в степенной ряд. Получим: а это ряд Лорана, где Q содержит конечное число слагаемых.

Утверждение 3) – следствие из 1) и 2) (исключением этих случаев).

3⁰. Поведение функции в окрестности устранимой особой точки.

Теорема. Если: 1) голоморфна в .

2) ограничена в . То устранимая особая точка.

Доказательство. Напишем ряд Лорана: . Исследуем главную часть: - замена переменных, тогда сходится в С (это ряд Лорана, т.к. 1/r – радиус сходимости). Таким образом голоморфна в С. Далее ограничена в и ограничена в ограничена в некоторой окрестности ограничена в , тогда g ограничена в С. Тогда по теореме Лиувилля все коэффициенты равны 0, тогда т.е. это устранимая особая точка.

4⁰. Поведение функции в окрестности существенной особой точки.

Теорема (Сохоцкого). Если - существенная особая точка то при есть расширенная комплексная плоскость.

Доказательство. Т.е. надо доказать, что для последовательность , т.ч.

а) Частный случай . Предположим противное, тогда голоморфна и ограничена в , тогда по теореме (3⁰) устранимая особая точка. противоречие.

б) Общий случай 1) либо , т.ч.

2) либо в некоторой проколотой окрестности точки . голоморфная в и - существенная особая точка для g. f и g связаны ДЛО, тогда т.ч. (см. Пункт а) ) что равносильно тому, что

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций