Лекция 15 (1124316)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

64

Лекция 15(9 декабря 2002 года).

Напишем разложение функции в сумму простейших дробей: нули многочлена а - называются коэффициентами Кристоффеля.

Утверждение. Для любого многочлена степени выполняется квадратурная формула Гаусса-Якоби: наименьший отрезок, содержащий носитель меры.

Доказательство. Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности : (к каждому члену применили формулу геометрической прогрессии), но первые коэффициенты ряда Лорана совпадают с заданными коэффициентами, т.е. для всех

Следствие. Справедливы следующие утверждения: 1)

2)

Доказательство. 1) Применим квадратурную формулу к многочлену

2) Возьмём можно применить квадратурную формулу. В одной части равенства положительные числа, в другой – только к-тое слагаемое: , остальные = 0, но

3⁰. Доказательство теоремы Маркова.

Теорема (Маркова). Если функция Марковского типа, то её непрерывная дробь сходится к равномерно внутри области .

Доказательство. Рассмотрим последовательность функций . Они все голоморфные в области D, где - плоскость с разрезом. В частности, в бесконечности функции тоже голоморфны.

Докажем, что внутри область D. равномерно ограниченная последовательность. Зафиксируем компакт Обозначим:

Оценим: если то таким образом, получили равномерную оценку.

Тогда применим теорему Монтеля - предкомпактная. Следовательно она имеет предельные точки. Обозначим: предельные точки . Тогда по некоторой подпоследовательности, голоморфна в области D по 1 теореме Вейеерштрасса. Тогда - Лорановсий коэффициент для функции . для некоторой подпоследовательности . Но, по построению, , значит ряды совпадают: т.е. в окрестности (там, где ряды сходятся). Но всюду в области D, тогда по теореме единственности, мы доказали, что единственная предельная точка последовательности , а тогда (из матана).

У

становим скорость сходимости. Обозначим функцию обратную к функции Жуковского, а именно: т.е. область с разрезом в единичный круг. Причём , , называется логарифмической ёмкостью. В частности, когда . Если отрезок другой, то надо сделать замену переменной. Обозначим - линия уровня этой функции. эллипс с фокусами в концах отрезка.

Утверждение. оценка скорости сходимости.

Доказательство. Рассмотрим функцию Она голоморфна в области D. Знаменатель в 0 нигде не обращается, кроме . В ней в числителе 0 порядка , в знаменателе – ноль порядка ноль 1ого порядка устранимая особая точка.

З

афиксируем эллипс и проведём ещё один с Воспользуемся принципом максимума модуля:

эквивалентно:

Применим этот принцип к заштрихованной области (мах модуля достигается на границе).

При доказательстве теоремы Маркова, мы доказали: , но т.к. если Тогда имеет вид: Теперь извлечём из обеих частей неравенства и к . , т.е. как предел от const. Т.к. то .

4⁰. Задачи.

1) пусть , мы разложили в непрерывную дробь, остаётся вопрос о сходимости, т.е. (сходимость будет следовать из того, что функция Марковского типа). Доказать, что функция Марковского типа.

2) Рассмотрим Разложить функцию в непрерывную дробь и доказать сходимость дроби.

3) -\\- для

4) -\\- для

Решения. 1) Проведём - любую простейшую жорданову спрямляемую кривую, т.ч. лежит вне.

. Теперь стягиваем контур к отрезку: граничное значение функции на верхнем берегу отрезка. Здесь мнимая часть, т.е. вещественной – нет, «-2» сократилась.

2) голоморфна в окрестности точки А теорема Маркова для функции в точке

сделаем замену переменной голоморфна в окрестности точки . Докажем, что функция Марковского типа. Напишем ряд Лорана в окрестности точки . таким образом, коэффициент при , если n – чётное, то , если n – нечётное, то , тогда это и есть мера . Для функции сходимость дроби вне отрезка . А для в единичном круге . , Дроби такого вида называются Р-дробями. Тогда (другая нормировка и замена). Дроби такого вида называются С-дробями. Как посчитать эти коэффициенты?

многочлены Лежандра. Для них справедлива формула Родрига: - стандартная нормировка получим коэффициенты рекуррентных соотношений коэффициенты. Подставляем в интегральную формулу и интегрируем по частям (её легко проверить). Теперь: Посчитаем: старший коэффициент многочлена, и число , в 2n! – уничтожается чётная часть. .

А тогда само рекуррентное соотношение имеет вид: Мы знаем, что , из уравнения старших коэффициентов: см. доказательство этой формулы.

числа а и в – произведение

3) сходимость будет в плоскости с вертикальными разрезоми:

(замена переменной).

4) Рассмотрим степенные ряды вида: где - символ Похгоммера, вырожденные параметрические функции, сходится, . Докажем тождество: Проверим его: При - коэффициенты слева и справа: Левая часть: А справа: они равны. Напишем непрерывную дробь: тогда можно применить метод индукции непрерывная дробь, итак, - это непрерывная дробь Ламберта.

Подставим , тогда:

(аналогично), тогда если сделать замену переменной: то получим: , а у обычного «-», т.к. Сходимость следует из теоремы.

Теорема (Эйлера): (начало: 1, 1, 2n ).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций