Лекция 12 (1124313)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

52

Лекция 12(18 ноября 2002 года).

Теорема (об аналитическом продолжении). Дзета-функция аналитически продолжается на всю комплексную плоскость за исключением точки 1, которая является её простым полюсом с вычетом, равным единице.

Д

оказательство. Изначально функция определена только на полуплоскости. На комплексной плоскости (С – комплексная плоскость, а за переменную взята t)возьмём контур , изображённый на рисунке (неограниченно приближаемся в «+ » к вещественной оси). .

Интеграл сходится для . Знаменатель в ноль не обращается, непрерывная

функция экспоненциально убывает на + . Более того, равномерно сходящаяся на

компакте по 1ой теореме Вейерштрасса голоморфна в С.

Пусть (Стягиваем контур к разрезу от 0 до ). Интегрируем по верхнему берегу от 0 до , а обратно – по нижнему: , т.к. на нижнем берегу . Выразим отсюда - функцию: - это функция голоморфная во всей . Теперь надо исследовать все целые (особые) точки, если можно устранить – доопределить голоморфна во всей плоскости, кроме полюсов и существенных особых точек.

Сначала рассмотрим - устранимые особые точки (в них ряд сходится). Теперь:

У

тверждается, что эти точки тоже устранимые. Почему? имеет полюс 1ого порядка в этих точках. имеет 0 1ого порядка в этих точках предел знаменателя и устранимые особые точки. Осталось: В ней: - первый член ряда Тейлора. Числитель = 0 устранимая особая точка, если числитель полюс.

Замечание. Контур можно заменить на окружность с разрезом

Вычислим: - это первый член ряда Лорана, таким образом, здесь имеем полюс 1ого порядка – это единственная особая точка для , причем вычет в ней равен 1.

Задачи. 1) Нарисовать график

2)* Задача Чебышева – возьмём наугад m натуральных чисел. С какой вероятностью они взаимо-просты:

ПРИНЦИП КОМПАКТНОСТИ

1⁰. Теорема Монтеля.

Пусть область в С.

Определение. Семейство называется предкомпактным, если из любой последовательности функций этого семейства можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции равномерно внутри области D.

Замечание. Говорят, что - компактно, если оно 1) предкомпактное

2) замкнуто относительно этой сходимости.

Определение. равномерно ограничено внутри области D, если .

Утверждение. Если семейство предкомпактное, то оно равномерно ограничено внутри D.

Нас интересует пространство функций, голоморфных в области D. Оказывается необходимое условие (смотри утверждение) является и достаточным

Теорема (Монтеля). Если 1)

2) равномерно ограничено внутри области D, то - предкомпактное.

Д

оказательство. 1) Докажем теорему для круга. Пусть произвольный круг. Пусть голоморфны в . Пусть равномерно ограничены в замкнутом круге. Надо доказать, что существует сходящаяся подпоследовательность. Напишем ряды Тейлора: ряды сходятся в . Напишем неравенство Коши: Рассмотрим числовую последовательность: она ограничена сходящаяся подпоследовательность: . Далее рассмотрим: и т.д. до (аналогично).

Обозначим последовательность, полученная диагональным методом Кантора.

По построению: Перейдём к пределу в неравенстве

Коши: . Напишем степенной ряд: где этот ряд расходится? По формуле Коши-Адамара: в открытом круге и сходится. Сумма ряда – голоморфна в . Будем доказывать, что равномерно внутри . Зафиксируем Будем считать, что . Возьмём найдём т.к. остаток сходящегося ряда сходится к 0. Теперь: ,т.к. конечное число ограниченных слагаемых, то . Итого: . Т.е. для круга теорему доказали. Докажем для компакта.

2) Дано: голоморфны в области D. равномерно ограничены внутри D. Возьмём: Покроем компакт К, так чтобы: (Выбираем конечное подпокрытие). Применим утверждение, доказанное в пункте 1. Утверждается, что - сходится равномерно внутри

- сходится равномерно внутри и т.д. за конечное число шагов получим: - сходится равномерно внутри сходится равномерно внутри сходится равномерно на К. – это вспомогательное условие.

3) Построим исчерпание области D. Обозначим Тогда компакты (может быть и ).

Свойства 1) - монотонное возрастание. 2) Любая последовательность компактов с этими 2 свойствами называется исчерпанием области D.

Далее: сходится равномерно на . Доказано в 2).

- сходится равномерно на . И т.д.

Теперь обозначим - подпоследовательность, полученную диагональным методом Кантора. Тогда сходится равномерно на . Однако из свойства 2) т.ч. сходимость равномерная на , где К – любое.

2⁰. Теорема Витали.

Теорема. Если 1) функция голоморфная в области D.

2) равномерно ограничены внутри D.

3) имеет в D хотя бы 1 предельную точку.

4) сходятся на е, то сходятся равномерно внутри D.

Доказательство. По теореме Монтеля предкомпактная она имеет предельные точки. Пусть f и g – две предельные точки для , это означает, что - равномерная сходимость внутри D. По 1ой теореме Вейерштрасса f и g – голоморфные в D. Из условия теоремы: на множестве е. е имеет хотя бы одну предельную точку (см. условие 3)). Тогда по теореме единственности для голоморфной функции всюду в D. Мы доказали, что предельная точка единственна, а мы знаем, что предкомпактная последовательность сходится она имеет предельную точку.

ТЕОРЕМА РУНГЕ И ТЕОРЕМА МЕРГЕЛЯНА

1⁰. Теорема Рунге.

Теорема. Если 1) D – односвязная область.

2) голоморфна в области D, то последовательность многочленов , которая сходится к равномерно внутри области D.

Доказательство. А) Нанесём на плоскость сетку квадратов со сторонами :

Пусть q – квадраты, обладающие следующими свойствами: 1)

2) Квадрат q и все 8 соседних с ним квадратов . Обозначим

замыкание области .

1) 2) исчерпание. Области обладают следующими свойствами: а) - объединение конечного числа односвязных областей. б) объединение конечного числа простых замкнутых(?) спрямляемых кривых, т.е. ломаных.

Б) Напишем формулу Коши: (в этом равенстве и формула Коши и теорема Коши, т.к. интервалы(?интегралы) в некоторых областях = 0).

Теперь: взяли любое разбиение кривой, записали интегральную сумму. Зафиксировали последовательность интегральных сумм, любых, лишь бы параметр разбиения . Тогда (по теореме существования интегралов для непрерывной(?голоморфной) функции), но сходимость поточечная, а мы хотим доказать, что она равномерная. Возьмём . Оценим: оценка не зависит от выбора интегральной суммы и от выбора . равномерная оценка. Тогда по теореме Витали равномерно внутри , в частности, равномерно на . Это всё было для фиксированного n. Теперь возьмём последовательность положительных чисел Т.е. И для каждого n: обозначение. Заметим, что - рациональные функции. Теперь надо переходить к полиному. Мы научились приближать рациональные функции.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций