Лекция 2 (1124303)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

9

Лекция 2(9 сентября 2002 года).

Теорема. Область – линейно связанное множество.

Д

оказательство: Пусть есть область D. Должны доказать, что любые 2 точки можно связать кривой. Fix 1 точку . Идея: любые точки можно связать с фиксированной.

Обозначим (т.е. можно связать с z₀).

Свойства Е:

1. Не пустое, т.к. .

2. Оно открытое.

Доказательство. Take окрестность точки . Take окрестности, и

д

оказываем, что её тоже можно соединить с z₀.

1. Е – замкнуто(относительно D) или D\E – открыто.

Доказательство: аналогично.

Из этих свойств следует, что E = D. Иначе - если это не пусто, то

противоречие с определением связности множества.

Теорема (Жордана). замкнутая жорданова кривая разбивает плоскость на

2 непересекающиеся области, границей каждой из которых она является.

(Без доказательства).

СФЕРА РИМАНА.

1⁰. Стереографическая проекция.

Имеем сферу S с диаметром 1. Она касается некоторой плоскости . Точка касания 0. Диаметрально противоположная точка – Р. Возьмём на сфере любую точку М. Через точки Р и М проведём прямую, которая в точке М’. Это стереографическая проекция сферы на плоскость. Так отображение взаимно однозначное. Есть обратное отображение. Получим координатные формулы для стереографической проекции.

- коэффициент подобия. КМ – обозначим за . , (ОМР – прямой угол, среднее геометрическое, r = OM’). , следовательно окончательные формулы и формулы для обратного отображения:

Теорема1 (Свойство конформности для стереографических проекции). Стереографическая проекция сохраняет углы между кривыми.

Доказательство: На сфере проведём 2 гладкие кривые. Рассмотрим на образы этих кривых и докажем что углы равны (Геометрическое доказательство). Через М проводим 2 касательные к кривым. Через точку Р и проведём плоскость. Она пересечёт по . Аналогично и для получим . Проведём - касательную плоскость к сфере в точке Р. . Рассмотрим - две касательные. - аналогично. - общая сторона. треугольники равны (по 3^ему признаку ). . Но (углы с параллельными сторонами) ч.т.д.

Теорема2 (Круговое свойство). Стереографическая проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между окружностями на сфере и окружностями на плоскости (прямую на плоскости называем здесь окружностью).

Доказательство: (Координатное). Окружность на сфере – линия пересечения с некоторой плоскостью, т.е. - общее уравнение окружности на сфере. . Домножаем на : - общее уравнение окружности на плоскости, если ,то прямая.

2⁰. Расширенная комплексная плоскость.

Пусть Х – любое топологическое пространство. Добавим к Х т.е. Окрестностями называется дополнение к компакту, т.е. - компакт по определению. Возьмём плоскость С. - расширенная комплексная плоскость. База окрестностей для : , тогда - компакт по построению. Пусть - стереографическая проекция. Т.е. - это гомоморфизм (непрерывное, взаимно однозначное соответствие). - гладкое многообразие (двумерное). Какое именно? Сфера по определению. Сфера Римана – другое название расширенной комплексной плоскости.

Замечание. Любая рациональная функция непрерывно отображает в т.е. .

Пример: , доопределим её: Тогда она будет непрерывной.

Определение. Сферическим расстоянием между 2 точками на плоскости называется расстояние между соответствующими точками на сфере (расстояние на сфере измеряется длиной дуги большого круга).

Задача. Вывести формулу для сферического расстояния.

ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (ДЛО)

1⁰. Определение ДЛО.

Определение. ДЛО называется любая функция , где a, b, c, d –произвольные комплексные числа, т.ч. .

Замечание. Если , то числитель и знаменатель дроби пропорциональны, следовательно, дробь сокращается и w = const. А const (по определению) не является ДЛО. ДЛО: взаимно однозначное, т.е. это гомоморфизм (т.к. непрерывность уже есть (см. раньше)).

2⁰. Групповое свойство.

Теорема. Все ДЛО образуют группу относительно композиции.

Доказательство: очевидно (проверить).

- обозначим так группу для ДЛО.

- рассмотрим такую группу. И рассмотрим отображение: , т.е. , - гомоморфизм (Проверить). Найдём ядро этого гомоморфизма.

, , , но , таким образом (изоморфно). Тогда

или - это матричная реализация.

3⁰. Простейшие ДЛО.

Простейшими назовём: 1) 2) 3)

Теорема. Любая ДЛО есть композиция простейших, т.е. это образующие группы.

Доказательство: Основная идея: поделить числитель на знаменатель нацело. , итак, - это ДЛО 1), 3), 2), 1) т.е. композиция простейших.

Геометрический смысл простейших.

1) - сдвиг на вектор b.

2) - гомотетия с коэффициентом и поворот на угол

3) - называется инверсией и является композицией двух симметрий (относительно единичной окружности (*) и относительно вещественной оси).

Вспомним определение симметрии относительно прямой:

Определение симметрии относительно окружности:

Теперь убедимся в (*):

4⁰. Свойство конформности для ДЛО.

Теорема. ДЛО сохраняет углы между кривыми.

Доказательство: Достаточно доказать теорему для простейших ДЛО. Для первых двух очевидно. Докажем для инверсии: Для симметрии относительно прямой – очевидно. Осталось рассмотреть для симметрии относительно окружности. Сделаем стереографическую проекцию, она сохраняет углы. Вспомним: , подставим . Получится: таким образом, - симметрия относительно экваториальной плоскости (на сфере). Но при симметрии углы сохраняются.

ДЛО сохраняют углы не только по величине, но и по направлению(т.к. композиция двух симметрий).

5⁰. Круговое свойство ДЛО.

Теорема. ДЛО переводит окружность в окружность (прямая – тоже окружность).

Доказательство: Достаточно доказать теорему для простейших ДЛО. Для первых двух очевидно. Докажем для инверсии: Для симметрии относительно прямой – очевидно, рассмотрим симметрию относительно окружности.

Сделаем стереографическую проекцию - симметрию относительно экваториальной плоскости (круговое свойство стереографической проекции доказано).

6⁰. Свойство 3 точек для ДЛО.

Теорема. Для любых 3 различных точек и любых 3 различных точек ДЛО, переводящее точки: по этой таблице из 3 значений ДЛО восстанавливается ! образом.

Доказательство: 1) В частном случае сначала . Предъявим в явном виде исходную функцию. построили. Ангармоническое (или двойное) отношение четырёх точек, а именно точек . Заметим, что решив задачу в частном случае, мы решили её и в общем. Т.е. , таким образом, в неявном виде мы доказали .

2) !: Пусть два искомых ДЛО: Надо взять т.е. имеем 3 неподвижные точки следовательно это отображение тождественно, т.е. , иначе напишем уравнение на неподвижные точки: - уравнение не выше 2 степени корней не больше 2. (Вообще-то решений всегда ровно 2 – т.е. две неподвижные точки.)

Следствие: Ангармоничное отношение инвариантно относительно ДЛО.

Задача: 4 точки лежат на одной окружности (или прямой) их двойное отношение вещественно.

7⁰. Свойство симметрии для ДЛО.

Теорема. Если ДЛО переводит окружность Г в окружность Г^*, то точки, симметричные относительно Г, оно переводит в точки, симметричные относительно Г^*.

Доказательство: Вспомним критерий симметричности: 2 точки А₁,А₂ – симметричны относительно окружности Г любая окружность , проходящая через эти 2 точки пересекает Г под прямым углом.(доказательство этого самостоятельно). Доказательство очевидно после применения этого критерия. Через точки проведём - окружность. Ее прообраз – окружность .По условию А₁,А₂ симметричны Г и пересекаются под прямым углом образы Г и пересекаются под прямым углом точки симметричны.

8⁰. Автоморфизмы единичного круга.

Aut(D) – дробно-линейное отображение для круга. D - единичный круг.

Свойства: единичная окружность единичная окружность. Т.к. ДЛО – гомеоморфна и граница переходит в границу.

Обозначение: а – точка, переходящая в 0: . Тогда - симметрична относительно окружности.

, т.к. это комплексно сопряжённые числа .

Круг в круг (или внешность круга), но т.к. это автоморфизм то в круг. - внутри круга. - на окружности.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций