Лекция 11 (1124312)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

48

Лекция 11(11 ноября 2002 года).

2⁰. Необходимые условия изображения.

Теорема. Пусть функция–оригинал с показателем роста Пусть - её изображение. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) сходится равномерно внутри полуплоскости

2) голоморфна в этой полуплоскости

3) если

Доказательство. 1) Возьмём числа где а – задано, а - взяли, тогда - по определению показателя роста, функция интегрируется на интервале (0, ) сходится равномерно для всех (по признаку сравнения).

2) Следует из 1ой теоремы Вейерштрасса (несобственный интеграл – предел некоторой последовательности).

3) Оценим:

Пример. Пусть единичная функция Хевисайда. Это функция-оригинал с Найдём изображение . Все утверждения теоремы для этой функции выполнены.

Задача. Вывести формулы для изображения: 1) 2) 3) 4)

5) свёртка

3⁰. Достаточные условия изображения.

Теорема. Если 1) голоморфна в полуплоскости

2) если в полуплоскости

3) - интегрировать на любой вертикальной прямой.

То: а) функция является изображением некоторой функции-оригинала с

б) справедлива формула обращения Меллина:

Доказательство. 1) Определим функцию интегралом Меллина при некотором Проверим, что интеграл сходится: интеграл сходится по признаку сравнения. Более того, он сходится равномерно по t на компактах вещественной оси: функция - непрерывна.

2

) Если то по лемме Жордана, применённой к полуплоскости ( убывает при ).

3) Заметим, что функция не зависит от по ИТК.

Интеграл по контуру прямоугольника = 0.

Интегралы по основаниям т.к. функция стремится к 0.

Значит интегралы по вертикальным прямым равны 0.

4) Оценим: В этом интеграле – всё есть некоторые константы, кроме (т.к. сходится к const). (можем так подобрать)

5

) Проверим, что является изображением этой функции: Зафиксируем р₀: и будем вычислять интеграл Лапласа: В этой формуле х будем брать любым, большим а. Возьмём абсолютно сходится двойной интеграл можем изменить порядок интегрирования (по теореме Фубини), тогда по теореме Коши о вычетах.

Пояснения к последнему равенству (как применять теорему Коши): Интеграл по замкнутому

Контуру равен , но когда распрямляем и , то интеграл по дуге

Окружности.

4⁰. Преобразования Бореля.

Теорема. Если функция голоморфна в бесконечности, то она является изображением некоторой функции.

Доказательство. Напишем ряд Лорана: (только правильная часть без const, т.к. ) обозначим радиус сходимости, т.е. ряд сходится при , где вычисляется по формуле Коши-Адамара: выполняются неравенства: где М зависит от R (по неравенству Коши). Напишем степенной ряд: его т.к. в числителе степенная функция, а в знаменателе факториал ряд сходится при любом голоморфна в С. Оценим: функция экспоненциального роста и

Теперь рассмотрим: и докажем, что её изображением будет функция Зафиксируем р: И вычислим: Почему ряд можем интегрировать поточечно? По теореме Б. Леви о монотонной сходимости и по теореме Лебега о мажорируемой сходимости.

Определение (Соответствие рядов). Ряду ставится в соответствие ряд называющийся преобразованием Бореля (А смысл соответствия – оно обратное к преобразованию Лапласа).

Утверждение. (по окружности) – эта формула справедлива для преобразования Бореля.

Доказательство. (*) – n коэффициент ряда Тейлора.

ГАММА-ФУНКЦИЯ И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ

1⁰. Гамма функция.

Определение. Гамма функция (или интегралом Эйлера 2ого рода) – это следующий несобственный интеграл, зависящий от параметра:

Утверждение. 1)Интеграл сходится равномерно внутри правой полуплоскости .

2)Функция голоморфна в .

Доказательство. 1) Запишем: Возьмём числа: Пусть Тогда функция интегрируема на интервале (0,1) сходится равномерно для Пусть интеграл сходится равномерно на при .

2) Следует из 1ой теоремы Вейерштрасса.

Лемма. Справедлива формула приведения: .

Доказательство. (*) = 0 т.к. на бесконечности всех убивает exp, а в 0 в силу условия .

Следствие. .

Доказательство. По индукции из леммы.

Теорема. Гамма функция аналитически продолжается на всю комплексную плоскость за исключением точек которые являются её простыми полюсами. При этом вычет функции -

Доказательство. Из леммы по индукции Перепишем эту формулу: А где эта функция голоморфна на самом деле? В - полюсы первого порядка. Аналитическое продолжение доказано. Осталось только вычеты посчитать:

Следствие. Мах и Мin всё ближе и ближе приближаются к оси Ох со стремлением .

Задача. Доказать формулу дополнения: .

2⁰. Дзета функция.

Определение. Дзета функция Римана (Эйлера) – это сумма ряда:

Утверждение. 1) Ряд сходится равномерно внутри полуплоскости .

2) Функция голоморфна в этой полуплоскости.

Доказательство. 1) Запишем . Напишем: . Теперь: сходится т.к. q > 1. Тогда по признаку сравнения получаем наше утверждение: сходится равномерно для .

2) Следует из 1ой теоремы Вейерштрасса.

Лемма. Справедлива формула: при условии, что .

Доказательство. - по определению гамма функции, поэтому: по теореме Б Леви и по теореме Лебега мы имеем право перейти к пределу под знаком интеграла.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций