И.Г. Каплан - Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий (1124214), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Предполагая р (Е) известной, Гельфанд и Левитан показали, что искомый потетщиал сг (г) может быть представлен как 'г' (г) = 2 †„ К (г, г') + ]гт (г), где ]гт (г) — произволыш выбранный потенциал со спектральной функцией р, (Е), функция К (г, г') является решением интеграль- 9с И. Г. ттмямп 262 гл у нАхожденнн межмолекулягных пОтенциААОВ ного уравнения типа Фредгольма: Х (г, гз) = я (г, г') + ~ К (г, л) я (х, г') Ых, с (3.15) где вспомогательная функция: б(г, Р) =~ р,(Л,.) р,(Л,г)(бр,щ — юр(Е)) (3.16) определяется через известное решение у, (Г, г) радиального уравнения Шредингера с потенциалом $',(г). Решение единственно, причем для каящого набора фазовых сдвигов 6~ и знергий Е связанных состояний существует семейство я-параметрических фазово-зквивалентных поте~щиалов, где и — число связанных состояний. Обратная задача рассеяния и связанные с ней проблемы широко обсуждались в отечественной математической литературе (134 — 136), см.
Такя~е (137). Для фиксированного значения энергии, но неопределенного значения 'углового момента обратная задача была рассмотрена в работах Редже и Ньютона [132, 133]. Если волновые функции состояний с фиксированным значением углового момента и различной энергией образузот полный набор, то волновые функции состояний с фиксированным значением энергии и всевозмояолыми значениями углового момента полного набора не образуют. Это обстоятельство не позволяет применить теорему полноты (3.13) для нахождения спектральной функции, что затрудняет решение обратной задачи. Хотя количество работ, посвященных решению обратной задачи для фиксированной знергии, очень велико, разработанные процедуры неустойчивы к небольшим разбросам экспериментальных данных, к тому же дают бесконечное множество эквивалентных решений (122). В целом приходится констатировать, что, несмотря на злегаптную математическузо формулировку, практическое применение развитых квантовомеханических процедур решения обратной задачи рассеяния очень затруднено.
Во-первых, они требуют полноты вводимой экспериментальной информации. Так, в методе Гельфанда — Левитана требуется знание фазовых сдвигов 6~ для всех знергий связапных состояний. Вопрос о том, как повлияет па решение отсутствие части информации, остается открытым. Во-вторых, требуется решать досточно сложное интегральное уравнение. Для устранения неопределенности, заключающейся в получении семейства зквивалептных потенциалов, необходимо привлекать дополнительную информацию о связанных состояниях. В связи с этими трудностями практическое прнмепепие получили приближенные решения обратной задачи, основанные на квазиклассических подходах. $ Х ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ИЗ ЗНСПЕРИМЕНТА 2ЗЗ Гг-1 ег О=я — 2р )/(1 — 'г' (г)/и) г~ — р' (3 17) где Ь' = ти'/2.
Для дальнейшего удобно ввести обозначение и = (1 — ]г (г)/а ] г'. (3.18) Поскольку г, является паимепыпим расстоянием и определяется обращением подкоренного выражения в пуль, то, очевидно, и (г,) = [1 — ]г (г,)/Е] г'„= рз, т. е. замена переменных (3.18) отвечает интегралу от р' до оо. После замены перомеппых в интеграле (3.17) переходит в Г ге!в г Еа' 6=я — 2р ) —, (3 19) Поскольку непосредственное вычисление показывает, что (3.26) то (3.19) можно записать в виде Кеаеивлаееичеекое рассмотрение.
Метод Фирсова. Впервые метод решения обратной задачи классического рассеяния для монотонного потенциала был дап Хойтом (138]. Метод Хойта требовал знания дифференциального сечения рассеяния О (6) при различных значениях энергии Е. Значительно более удобный метод, требузощий знания кривой а ( 0) только при одном значении Е, был предложен Фирсовым (139]. В дальнейшем проблема восстановления потенциала в квазинлассическом и классичесвом приближениях разрабатывалась многими авторами. Подробное излолеепие практических методов воссгановлспия потенциала содержится в обзорах Бака (122]. Ниже мы излонсим метод Фирсова. В его основе лежит тслассическое рассмотрение движения ядер.
Последнее справедливо, если момент количества движения ядер Ь )) В. Угол отклонения 6 должен быть много больше а/Х,. В опытах по рассеяпизо атомов и молекул зти условия почти всегда выполняются. В качестве исходного выражения борется соотношение (2 16). Последнее может быть переписапо в виде зе4 Гл..ч. ЕАхожденне межмолекулягных потенциалов умножим, далее, (3.21) на Ир/)гр' — и и проинтегрируем по р от' )ги до оо; и' Используя теорему Дирнхле (140), можно показать, что двойной интеграл в правой части (3.22) равен —,1п —. Итак, 1п— (3.23) г'й или г(и)= )ги ехр( — ( 1.
4 г'р' — и ( Уй (3.24) Для нахождения г (и), а отсюда улье и (г) и, следовательно, г" (г) необходимо знать зксперимептальпую зависимость 0 (р). В классической теории рассеяния прицельный параметр связан с экспериментально измеряемым дифференциальным сочепием рассеяния простым соотношением (см. (2.45)): 1 (' Ес (О] р'= — ~ — 39. Ло е Соотношение (3.25) замыкает цепочку равенств, необходимых для восстановлении,потенциала. Итак, ицеем следугрщий порядок операций для восстановлепия потенциала по Фирсову: 1) зкспериментальную зависимость о (9) подставляют в (3.25) и находят р (9), а отсюда О (р); 2) 0 (р) подставляют в (3.24) и находят г (и), откуда получают и (г); 3) нз определения и (г) (3.18) находят )г (г). Фирсов апробировал предложенную процедуру па следузощем наглядном примере.
Пусть экспериментальная зависимость описывается сечением Резерфорда: (3.26) Известно, что сечение Резерфорда отвечает рассеяпшо кулоновым полем. Найдем рассеивающее поле по вышеописанной процедуре. Для этого подставим (3.26) в (3.25): д' (' згп О 40 д' Зд~ ) зж (О~В) 4Е ~Е'(О~З) ' о 1з. восстлновлвнив потвнциллл из экспвримвнтл 2бб или О= -)- 2 агС18 2,~1 (3.27) Далее вычисляем с функцией (3.27) интеграл, входящий в (3.24) г): 1 р л-вгс'В 2Ер р' (л/2Е)х+ и ~о/2Е хи е (р) яр л ррл — и У'и Согласно (3.24) г (и) = )/ (д/2Е)е + и ~ д/2Е и = ге ~ е/и|/Е = ге (1 1- д/гЕ).
(3.28) откуда (3.29) Сравнивая (3.29) с определением и (3,18), получаем )г (г) = ~ д/г. функции и (е), а зла хит, и У (г), в противном случае нельзя единственным образом определить обратные 2ю функции р (О) и и (и) из-за многозначности. Бак (142, 122) модифицировал метод Фирсова па случай осциллирующих функций отклонения. На рис. Ъ'.12 приведен потенциал системы Сз — Нд, восстагювлеппый в работе (143). Использованы экспериментальные сечения для пяти различных значений эпергии. Потенциалы, получаемые восстановлением каждого из этих сечений, прак- в) тически наложились друг па друга (чем объясняется большая толщина линии значительной части потенциальной кривой). В табл.
Ч.7 приведены параметры потери)иальных кривых взаимодействия атомов ртути сощелочными металлами, восстанов- Рис. Ч.12. Потапциал системы Се — НВ, восстаиовлоппый и работе )143) по модифицироваииаи процедура Фирсова. Исполввовапы елсперииепталвпис ссчепил Плл пити рамгпчпмх хпачепиа влергви. ') Интеграл берегся с помопгью диффереицировапия па параметру Ч/2Ь'.
Метод Фирсова был успешно применен для восстановления потенциалов рассеяния атомов и ионов благороднгох газов в работе И41). Для одпозначпости процедуры восстановления необходимо выполнение требования монотонности функции отклонения О (р) и р/р не/в 200 Гл, ч. нАхождение межмолекулярных потенцнАлов Та блица Ч7.
Глубина потенциальной яыы и пололсенле мккнмума потепцкалол лзаныодействня щелочных металлов с ртутью, зосстаковлелвых по модифицированной процедур е сзкрссла [122) в,ое 0,108 0,55 0,52 0,50 4,91 5,09 Ы вЂ” нл кл-на х — нт се — нт лонных по эксперимепталыгым сечениям рассеяния в работах Бака с соавторами (122). Описанные выше процедуры позволяют восстанавливать изотропный потенциал, т. е. потенциал, зависящий только от расстояния.
В работе (143б) развит метод восстановления аннзотропного потенциала взаимодойствия атома с двухатомной молекулой, представимого в виде тт (г, О) = тете (г) + Ит (г) Рт (соз О). Для восстановления потенциала (фактически потенциальной поверхности) используются экспериментальные данные по дифференциальным сечениям упругого и неупругого рассеяния на вращательных молекулярных состояниях. Метод применим к молекулам с достаточно хорошо разделенными вращательными уровнями (11„НП, Пю в известной мере 1чт). Процесс нахождения потенциала двухступенчатый, схематически он мохсет быть представлен в виде ! Зкслерлмелтельлые ~ Элементы ~ Искомый ллйкререлцлельлые сечения ~ 1 Я-матрлцы ~ ~ лотелцлел Использование квазиклассического приближения и метода акспопепциальпых искансеппых волн позволяет выразить алементы матрицы рассеяния непосредственно через измеряемые сечения.
Далее паходитсл искомый потенциал. При атом изотропная часть потенциала т'с (г) определяется полным дифференциальным сечением, апизотропная т'т (г) — отпошением неупругого дифференциального сечения к упругому. Ряд упрощающих предположений (использование приблиясения зкспоненциальных искаженных волн, учет только одного канала неупругого рассеяния) привел к большой простоте метода в вычислительном отношении, но в то же время ограничил область его применения.
Развитая методика была апробирована на системе 1че — Пт и позволила оцепить точность нахождения апизотропной части потенциала в прсдолах нескольких процентов. з 3 восстАновление потенциАПА из зкспегиментА 257 то потенциал как функци>о г можно представить в виде ( (г)=а(Т )йт, (З.зз) где функция 0 (Т*) зависит фактически только от единственного параметра Тв = йТ/е (е — глубина потенциальной ямы) и очень слабо зависит от вида потеп- С циала (проверка для различных потенциалов дает зависимость в пределах 10%; рис.
Ч.13). >>,з Соотношения (3.31) — (З.ЗЗ) при условии, что е находится из независимых измерений, позволя>от развить следующузо итерациоппу>о процедуру вос- -ЮФ становления потенциала. Вначале выбирается некоторый пробный потенциал Из (г) и -О а вычисляется функция >" (Тз) = >)зап йз гу у» Нп тЗп т = И (>г' ЪТ. По экспериментальному зпачепизо ц (Т) из (3.31) находят экспериментальное значение интеграла столкновений йфр~~. Подставляя набор значений 6з (Тз) и Яфр'> (Т) для разных Т в (3.32), (3.33), получают набор значений (Р„У), составлЯ>ощих пеРвое пРибли>кение Рг (г) к искомомУ потенциалу. Каждая экспериментальная точка >) (Т) дает одну З.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
