И.Г. Каплан - Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий (1124214), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Прнмопопио иысокоенергетическнх молекулярных пучков для нахождения межмолокулярпых потенциалов обязано пионерским исследоаапням Лмдура с сотрудниками (!14! а США и группы )!еонаса (110! в С(ЖР. Из подавних робот упомянем работы (115, 11Ш. Обработка экспериментальных данных, как прааило, может быть проведена в классическом прибльокении и дает отталкиватольпую часть потенциальной припой, которая ашгроксимнруется либо потенциалом Ьорпа — а1айора, либо степенной зависимостью С„lг".
!!рн расомотрепии взаимодействия молекул часто примошпот потенциал адднтнвпого типа ~'(Л) =~ Лыс "г" 4 (э "!) где гю — расстояпио между парами атомоп, лрнпадложащими к разным молекулам, Я вЂ” расстояние между цонтрами масс молокул. Далео, парамотуь< потенциала подбираются так, чтобы удовлетаорялась экспериментальная зависимость. !'ак, е работо [110! найден оптимизированный отталкивательпый потенциал системы Нз — Нз типа (2.5!) с помощью метода Л!опто-!(арле со статистической погрозппостью 2% (10' историй). В экспорнментах с пучками теплопых энергий изме!шются полные сечения рассеяния ()о„.а = 2я ~ ( ! (О, п) (з с (О) а ! и 0 с!0.
Характерным является в этих условиях появление целого ряда чисто квантовых еффеггов (108, 109!. Для извлечения информации о потонциале требуется в этом случае кваптовомохапичоское рассмотрение. При этом удается получить сеодепия пе только об отталкиватольпой части кривой, по и об облаоти прптяжопкя. Интеграция квадрата амплитуды рассеяния (2.34) по иоом углам дает полное кваптовомохапичоское сечение расоояпня: с(Е)= — „" ~! (2! -/ 1)епРбм 1 О В приблилсении случайных фаз оказывается возне)ппым выразить и (Ь) через скорость частицы и параметры потенциала 253 Гл.
ч. НАхождвнин мк>кмолккулягееых потве1циАлов притяжения. Б частности, для притяя'ения с потопциалом — с>Р' получена следуеощая связь (1171: Г с„з""~Е" '> 5 Р()~ — „"~ (2.54) где р (и) — известная функция от я. Для нейтральных спетом ведущим является члеп — Са/г". Из (2.54) может быть получено явное выражение для константы С, через скорость частицы н полное сечение рассеяния, а именно (117): Со = 5 676.10-за ге>ч- (2.55) где все величешы — в системс ОРО, т. е. Р в см7с, о в см', С, в арг см'.
Точность нахождения С, определяется точностьто измерения полного сечения рассеяния и точностью теоретического прибли>кения (2.54). Подробное изложение методов нахождения потенциала взаимодействия из зкспернментов с пизкозпе1>готическими пучками дано в обзоро (109).
з 3. Восстановление потенциала по экспериментальным данным В предыдущем параграфа описаны наиболее распространепяыо методы нахождения параметров модельных потенциалов по окспорнмееетальееьеле данным. Потенциал с параметрами, оптимизированными по одному свойству, может существенно отличаться от потенциала, оптимизированного по другому свойству, так как различные физические свойства часто чувствительны к разееыле участкам потенциальной кривой. Построение достоверной потенциальной кривой с помощью модельного потенциала требует достаточной гибкости потенциала (многопараметрический либо кусочный потенциалы) и привлечения максимального количества экспериментальных данных. Поэтому представляет несомненный интерес возмо>ееность восстановления потенциала из экспериментальных данных без предварнтельпой фиксации его аналитического вида.
Такая процедура наиболее разработана в теории рассеяния, где ее называют решепием обратной задачи рассеяния. Одпако впервые процедура восстановления потенциала была развита для потенциальных кривых двухатомных молекул. 3.1. Метод Рпдберга — Клейна — 1'иса. Ридбергом (118) и Клейном [119) па основе квазиклассического приближения был развит графический метод, позволяющий свяаать оксперимолтальные вращательно-колебательные уровни знергни с классическими точками поворота движения ядер, что дает возможность восстановить потенциал по спектроскопическим данным.
Эта процедура была впоследствии усовершенствована Рисом (120), $ 3. Восстлновлвппв потенцнллл иэ экспвгимнптл 259 (3,5) Ю (- — ')с ) ( ",, )иск= 1 оп — ОО" (й' — йд)'/з ф (З.В) развившим ее аналитическую версию, и получила название метода Ридберга — Клейна — Риса или метода РКР. На рис. Ч.11 изображена потенциальная кривая двухатомпой молекулы. По оси ординат отлояссна эффективная потенциальная энергия Р„п (с) = Р (г) + К|,с, (3.1) где К~г'" — цонтробоскпая опоргия, К = (й'-'/2р) .7(У -,'- 1), У— вращатольпоо кваптовоо число, (с — приведенная масса молекулы. Площадь Р, ограпичеппая некоторым уровнем Ео, вращатольцо-колебательпоя опоргии н потенциальной кривои, опроделяесся интегралом ЮГА Р =) (Š— Р и (г)) 3 ° (3.2) Интеграл (3.2) является функцией двух параметров: Е и К.
Производные по этим параметрам очень просто связаны с точками поворота г, и ге. Действительно, дс О ар~ Г Рис. Ч.11. Схема, иллюстриде' ) ) ~ г' гз' (3 3) рующая восстановление потенциальной кривой двух- атомной молекулы по мо( ).— ~,=,е др ~ Г сг 1 1 толу Рилборга — Клойна— д!~,~к,) Го ге и Р иса. .о.
Для нахождения г, и го из уравнений (3.3), (3.4) необходимо выра- вить плогцадь Р чероз экспериментально ггаб1подаемыс величины энергий. Поскольку уровни энергии Е,„достаточно часты, звание точек поворота даст нам форму потенциальной ямы.
Подьпгсогральпое выралсепие в (3.2) может быть представлоно в видо интеграла Эйлера 1-го рода: нр1 ) ре1с И результато (3.2) перойдст в 260 гл. у. нлхождвнив мнжмолгкуляэных потвнпнАлов где Еа — значение потенииальпой кривои в минимуме. Введем, далее, фазовый иятеграл, подчиняющийся условиям квантованил Бора — Зоммерфельда: Х <~ Р,Нд= ~)'$/2Э(Š— Т',.п)бг=-(и ! '(з)й (3 7) Из (3.7) следует, что — ",„', =у' — ", ~ ~ (3.8) Соотпоптгпко (3.8) позволяет избавиттся и выралсспии (3.6) от неизвестной функдии р'еп (г)й — ') (Е Е) ' ~г' ')Е (3 й) или г Р=~/ ',, ~(Е,„Е)ч.1Х; (3.1()) Х вЂ” значение фазового интеграла, отвечающего энергии Е„„Ч находится из соотноптения Е' (Х', К) = Е .
Энергия вращательно-колобательвттх уровней может быть продстаэлепа з звдг полипома по вращательным (Х) и колебательным (э) квантовым числам: Еп= 7 пт (и-( '(е)'(У(Х 8-1))" (3.11) или, вводя Х (3.7) и К, Е(Х, К) = 7 йыХзК". (3.12) ап Подставляя (3.12) вместо Е' в (3.10) и дифферепцируя получсппьзе интегралы аатем по Е,„и К, находим точки г, я г потеппиальной кривой, отвечающие экспериментальному значению энергии Е Эффективный способ взятия интегралов метода РКР, устраняющий их расходимость на верхнем пределе, развит в педавпей работе [121).
3.2. Ретпеппе обратной задачи раггеяпкя. Облрья посюалоплл зпдоюп Гогласпо квантовой теории рассеяния, вся ннформадия о рассеивюощом потгпдиало содержи гол в фазовых сдвигах бр (см. вьппо пункт 2.3). Лмплитуда рассеяния, определяющая экспериментально измеряемое сечение рассеяпия, выра>кается через фаз овьте сдвиги соотпотпепием Факсена — Хольдмарка (2.34).
Интегральные соотпотпопяя, связывааппио ампли- 20с т 3. ВосстАетовлктсик пОтенциАлА из зкспнгимннтА гуду рассеяния непосредственно с рассеивающим потенциалом, могут быть сформулированы лишь в двух предельных случаях: в приблиясепии Бориа, когда 6~ (~1 (см. (2.39)), и в квазиклассическом приближении, когда бс'=~ 1 (см. (2.45) и (2.16)). В остальных случаях амплитуда рассеяния связана с рассеиватощим потепциалосс только косвенно, через фазовые сдвиги. При етом извлечение информации об амплитуде рассеяния и о величинах фазовых сдвигов из зксперимекталытых значений сечений рассеяния такясе является далеко пе тривиальнот[ зада1тей И22, 123].
Обратная задача квантовой теории рассеяния — восстаповлеоие потенциала по Е-матрице фаз рассеяния — была поставлена впервые в работах Фродберга И24] иХиллерааса И25]. Баргмашт И2[т, 127] указал па неоднозначность ее решения и патпел класс зквизалоптпых потенциалов, обладающих одинатсовтами фазами рассояния и связанными состояниями. Неоднозначность определенна потенциала оказалась обусловленной наличием связанных состояний И28!. В работах Марчешсо И29, 130) были исследованы условия, пакладываемые на исходные данные обратной задачи, и показано, что достаточно задать сдвиги фаз, значения знергий и нормировочцыо константы связанных состояний. В явном виде задача восстановления потенциала по фазовым сдвигам для состояний с фиксированным угловым моментом была решена в работе Гельфапда и Левитана И31].
Подробтюе изложение их метода ттоттстто найти в тспигах И32, 133]. Здесь мы ограничимся общей формулировкой для случая 1 = О. Исходными в методе Гельфапда — Левитана являются не фазовые сдвиги бн а татс называемая спектральная функция р (Е). Вследствие полноты системы волновых функций дискретного и непрерывного спектра радиального уравнения Шредингера с тютепциалом р (г), имеет место соотношение полноты ср (Е, г) ср (Е, г ) — с]Š— 6 (г — г ), бр [Е) (ЗИЗ) где с]рсссЕ является весовой функцией„ обеспечивающей условие (ЗИЗ). Опетстральттая функция р (Е) однозначно определяется, если известны нормировочные константы волновых функций связанных состояний и так называемая функция Иоста, определяемая через фазовые сдвиги и энергии связанных состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
