И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1124212), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Теперь рассмотрим ст„: Е '.(ст„Е) =Е ' ст,=Е ст„=ст„ С, ' (ст„Сз) = С, ' ст'„= С2 ст'„= ст",, Полезный математический аппарат 187 (о, С,') = (С~з) ' ст'„' = С, ст'„' = о'„ . (о„гт„) = о„'. Е = о„Е = о„ 1.. ~ ~ — 1. (Сз) о„' о" и Мы проделали все возможные преобразования подобия для операции о. Видно, что три операции, относящиеся к вертикальным плоскостям симметрии, принадлежат к одному классу. Мы пришли бы к такому же выводу, если бы рассмотрели преобразования подобия с участием двух остальных операций сг„. Теперь рассмотрим Сз: Е '(Сз Е) = Е Сз = Е'Сз = Сз Сз '(Сз'Сз) = Сз 'Сз = Сз'Сз = Сз (Сз)' ' (Сз Сз) = (Сз) 'Е = Сз Е = Сз Согласно этим преобразованиям, Сз и Сз сопряжены и, следовательно, принадлежат к одному классу.
Порядок класса определяется числом элементов в классе. Так, например, класс операций отражения имеет порядок 3 в группе С „, а класс операций вращения имеет порядок 2. В общем случае порядок класса или подгруппы является делителем порядка группы*. Математическое описание операций симметрии производится с помощью матриц. 4.2. МАТРИЦЫ 3 1 О 2 5 7 Π— 3 ΠΠ— 2 1 Обычно матрица имеет гл строк и п столбцов * Из этого утверждения, известного как теорема Лагранжа, вытекает очевидное следствие: группа, порядок которой является простым числом, не имеет подгрупп.— Прим. перев. Матрица представляет собой прямоугольную по форме совокупность чисел или символов. Эти элементы заключаются в квадратные скобки.
Пример матрицы, составленной из чисел, приводится ниже: 188 Глава 4 а,„1а2...... а„„ О 1 2 3 4 5 6 7 8 Особая разновидность квадратных матриц — единичная матрица, в которой все элементы, стоящие на диагонали, проходящей из левого верхнего в правый нижний угол, равны 1, а все остальные элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е. Три единичные матрицы приведены ниже: 1 О~ 1 О 1 О О О О О 1 О О 'О О О 1 О О О О О 1 О О О О О 1 О 1 О О 1 Столбцовая матрица состоит только из одного столбца, например: Вышеприведенная матрица изображается заглавной буквой А. Другое обозначение выглядит так: [а,.Д, где подстрочный индекс 1 обозначает число строк, О <1< т, а индекс1 обозначает число столбцов, О <1< и.
Имеются некоторые специальные матрицы, которые потребуются для нашего изложения. Квадратная матрица — матрица с одинаковым числом строк и столбцов. В соответствии с общим обозначением матрица ~а,,-1 является квадратной, если т = н. Такой пример приведен ниже: !89 Полезный математический аппарат Столбцовые матрицы используются для представления векторов. Вектор характеризуется длиной и направлением.
Вектор в трехмерном пространстве показан на рис. 4-4. Если вектор расположить так, что его начало совпадает с началом декартовой системы координат, то три координаты, описывающие положение противоположного конца, целиком определяют вектор. Эти три декартовы координаты записываются в виде столбцовой матрицы: х1 У1 г1 Таким образом, эта столбцовая матрица представляет собой вектор. Если столбцовые матрицы используются для описания векторов, то квадратные матрицы применяются для представления операций симметрии. Выполнение операций симметрии с вектором фактически является геометрическим преобразованием.
Как же можно эти геометрические преобразования перевести на матричный «язык»? Рассмотрим специальный случай и проанализируем, как операции симметрии, характерные для групп симметрии С„могут быть применены к вектору, изображенному на рис. 4-4. В матричной форме мы сначала записываем (или обычно представляем себе это в уме) координаты первоначального вектора в верхней строке, а координаты вектора, получающегося в результате операций симметрии, в левом столбце: х, у, к, — исходный вектор результирующий х,' вектор у,' 21 Затем мы подробно исследуем результат применения операций симметрии. Если данная координата преобразуется сама в себя, то на место Рис. 4-4.
Представление вектора в трехмерном пространстве. Глава 4 !90 их пересечения ставится 1; если при преобразовании меняется знак, то ставится — 1. Эти символы появятся на диагонали матрицы. Если же координата преобразуется в другую координату со знаками + или —, то в местах соответствующих пересечений появятся 1 или — 1; это будут уже недиагональные элементы.
В точечной группе С, имеются две операции симметрии, Е и о„. Операция идентичности Е не меняет положения вектора, поэтому она может быть представлена в виде единичной матрицы: х1 У1 21 х1' 1 О О О 1 О О О 1 В другом обозначении это выглядит так: Е и, = и, Если а;,. — элементы матрицы, а Ь, — компоненты вектора, то компоненты вектора с;, являющегося произведением, выражаются следующим образом: с;=~ а,.„Ь,. ./ Чтобы получить первый матричный элемент результирующего вектора, все элементы первой строки квадратной матрицы умножаются на соответствующие элементы столбцовой матрицы, а затем складываются.
Чтобы получить второй матричный элемент, повторяется та же самая процедура со второй строкой матрицы и т. д., как показано ниже *: 1 О О х1 1 х1 + О у1 + О х1 1 О у1 О х1 + 1 у1 + О х1 — у1 О О 1 х1+ О у1+'1 х1 Другой операцией симметрии в точечной группе С, является отражение в горизонтальной плоскости (рис. 4-5). На матричном языке эта операция записывается так: ' Отсюда следует, что произведение двух матриц можно определить только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.— Прим. перев. 191 Полезный математический аппарат Рис.
4-5. О ажение вектора в горизонтальной плостр кости. х1 у1 х1 х~,у1,- 1 х1+О у1+О а1 х1 О х1+ 1 у1+ О х1 — у1 О х. + О у1+ (-1)а1 -х1 х1' 1 О у, О 1 О х' О О -1 1 Ф ез Па Ф1 аты не только просто преобразуются Часто случается, что координ в д а с помощью операций симметрии. апример, в друг в друга с п его порядка приходится прибегать к применения оси вращения третьего порядк На ис. 4-6 показан вектор, повернутый на угол а в плоскости а рис. п вектора связаны с координатами исходКо рдин ре о аты зультирующего ве б азом ф — вспомогательный угол, введение ного вектора следующим образом — всп которого пояснено на рис.
4-6): Рис. 4-6. Поворот вектора на угол а в плоскости ху. Глава 4 192 х,=г соз~3иу,=г яп~3 х = г соз(а — 13) и у = — г яп(а — 13) (4-1) (4-2) Используя тригонометрические выражения, получаем сов (а — 13) = соз а. соз 13 + яп а яп 13 (4-3) яп (а — 13) = зш а сов 13 — соз а яп 13 Теперь подставим уравнения (4-3) и (4-1) в (4-2): х = г соз а соз 13 + г яп а зш 13 = х, . сов а + у, яп а (4-4) у, = — г в(п а.
соз 13 + г соз а зш 13 = — х, яп а + у, . соз а Те же самые уравнения в матричной формулировке выглядят так: 81 С!а С1в О~ Ов З; 1 О О О О С1р О 1 О О О Е С!з' О О 1 О О 04' О О О 1 О 05' О О О О 1 Квадратная матрица, приведенная выше,— это матричное представление вращения на угол а. Поскольку матрицы можно использовать для описания операций симметрии, набор матриц, отражающих все операции симметрии точечной группы, будет представлением этой группы. Более того, если набор матриц образует представление группы симметрии, то он будет подчиняться всем правилам, характерным для математической группы. Для этого набора будет также справедлива таблица умножения группы. Возьмем опять в качестве примера молекулу БОаС1~.
Эта молекула принадлежит к точечной группе С„, и некоторые из ее операций симметрии уже отмечались на рис. 4-2. Чтобы построить соответствующие матрицы, можно воспользоваться тем же методом, который уже применялся нами для вектора. Запишем исходные положения ядер молекулы в верхней строке, а положения ядер после применения операции симметрии в левом столбце. В точечной группе С~„имеются четыре операции.
Операция Е оставляет молекулу неизменной, поэтому соответствующая матрица является единичной: 193 Полезный математический аппарат Ось вращения второго порядка заставляет два атома хлора и два атома кислорода соответственно поменяться своими местами, а атом серы остается на месте: Б~ С12 С!з 04 Оз 1 О О О О О О 1 О О О 1 О О О О О О О 1 О О О 1 О Сз С!з 04 Оз' 1 О О О О О О 1 О О О 1 О О О О О О 1 О О О О О 1 Наконец, плоскость о'„меняет положения атомов кислорода, оставляя на своих местах атом серы и два атома хлора: 1 О О О О О 1 О О О О О 1 О О О О О О 1 О О О 1 О б р Поскольку каждая из этих четырех 5 х 5 матриц представляет собой одну из операций симметрии точечной группы С,„, полный набор этих четырех матриц является представлением данной группы.
Эти матрицы также подчиняются правилам, суммированным в таблице умножения для Сз,. Как было показано на рис. 4-2, ст„С = о'„ Соответствующие матричные представления имеют вид Плоскость отражения о„меняет положение атомов хлора, оставляя три других атома на своих местах (теперь мы опускаем вспомогательную верхнюю строку и левый столбец): 194 Глава 4 о о о о О О 1 О О О 1 О О О О О О 1 О о о о о о о о о О О 1 О О О 1 О О О о о о о О О О 1 О 1. 0+0 0+0.
1+0 0+0 0 О. О+О О+1 1+О О+0.0 0 0+1 0+0. 1+0 0+0 0... 0 О+О. О+О. 1+1. О+О 0 0 О+0-0+О- 1+О ° 0+1. 0 1 1+0.0+0-0+О О+О 0 0 1+О О+1.0+О О+О 0 О. 1+1. 0+0- 0+0. 0+0 0 О. 1+0.0+О О+1 О+0.0 0 1+О. О+О. О+О. 0+1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 си — — ~ а,.„Ь,„ Чтобы получить первый член первой строки, все элементы начальной строки первой матрицы умножаются на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и затем результаты складываются. Чтобы получить второй член первой строки, все элементы начальной строки первой матрицы умножаются на соответствующие члены второго столбца второй матрицы, а результаты складываются; таким же образом эта процедура продолжается далее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
