Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия (1124204), страница 19
Текст из файла (страница 19)
г. Непрерывный спектр. Вероятность найти систему в момент времени ~ в том же самом состоянии, что и в начальный момент ~ = О, как следует из результатов и. а, определяется равенством Р(~)=)<ЧУе(Ч/(г)>~ =~~~ с;с,е ~", что для дискретного набора уровней сводится к комбинации функций типа соя~(Е, — Е.)~1, что также следует из примера того же пункта. В случае непрерывного спектра для вероятности Р(~) выполнено аналогичное соотношение с заменой суммирования по дискретному набору уровней на интегрирование по соответствующему интервалу сплошного спектра: 2 и(Е)е ' 'ИЕ где и(Е) ~ Π— плотность распределения энергии в начальном состоянии.
Если, например, и(Е) = а при 0 а Е ~ Е, и и(Е) = О при Е > Е,, то для случая, когда непрерывный спектр занимает всю положительную полуось энергий, будем иметь яй(Е1~ / 2) Р(~) = 2а Этот результат показывает, что вероятность убывает со временем. Можно показать (В. А. Фок и С. Н. Крылов, 1947 г.), что при достаточно общих требованиях к функции и(Е), в частности, требовании непрерывности, вероятность остаться в том же самом состоянии убывает со временем по экспоненциальному закону: Р(~) — е""', так что привычная нам экспоненциальная форма радиоактивного распада — это довольно общая особенность квантовых систем, связанная с тем, что начальное состояние лежит в области непрерывного спектра. Зада ш 1.
Доказать, что при операторе Гамильтона Н, явно от времени не зависящем, функция и' = ~,с;зр;(г)е е", где ~р,(г) и Е, — собственные функции и собственные значения Н, является решением временного уравнения Шредингера, причем коэффициенты с, от времени не зависят. (Учесть, что функции ф.(г) линейно независимы.) 2. Объяснить, что качественнно изменится в задаче с двумя потенциальными ямами (и. г), если ямы становятся различными по глубине. 3. Получить выражения для коэффициентов прохождения и отражения в задаче с прямоугольным потенциальным барьером при Е > К Меняются ли эти величины монотонно с ростом Е? 4. Оценить, как качественно изменится форма прямоугольного волнового пакета Ч~(х, О) = О при х < — а и при х > — Ь, Ч~(х, О) = с при — а ~ х ~ — Ь, а > Ь > О, если он проходит через прямоугольный потенциальный барьер.
Глава ГЧ Теория симметрии в квантовой механике ~ 1. Законы сохранения а. Ризличные кредставления. Каждая квантовая система в том или ином квантовом состоянии определяется волновой функцией Ч», которая может быть задана аналитически либо численно (ее значениями в отдельных точках пространства и в заданный момент времени).
Она может быть представлена, как уже говорилось, и в виде ряда Фурье по полному набору базисных функций (у ~„например собственных для некоторого оператора А: Ч~=~» с;Х~ (АХ, = а.Х). В таком случае функция Ч» полностью определяется набором чисел с,, другими словами — числа с. задают представление функции Ч» в базисе ф,~. Эти числа, как уже говорилось, определяются равенством с = <Х ~ Ч~>. Если Х являются собственными для А, то говорят об А-представлении. В рамках стационарной теории возмущений мы пользовались разложением по собственным функциям оператора Н,, т.е. энергетическим представлением. Возможно разложение в ряд Фурье по собственным функциям оператора импульса Р, например для одномерной задачи — по собственным функциям оператора р = -г4~Г~, т.е.
по функциям йх у, = А,е, где 1 — любое вещественное число, а А, — нормировочный множитель, равный )/Дл для всех Е Выражения для коэффициентов с,, зависящих теперь уже от переменной 1, определяются аналогично тому, что имело место в случае дискретного спектра: с(я) = — ~е ЧУ(х')Нх', Ю. а вместо суммы по» в (1) будет стоять интеграл по переменной Й Ч~(х) )"с(й)Хь(х)Ж = — ~ ~й е' ~е ~ Ч~(х')Ш' . 2к 190 дЧ» Ч(«+ Ь«) = Ч(«) + о Лг Чфе) -мяЧ~(,, Лг. (Из этого равенства, коль скоро оно должно быть справедливо для любой функции, например из пространства 8,, следует также, что 1 — ~аИ е~'~' '~ =Ь(х — х') 2тс '„ где Ь(х-х') — Ь-функция Дирака).
Возможны и другие представления функции Ч» в зависимости от выбора базиса, причем, очевидно, не только Ч», но и функций вида ВЧ', где  — некоторый эрмитов оператор, не выводящий функции Ч» за пределы исходного гильбертова пространства. Поскольку ~~'-~б,х~, то с учетом (1) можно написать ,'» с;~Х! =~бьХь. Й Пользуясь ортонормированностью базисных функций у„при скалярном умножении этого равенства на у найдем: Хс; <ХМХ; > =б|. Интегралы В = <Х ~ В ~ Х,> и образованная из них матрица В с элементами В..
задают представление оператора В в базисе /! ф~~,.~ (см. также ~ 4 гл.1). 6. Коммутиционные соотношения. Пусть теперь имеется оператор А, который не зависит явно от времени и коммутирует с оператором Гамильтона. Подействуем этим оператором на левую и правую части временного уравнения Шредингера: А(г — Ч») = ю — (АЧ») = АИЧ» = Н(АЧ») . .д .д д« д« Следовательно, функция АЧ» наряду с Ч» будет являться решением временного уравнения Шредингера. Если, в частности, в некоторый начальный момент времени функция Ч» была собственной функцией оператора А: АЧ»(« = «,) = аЧ»(« = «,), то и во все последующие моменты времени « = «,+ Л«она будет собственной для А с тем же собственным значением.
Доказательство этого утверждения базируется на следующем. Пусть Ь«мало, так что допустимо представление: Действуя на правую и левую части этой цепочки равенств оператором А, получим АЧУ(к, + Л~) = АФ(~,) — КИАФ(х„)Лг = аРР(~,) — гИФ(к,)Лк1 = ~Ч~(~ + Л~). (4.1.2) Коль скоро это соотношение выполняется при ~ = ~, + Л~, от этого момента времени можно перейти к~ = ~,+ 2Л~ и т.д.' Так, если при инверсии Х волновая функция Чф,) меняла знак на обратный: ХФ(~,) = ( — 1)Ч~(~,), то это ее свойство сохранится и в последующие моменты времени при условии, что оператор Х коммутирует с гамильтонианом.
Пусть теперь оператор А таков, что он переводит любое решение Ф временного уравнения Шредингера вновь в решение этого уравнения: Ч~' = АЧ~. В этом случае говорят, что временное уравнение инвариантно относительно А, или инвариантно при преобразовании А. Далее, если временное уравнение инвариантно относительно оператора А и он не зависит явно от времени, то А и Н коммутируют: АН = НА, что показывается без труда.
Если оператор А, коммутирующий с Н, не является самосопряженным, можно утверждать, что оператор Ат, эрмитово-сопряженный А, также коммутирует с Н, поскольку АтН = (~~А)~ = (НА)~ = (АИ)т = ИМт = НА~, где мы воспользовались тем, что Ит = Н. От операторов А и Ат можно перейти к двум самосопряженным операторам А, — (А + Ат)/2 и А„= (А — Ат)/2~, которые также будут коммутировать с Н. В квантовой механике, как уже говорилось, физически наблюдаемым величинам должны отвечать именно самосопряженные операторы, собственные значения которых вещественны. а. Законы сохранения. Физические величины, представляемые самосопряженными операторами А, явно от времени не зависящими и коммутирующими с оператором Гамильтона, сохраняются во времени. Это утверждение означает, что среднее значение каждого такого оператора на любой функции состояния не зависит от времени, а функция Ч~, собственная для А в некоторый момент времени ~,, остается таковой во все последующие моменты времени.
Вторую часть этого утверждения мы уже ' При доказательстве в разложении по Л~ возможно учесть и более высокие производные, однако для настоящего изложения это не столь существенно. Существенно только то, ~то окончательный результат остается тем же самым. доказали (см. последовательность равенств (2)). Первая часть доказывается также достаточно просто: если Ф вЂ” произвольная функция состояния, то И вЂ” < Ф(А) Ф > = < — )А)Ф >+ < Ф( — (Ф >+ < Ф(А( — > = дФ дА дФ ~Й д1 д1 д1 = < — ( А ~ Ф > + < Ф~ А ( — > г' < Ф ( ~ НА — АН) ~ Ф > = О, НФ НФ где использовано то, что А явно от времени не зависит. Приведем теперь несколько примеров, иллюстрирующих высказанное в начале этого пункта утверждение.
1'. Пусть оператор Гамильтона Н явно от времени не зависит. Поскольку он коммутирует сам с собой, его среднее значение <Ч~ ~ Н ~ Ч~> на любой функции состояния»р от времени не зависит, а если к тому же Ч~(~,) — собственная функция Н, то она сохраняется собственной и в любой другой момент времени ~: НФ(~) = .РР(~), что свидетельствует о законе сохранения энергии системы. 2'. Если квантовая система свободна, т.е. внешний потенциал отсутствует, то оператор Гамильтона такой системы зависит лишь от расстояний между частицами, ее составляющими. Поэтому переход от исходной системы с радиусами-векторами частиц г к сдвинутой в пространстве системе с радиусами-векторами г + а, где а — некоторый постоянный вектор, будет означать, что дЧ~ дЧ~ дЧ' Ч'(г) => Ч~1г + а) = »Р1г) + ~» — а, + — а + — я, + ...
= дх- ду. де. Ч'(г) + '» а. агаб;Ч'+.... Эдесь Ч~(г) = Ф(г~, г2, ..., г ). При достаточно малых а можно ограничиться в этом разложении первыми двумя членами, так что Ч/(г+а)= (1+~~~" а З7,)ЧЧг) =АЧУ~г), где ~7 — векторный оператор градиента (оператор набла) по переменным с индексом ~: д . д д %'; =~ — +~ — + 1 —. дх ду д'з'. Оператор 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
