Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия (1124204), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Однако коль скоро поправка с у квадратично зависит от напряженности поля, то при малых напряженностях, как уже было отмечено, она играет малую роль, заметно меньшую, чем первое слагаемое в «13). г. Поля, создаваемые заряженными частицами. В данном изложении почти всюду (кроме заключительных замечаний о релятивистской квантовой механике систем частиц) предполагается, что частица создает вокруг себя электрическое кулоновское поле и взаимодействие заряженных частиц между собой определяется прежде всего именно кулоновским потенциалом. В то же время в квантовой механике обычно приходится иметь дело не с одной заряженной частицей, а с их системами, например атомами или молекулами, что привносит дополнительное своеобразие в теорию.
Действительно, пусть имеется система и частиц с зарядами о. и радиусами-векторами г,. Предположим, что эти частицы локализованы в некоторой сфере радиуса р, и рассмотрим потенциал, создаваемый всеми частицами вне этой сферы в точке с таким радиусом-вектором К, что Я» г,, % (см. рис. 2.4.1). В точке, определяемой концом этого вектора, электрический потенциал, создаваемый частицей с номером ~, имеет кулоновский вид: ~р = д,~К вЂ” г,~ ', так что суммарный потенциал ~р = '~ ~р; а этой точке представляется следующим образом: Поскольку ~К-г;~- (А' — х;) + (у-у;) + (т — х ) каждое слагаемое в этой сумме можно разложить в ряд по степеням х,, у, и г,. Чтобы не загромождать текст, выпишем такое Рис. 2.4Л. К определению потенциала в точке К, создаваемого системой зарядов вблизи начала координат (г.
< р «К). разложение лишь для одного члена ~К вЂ” г,~, пока опустив индекс у г,. и заменив х на х,, у нах, и х на х„а Х, Уи 7 — на Х, а = 1, 2, 3 - ~(0) + ~ — х„+ — ~ д~ 1 д~ дх„, 2 дх дх~ зх З з ХХ, Ь - — + ~ — "х + — ~ — х,„хр+..., с 1я 2ор1 я я где использовано то обстоятельство, что, например, д 2 2 2 Ч2 (Х1-х1) +(Х2-х2) +(Хз-хз) дх 2 2 2 ~( д 2 Ха .ха (Х1-х1) +(Х2 х2) +(Хз хз) (Х ха) з . 2 охе )К - а~ Следовательно, потенциал О) при таком подходе можно записать в виде ряда по степеням компонент радиуса-вектора К: <р= — + — ~Х Н + — ~Х (~вХв+ ° ° ° 1 Я яз 2Я~ ор тле Ч= ~д;; Н = '~ д,хщ и, как уже было сказано, величины И 1=1 суть компоненты вектора (электрического) дипольного момента системы; й ~ - ~д;(Зх; х,~ — г; Ь„~) — компоненты (злектричес- 2 кого) квадрупольного момента системы.
Если записать компоненты векторов К и д в виде векторов-столбцов, а элементы Д = Д вЂ” в о.р рск виде симметричной матрицы © то соотношение (23) может быть переписано и так: (2.4.23) Ч К~И 1 К~ОК Ц3 = — + — +— + я (2.4.24) Представление потенциала в виде (23) или (24) четко показывает, что он может быть выражен через такие суммарные характеристики системы частиц, как ее полный заряд ц, дипольный момент д, квадрупольный момент Я и т.д. Это представление широко используется при исследовании межмолекулярных взаимодействий, когда расстояние между молекулами заметно превышает их некие средние "размеры", т.е. линейные размеры той области, где в основном сосредоточена плотность вероятности распределения каждой из частиц молекулы. Движущиеся заряженные частицы создают в каждой точке пространства не только электрическое кулоновское, но и магнитное поле, векторный потенциал которого может быть получен при решении уравнений, возникающих при подстановке выражений (3) в уравнения Максвелла.
Эту процедуру, требующую к тому же введения дополнительных предположений, не имеет смысла рассматривать в настоящем изложении. Если же ограничиться только лишь ее результатами, то можно сказать, что векторный потенциал А, создаваемый в точке г частицей с номером г и зарядом ц и находящейся в точке г,, в основном передается следующим выражением: ~~ ~ (г-г~) ~г-г;~ где (г- г) — вектор, направленный из точки нахождения частицы в рассматриваемую точку, где вычисляется А, а ц., — магнитный момент частицы, определенный согласно (19) равенством р, = (ц,/2т,с)1... причем в выражении для момента импульса Е должен фигурировать радиус-вектор (г — г), как если бы начало системы координат находилось в точке г (а если эта точка перемещается, то аналогично берется и импульс относительно импульса этой точки, например, при рассмотрении потенциала, создаваемого частицей г в точке„где находится частица ~).
Для системы движущихся частиц векторный потенциал будет складываться из потенциалов отдельных частиц. д. Замечания. 1. Использованные выше исходные выражения для векторных величин, определяющих электромагнитное поле, имели чисто классический характер. При переходе к квантовой механике предполагается, что для системы частиц вместо классических величин вводятся соответствующие операторы, а сама система в каждом состоянии описывается некоторой волновой функцией Ч~, зависящей от переменных частиц, но не зависящей от переменных, определяющих поле.
Часто говорят, что такой переход означает выполнение квантования исходного описания для рассматриваемой системы частиц. При этом электромагнитное поле такой же процедурой не затрагивается, т.е. для поля сохраняется классическая картина. Никаких построений, связанных с переходом к квантовой теории поля, не вводится.
Функцию Гамильтона и соответствующий ей гамильтониан записывают лишь для системы частиц во внешнем потенциальном поле. Это обстоятельство следует помнить при обсуждении в квантовой механике тех или иных эффектов, обусловленных электромагнитным полем. 2. Описание влияния электромагнитного поля на систему (даже если оно рассматривается классически) весьма сложно, поскольку в общем случае приходится учитывать неоднородность поля, т.е. наличие градиентов компонент поля Е и Н (и = 1, 2, 3), вторых производных этих компонент и т.д., а также то, что у самой системы имеется отклик на влияние поля, например перераспределение электронной плотности, что определяет поляризуемость системы, ее магнитную восприимчивость и тому подобные характеристики. И еще больше усложняет картину наличие у частиц собственных магнитных моментов, обусловленных их спином, о чем речь пойдет в следующем параграфе.
3. При рассмотрении многих достаточно тонких эффектов, 131 таких как структура спектров электронного парамагнитного резонанса или ядерного магнитного резонанса, приходится учитывать те члены в гамильтониане, о которых выше сказано ничего не было и которые, в частности, обусловлены взаимодействием магнитных моментов частиц с полем и между собой. Об этих слагаемых гамильтониана речь будет идти тогда, когда будут обсуждаться соответствующие эффекты (см. ~ 1 гл. 'ЛП). ~5. Спин В 1925 г.
американские физики С. Гаудсмит и Дж. Уленбек при объяснении оптических спектров атомов, а затем и поведения пучка атомов серебра в постоянном магнитном поле (опыты О. Штерна и В. Герлаха, 1922) сформулировали весьма интересную идею о наличии у электрона собственного магнитного момента. Эта идея в существенной степени уже назрела среди физиков того времени (например, в виде признания необходимости изменения тех или иных квантовых чисел на 1~2) и пусть не в столь явной форме, но высказывалась и А.Ланде, и В.Паули, и самими авторами эксперимента по расщеплению пучка атомов серебра. В опытах Штерна — Герлаха изучались атомы серебра в основном состоянии, в котором электронный угловой момент должен был бы равняться нулю.
Однако в сильно неоднородном магнитном поле пучок таких атомов расщеплялся на две компоненты, что свидетельствовало о том, что у этих атомов есть какой-то магнитный момент, не связанный непосредственно с орбитальным моментом. Расщепление на две компоненты к тому же говорило о том, что для этого момента 21+ 1 = 2, так что 1 = 1/2.
Этот совсем уж необычный результат заставил искать правдоподобные объяснения, что сначала привело к мысли о вращении электронов вокруг некоторой собственной оси (подобно планетам) и наличии связанного с таким вращением дополнительного момента количества движения. По этой причине дополнительный момент был назван спином (англ. ~о зрю — вращаться подобно веретену) и обозначен символом я. Однако дальнейший анализ привел к выводу, что такое объяснение неудовлетворительно, так как тогда электрон должен был бы иметь конечные размеры, а это вызвало бы новые затруднения в построении теории. а.
Релятивистская теория. Попытки объяснения существования дополнительного момента стали выглядеть гораздо более реалистичными, когда возникло стремление построить релятивистскую квантовую теорию. Для одного электрона релятивистское уравнение было введено П.А.М.Дираком в 1928 г.' Оно получило название уравнения Дирака и имеет вид, формально аналогичный уравнению Шредингера: й — Ч' = НрЧ~, (2.5.1) д8 однако гамильтониан Дирака Н, кардинально отличается от того,что есть в уравнении Шредингера. Он, во-первых, линеен по импульсам: Н, = а р + и р + и,р, — ~с-р, (2.5.2) а во-вторых, коэффициенты и, а, и и Р представляют собой уже не обычные числа, а матрицы размера 4 х 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
